1) Convergence — Unicité de la limite

(1)

II - Généralités sur les suites numériques

On appellerasuite réelle tout élément deR^N.

1) Convergence — Unicité de la limite

Étant donné un réel ℓ, on dit que la suite réelle(un) admet ℓ pour limite si et seulement si

∀ε >0 ∃n₀∈N ∀n∈N n≥n₀⇒ |u_n−ℓ| ≤ε.

Lorsqu’un tel nombre ℓ existe, on dit que la suite (u_n) est convergente, ou encore qu’elle admet une limite ﬁnie.

Le nombreℓ est alors unique, appeléla limite de la suite (u_n), noté lim

n→∞u_n. Dans le cas contraire, on dit que la suite (u_n) est divergente.

On dit que (un) admet pour limite +∞(resp. −∞) si et seulement si

∀A >0 ∃n₀ ∈N ∀n∈N n≥n₀ ⇒u_n≥A (resp. u_n≤ −A).

Attention ! Dans le cas où(u_n)admet pour limite ±∞,(u_n) est divergente.

2) Composition de limites

Soientf une fonction numérique et(u_n)_n∈Nune suite réelle telle queu_nsoit dans l’ensemble de déﬁnition def à partir d’un certain rang.

Si(un)_n∈N converge versaet si f admet une limite ℓena, alors la suite f(un) _n∈N converge versℓ.

Si(un)_n∈N converge versaet si f est continue ena, alors la suite f(un) _n∈N converge versf(a).

3) Convergence et relation d’ordre

a) Passage à la limite dans une inégalité

Si (un)_n∈N et (vn)_n∈N sont deux suites réelles convergentes telles que, à partir d’un certain rang, u_n≤v_n, alors lim (u_n)≤lim (v_n).

Attention ! Avant d’appliquer cette propriété, bien justiﬁer l’existencedes limites (voir aussi le para- graphe suivant).

Attention ! Les inégalités strictes ne se transmettent pas en général (cf. ∀n∈N^∗ 1 n >0).

b) Théorème d’encadrement

Soient (u_n)_n∈N,(v_n)_n∈N,(w_n)_n∈N trois suites réelles telles que :

•à partir d’un certain rang,u_n≤v_n≤w_n ;

•(u_n)_n∈Net (w_n)_n∈Nconvergent vers une même limite ℓ.

Alors (vn)_n∈N converge également versℓ.

Attention ! Ce n’est pas le cas sans l’hypothèse de lalimite commune à (un)_n∈Net (wn)_n∈N

(cf. ∀n∈N −1≤(−1)ⁿ≤1).

NB : Ce résultat permet d’établir la convergencede(vn)_n∈N, contrairement au “passage à la limite”.

(2)

4) Convergence des suites monotones

Théorème :toute suite réelle croissante majorée converge ; toute suite réelle décroissante minorée converge.

Plus précisément, si (u_n)_n∈N est une suite réelle croissante, alors

n→∞lim u_n= sup{u_n, n∈N} ∈R∪ {+∞}

(soit elle est majorée, auquel cas elle converge, soit elle a pour limite +∞).

De même, si (un)_n∈Nest une suite réelle décroissante, alors

n→∞lim u_n= inf{u_n, n∈N} ∈R∪ {−∞}

(soit elle est minorée, auquel cas elle converge, soit elle a pour limite−∞).

5) Suites adjacentes

Déﬁnition :deux suites réelles(a_n)_n∈Net(b_n)_n∈Nsontadjacentessi et seulement si l’une est croissante, l’autre décroissante et lim

n→∞(an−b_n) = 0.

Théorème :si (an)_n∈N et (bn)_n∈N sont adjacentes, avec (an)_n∈N croissante et (bn)_n∈N décroissante, alors∀(p, q)∈N² a_p ≤b_q et(a_n)_n∈N et(b_n)_n∈N convergent vers une même limite.

NB : un énoncé équivalent est lethéorème des segment emboîtés : si [an, b_n] _n∈Nest une suite décrois- sante de segments deR, telle que lim

n→∞(an−b_n) = 0, alors

n∈N

[an, b_n]est un singleton.

