Limite de ³ 1 + z

Limite de ³ 1 + z

n

´ _n

pour z ∈ C

Nous allons démontrer de façon élémentaire le résultat suivant :

∀z ∈ C, ³ 1 + z

n

´ _n

−→ n∞ e ^z

Nous montrerons même que la convergence est uniforme sur tout compact de C . Le seul prérequis est le développement en série entière de l'exponentielle complexe :

∀z ∈ C, e ^z =

+∞ X

n=0

z ⁿ n!

1. Soit (a, b) ∈ C ² et k ∈ N ^∗ . On note m = max(|a|, |b|) . On sait que :

a ^k − b ^k = (a − b)(a ^k−1 + a ^k−2 b + . . . + b ^k−1 ) Donc par l'inégalité tringulaire, il vient :

¯ ¯ a ^k − b ^k ¯

¯ ≤ |a − b| km ^k−1

2. Soit u ∈ C . Majorons la quantité |e ^u − (1 + u)| . On a :

|e ^u − (1 + u)| ≤

+∞ X

n=2

|u| ⁿ n! ≤ |u| ²

X +∞

n=0

|u| ⁿ

n! ≤ |u| ² e ^|u|

On a donc :

|e ^u − (1 + u)| ≤ |u| ² e ^|u|

3. Soit u ∈ C et k ∈ N ^∗ . On veut majorer le terme ¯

¯ e ^k u − (1 + u) ^k ¯

¯ .

On prend a = e ^u et b = 1 + u. On a alors m = max(|e ^u |, |1 + u|) ≤ max(e ^|u| , 1 + |u|) ≤ e ^|u| . D'où :

¯ ¯ e ^ku − (1 + u) ^k ¯

¯ ≤ |e ^u − (1 + u)| km ^k−1 ≤ |u| ² e ^|u| ke ^k|u| e ^−|u| ≤ |ku| ² e ^|ku|

k On a donc montré que

¯ ¯ e ^ku − (1 + u) ^k ¯

¯ ≤ |ku| ² e ^|ku|

k

Applications :

1. Soit z ∈ C. On pose u = ^z _n et k = n. On a alors :

¯ ¯

¯e ^z −

³ 1 + z

n

´ _n ¯

¯ ¯ ≤ |z| ² e ^|z|

n Si K désigne un compact de C , il existe M ∈ R tel que M ≥ sup

z∈K

|z| . Alors :

sup

z∈K

¯ ¯

¯e ^z −

³ 1 + z

n

´ _n ¯

¯ ¯ ≤ M ² e ^M n Donc on a bien la convergence uniforme de ³

1 + z n

´ n

vers e ^z sur tout compact de C .

2. Soit (z n ) une suite de complexes et (α n ) une suite d'entiers naturels telle que lim

n∞ α n = +∞.

Si α n z n −→

n∞ λ, alors (1 + z n ) ^α

−→

n∞ e ^λ

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