ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 3 - durée : 1h 10 janvier 2018
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
1. Calculer A49.
2. Calculer le nombre d'anagrammes du mot "HEUREUX".
(On donnera le résultat sous forme d'un nombre entier.) 3. Calculer S =
n
X
k=0
n+ 1 k
+ 2k
.
Exercice II.
On considère la fonctionf dénie sur R∗+ par f(x) = 3x−xln(x)−1. 1. Calculer f(e2).
2. Justier brièvement la continuité de f surR∗+
3. a. Calculer lim
x→0+f(x).
b. f est-elle prolongeable par continuité en0? Préciser la réponse.
4. Calculer lim
x→+∞f(x).
5. Montrer que ∀x >0, f0(x) = 2−ln(x).
6. Etudier alors le signe de f0 et tracer le tableau de variations def.
Exercice III.
Un tiroir contient 40chaussettes (6 vertes, 6bleues, 8 rouges,10 jaunes, 10noires).
Des chaussettes d'une même couleur sont indiscernables.
On appellera par la suite "paire" l'association de2 chaussettes de la même couleur.
Les réponses devront être très précisément justiées.
1. On choisit simultanément 2chaussettes au hasard. Combien y a-t-il d'associations de couleurs possibles ?
2. Combien de chaussettes doit-on prendre pour être certain d'avoir une paire ?
3. Combien doit-on en prendre pour être certain d'avoir une paire de chaque couleur ? 4. On prend 2chaussettes au hasard. Calculer la probabilité de constituer une paire.
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