Remarque pratique: pour montrer que deux suites sont adjacentes, sachant que l’une est croissante et l’autre décroissante, penser éventuellement à montrer d’abord que les deux convergent (par exemple à l’aide du §1), puis que leurs limites sont égales (en utilisant les déﬁnitions des suites). On endéduit que la diﬀérence converge vers 0 !

6) Suites extraites

Déﬁnition :on appelle suite extraite (ou sous-suite) d’une suite (a_n)_n∈N toute suite de la forme a_ϕ(n)

n∈N, où ϕ est une application strictement croissante de N dans N (en particulier lim

+∞ϕ= +∞).

Exemples : (a_n+1)_n∈N,(a_2n)_n∈N,(a₂ⁿ)_n∈N sont des suites extraites de (a_n)_n∈N.

Propriété : si(an)_n∈Nadmet une limite (dansR), alors toute suite extraite de(an)_n∈Nadmet la même limite.

Exercice classique : si (a2n)_n∈N et (a2n+1)_n∈N admettent une même limite ℓ, alors (an)_n∈N admet pour limite ℓ(mais cf. (−1)ⁿ _n∈N . . . ).

II

II - Quelques idées pour l’étude de suites récurrentes

1) Généralités

On se donne une applicationf :D→Ret on s’intéresse aux suites réelles(un)_n∈Ndéﬁnies par la donnée deu₀, dans l’ensemble de déﬁnitionD def, et la relation de récurrence : ∀n∈N u_n+1=f(u_n).

a) Déﬁnition de la suite (un)_n∈N

On peut chercher une partie F de D, stable par f, telle que u₀ ∈F ; il est alors clair par récurrence que la suite est déﬁnie et a tous ses termes dans F.

(3)

b) Représentation graphique

Ayant tracé le grapheΓdef et la bissectrice∆du repère (d’équationy=x), partant du point(u0, u₁) deΓ, on trace un segment parallèle à Ox pour rejoindre (u1, u₁) de∆, puis un segment parallèle àOy pour rejoindre (u₁, u₂) deΓ,. . .

c) Limites possibles

Si(u_n)_n∈N converge versℓetf continue enℓ, nécessairementf(ℓ) =ℓ.

d) Cas où f est croissante

Sif :F →F est croissante sur F, on montre par récurrence que(un)_n∈N est monotone : si u₀ < u₁, alors (u_n)_n∈N est croissante ; siu₀> u₁, alors (u_n)_n∈N est décroissante.

NB : la position de u₀ par rapport à u₁ peut-être fournie par l’étude du signe de f(x)−x.

e) Cas où f est décroissante

Sif :F →F est décroissante surF, alors les deux sous-suites (u_2p)_p∈N et(u_2p+1)_p∈N sont monotones, de sens contraires :

•siu₀< u₂, alors (u_2p)_p∈N est croissante et(u_2p+1)_p∈N décroissante ;

•siu₀> u₂, alors (u2p)_p∈N est décroissante et(u2p+1)_p∈N croissante.

En eﬀet, ces deux suites sont des suites récurrentes associées à la fonction f◦f, qui est croissante ! NB : la position de u₀ par rapport à u₂ peut-être fournie par l’étude du signe de f◦f(x)−x.

Rappel: (u_n)_n∈N converge versℓsi et seulement si(u_2p)_p∈N et(u_2p+1)_p∈Nconvergent versℓ.

2) Rapidité de convergence

a) Cas d’une fonction contractante

Supposons f : F → F et k ∈ [0,1[ tels que : ∀(x, y) ∈ F² |f(x)−f(y)| ≤ k· |x−y| (penser à l’inégalité des accroissements ﬁnis . . .).

Sif admet pour point ﬁxeℓ dansF et si u₀ ∈F, une récurrence immédiate montre que

∀n∈N |u_n−ℓ| ≤kⁿ· |u₀−ℓ|

(majoration par une suite géométrique). On a convergence très rapide de(u_n)_n∈N vers ℓ.

b) Convergence quadratique

Supposonsf :F →F,λ∈R^+∗ etℓ∈F point ﬁxe def tels que : ∀x∈F |f(x)−ℓ| ≤λ· |x−ℓ|². Siu₀∈F etp∈N, une récurrence immédiate montre que

∀n≥p |u_n−ℓ| ≤λ²^n−p⁻¹· |u_p−ℓ|²^n−p

Pourvu que|λ·(up−ℓ)|<1, pour une certaine valeur dep, on a convergence “ultra-rapide” de(un)_n∈N

vers ℓ. On a coutume de dire que le nombre de décimales exactes est doublé à chaque itération (si l’on considère u_n comme une valeur approchée deℓ).

Exemple : pour a >0 donné, soientF = [√a,+∞[etf :x→1

2 x+a

x ; on vériﬁe que√aest point ﬁxe de f et que

∀x∈F f(x)−√ a = 1

2x x−√

a ² ≤ 1

2√a x−√ a ² Poura= 2etu₀ = 2, on trouve :

u₁≈1.5000000000000000000000000000000000000000000000000 u₂≈1.4166666666666666666666666666666666666666666666667 u₃≈1.4142156862745098039215686274509803921568627450980 u₄≈1.4142135623746899106262955788901349101165596221157 u₅≈1.4142135623730950488016896235025302436149819257762 u₆≈1.4142135623730950488016887242096980785696718753772 tandis que :

√2 = 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769. . .

(4)

c) Obtention d’équivalents à l’aide du théorème de Cesàro On suppose iciF de la forme[0, b](b >0) etf :F →F telle que

f(x) =x−a.x^p+o(x^p) où a >0, p >1

Alors, pouru₀ >0, suﬃsamment proche de 0, il est aisé de vériﬁer que(u_n)_n∈Ndécroît vers 0.

On cherche αtel quev_n= 1 u^α_n+1 − 1

u^α_n admette une limite réelle non nulle : v_n∼ u^α_n−u^α_n+1

u^2α_n car u_n+1∼u_n puisquef(x)∼

0 x or

u^α_n+1 = f(un)^α=u^α_n· 1−a.u^p−1_n +o u^p−1_n ^α

= u^α_n· 1−α.a.u^p−1_n +o u^p−1_n d’où

v_n∼α.a·u^p−1−α_n

On choisit doncα=p−1, alors(vn)converge vers(p−1).aet, par sommation, le théorème de Cesàro permet de montrer que

1

u^p−1_n ∼n.(p−1).a d’où

u_n∼ 1

(p−1).a.n

1 p−1

Exemple : avecf :x→sinx,b= 1, a= 1

6, p= 3, on obtientu_n∼ 3

n (convergence lente !)

3) Suites arithmético-géométriques

Ici F =Retf :x→ax+b(a∈R\ {0,1}etb∈R^∗). Les idées précédentes s’appliquent, mais on peut exprimer directementu_n en fonction den:

•on détermine le point ﬁxeω def : ω = b 1−a ;

•on remarque que la suite(un−ω)_n∈N est géométrique, de raisona.

Par suite,

∀n∈N u_n=ω+aⁿ.(u₀−ω)

et(un)_n∈N converge (versω) si et seulement si (|a|<1ou u₀ =ω).

4) Récurrences homographiques

Ici f : x → ax+b

cx+d avec c = 0 et ad−bc = 0 ; f est une bijection de R\ −d

c dans R\ a c ; la déﬁnition de la suite (un)_n∈N dans le cas général n’est pas triviale, il est bon de trouver F stable par f. . . Précisément, (u_n)_n∈N est déﬁnie si et seulement si u₀ n’appartient pas à l’ensemble des valeurs prises par la suite (vn)_n∈N telle que

v₀ =−d

c et ∀n v_n+1 =f⁻¹(v_n) (tant qu’elle est déﬁnie !) Les points ﬁxes de f sont les solutions d’une équation du second degré.

On peut ici aussi exprimer directement u_n en fonction den :

•sif admet deux points ﬁxes distincts αetβ, on vériﬁe que la suite u_n−α

u_n−β est géométrique;

•si f admet un unique point ﬁxe α (racine double. . .), on vériﬁe que la suite 1

u_n−α est arithmétique.

(5)

III

III - Séries numériques

1) Déﬁnitions — Notion de convergence

Soit (un)_n∈N une suite d’éléments deK(K=Rou C).

On appelle série de terme général u_n, notée u_n, la suite (S_p)_p∈N déﬁnie par :

∀p∈N S_p=

p

n=0

u_n. Pour tout pdans N,S_p est la somme partielle de rang p de la série.

Ainsi la série u_nest diteconvergente si et seulement si la suite(Sp)_p∈N converge, auquel cas sa limite S estla somme de la série ; on écrit alors :

S=

∞

n=0

u_n= lim

p→∞

p

n=0

u_n et l’on appellereste de rang p de la série la diﬀérenceR_p =S−S_p.

La série u_n est dite divergente lorsque la suite(S_p) diverge (y compris lorsqueS_p _p→∞−→ ±∞).

Remarques :

1) On associe de même à une suite(u_n)_n≥n₀, déﬁnie à partir d’un certain rang n₀, la série

n≥n⁰

u_n.

2) Si u_n converge, alors, pour tout p,

n≥p+1

u_n converge également (les sommes partielles de ces deux séries diﬀèrent d’une constante !) et le reste de rangp s’écrit :

R_p =S−S_p =

∞

n=p+1

u_n.

3) Pour toute suite(S_p), il existe une unique suite(u_n)telle que(S_p)soit la suite des sommes partielles de la série u_n ; cette suite(un) est déﬁnie par :

u₀ =S₀ et ∀n≥1 u_n =S_n−S_n−1

4) Une suite(v_n) converge si et seulement si la série (v_n+1−v_n) converge, avec en outre, en cas de convergence,

∞

n=0

(vn+1−v_n) = lim

n→∞v_n−v₀

Condition nécessaire de convergence : si la série u_n converge, alors lim

n→∞u_n= 0

et donc si(un)ne converge pas vers 0, alors u_n diverge (on parle dedivergence grossière outriviale).

Dém.u_n=S_n−S_n−1 pourn≥1. . . Attention ! Réciproque fausse ! ! (voir

n≥1

(ln (n+ 1)−lnn), √

n+ 1−√n ,

n≥1

1 n,. . . ) Exemples :

1) (−1)ⁿ,

n≥1

1

n^α pour α∈R⁻ divergent grossièrement.

2)

n≥1

1

n(n+ 1) converge et a pour somme 1 (c’est

n≥1

1 n− 1

n+ 1 ).

(6)

Séries de référence

1) Séries géométriques dans C : soitz∈C; zⁿconverge si et seulement si |z|<1et si |z|<1,

∞

n=0

zⁿ= 1

1−z avecR_p = z^p+1 1−z (en eﬀet, divergence grossière pourz= 1et, pourz= 1,S_p= 1−z^p+1

1−z ).

2) Séries de Riemann : soitα∈R;

n≥1

1

n^α converge si et seulement si α >1.

Dém. (par comparaison à une intégrale) Soit α∈R^+∗ (siα≤0, divergence grossière).

La fonction x→ 1

x^α est continue et décroissante surR^+∗, d’où

∀n∈N^∗ ∀x∈[n, n+ 1] 1

(n+ 1)^α ≤ 1 x^α ≤ 1

n^α et, en intégrant sur [n, n+ 1], qui est d’amplitude 1 :

∀n∈N^∗ 1 (n+ 1)^α ≤

n+1 n

dx x^α ≤ 1

n^α .

J’en déduis, pour p∈N^∗, par sommation pournallant de 1 à p et grâce à la relation de Chasles :

∀p∈N^∗

p

n=1

1 (n+ 1)^α ≤

p+1 1

dx x^α ≤

p

n=1

1 n^α

d’où, en réindexant la somme de gauche et en utilisant l’inégalité de gauche avec p−1 à la place dep

∀p∈N^∗

p+1 1

dx

x^α ≤S_p =

p

n=1

1

n^α ≤1 +

p 1

dx x^α .

Or la suite(S_p)est une suite croissante de nombres réels : soit elle est majorée, auquel cas elle converge, soit elle a pour limite +∞.

•Pourα >1, j’ai :

∀p∈N^∗ S_p ≤1 +

p 1

dx

x^α = 1 +1−p^1−α

α−1 ≤1 + 1 α−1 et donc(Sp) converge.

•Pourα= 1, j’ai

∀p∈N^∗ S_p ≥

p+1 1

dx

x = ln (p+ 1)_p→∞−→ +∞

•Pourα∈]0,1[, j’ai

∀p∈N^∗ S_p≥

p+1 1

dx

x^α = (p+ 1)^1−α−1

1−α _p→∞−→ +∞ ce qui achève la démonstration.

2) Espace vectoriel des séries convergentes

Si u_n et v_n convergent et siλ∈K, alors (λun+v_n)converge et

∞

n=0

(λun+v_n) =λ

∞

n=0

u_n+

∞

n=0

v_n.

Attention ! On peut avoir (un+v_n) qui converge alors que u_n et v_n divergent (voir par exemple

n≥1

1 n − 1

n+ 1 ou (n−n). . . ).

(7)

3) Convergence absolue

Déﬁnition : u_n est dite absolument convergente si et seulement si |u_n| converge.

Théorème :si u_n converge absolument, alors elle converge et l’on a

∞

n=0

un ≤

∞

n=0

|un| (inégalité triangulaire).

Attention ! Réciproque fausse ! ! (Voir l’exemple ci-dessous.)

Déﬁnition : u_n est ditesemi-convergentesi et seulement si u_nconverge alors que |u_n|diverge.

Exemple :

∞

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n = ln 2(alors que

n≥1

1

n diverge).

Dém.Soit pour p≥1 : S_2p=

2p

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n =

p−1

k=0

1 2k+ 1−

p

k=1

1 2k =

2p

n=1

1 n−2

p

k=1

1 2k =

2p

n=p+1

1 n =

p

k=1

1 p+k et je reconnais une somme de Riemann :

S_2p= 1 p

p

k=1

1 1 +k

p

p→∞−→

1 0

dx

1 +x = ln 2

et comme S_2p+1 =S_2p+ 1

2p+ 1, les deux sous-suites (S_2p) et (S_2p+1) convergent vers la même limite ln 2, d’où le résultat.

4) Séries à termes réels positifs

a) Condition nécessaire et suﬃsante de convergence Soit (u_n)∈R^N, telle queu_n≥0à partir d’un certain rangn₀.

u_n converge si et seulement si la suite(S_p) des sommes partielles est majorée. Sinon S_p_p→∞−→ +∞. (En eﬀet, (Sp)_p≥n₀ est croissante.)

b) Utilisation des relations de comparaison

Propriété 1 : soient (un) et (vn) à termes réels positifs à partir d’un certain rang, telles que u_n=O(v_n) (c’est le cas en particulier lorsqueu_n≤v_n à partir d’un certain rang)

∗ si v_n converge, alors u_n converge ;

∗ si u_n diverge, alors v_n diverge.

Propriété 2 : soient(un)et (vn) telles que u_n∼v_n etde signe constant à partir d’un certain rang.

u_n et v_n sont de même nature.

NB : deux suites équivalentes sont de même signe à partir d’un certain rang ; il suﬃt de connaître le signe de l’une des deux suites équivalentes.

Attention ! Ces propriétés peuvent être en défaut lorsque u_n etv_n ne sont pas de signe constant.

Comparaison à une série de Riemann

Lorsqu’un équivalent “simple” de u_n n’apparaît pas, mais que u_n tend “suﬃsamment vite” vers 0, penser à étudiern^αu_n avecαconvenablement choisi. . .

En eﬀet, s’il existeα >1tel que la suite(n^αu_n)soit bornée (en particulier si elle converge vers 0), alors u_n est absolument convergente (en eﬀet|u_n|=O 1

n^α ).

Par exemple, pour tout s >0, e⁻ⁿ^s converge.