ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 8 5 mars 2018
A faire :
> facultatifs : Ex I, Ex II, Ex III, Ex IV
> obligatoire : Pb Exercice I.
Calculerf0(x) dans les cas suivants : 1. f(x) = 2
3x5−1
4x3+ 2x2−5 2. f(x) = xex
x+ 1 3. f(x) = 1
ln(3x2+ 2)
Exercice II.
1. Justier brièvement la convergence, et calculer la somme : a. S =
+∞
X
n=0
2n−1 (−3)n. b. S =
+∞
X
n=2
1−nen 3n .
2. Etudier la convergence des séries : a. X
n≥0
1 2n3+ 5. b. X
n≥2
3 + (−1)n n+e−n . Exercice III.
L'objectif de l'exercice est de démontrer la divergence de la série harmonique X
n≥1
1 n. 1. Pour n∈N∗, écrire la ne somme partielleSn.
2. Vérier que ∀n∈N∗, S2n−Sn= 1
n+ 1+ 1
n+ 2+...+ 1 2n. 3. Montrer alors que ∀n∈N∗, S2n−Sn≥ 1
2. 4. En déduire que si elle existe, lim
n→+∞(S2n−Sn)6= 0. 5. Conclure.
Exercice IV.
On note R4[X]l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 4.
On considère l'application f : R4[X] −→ R4[X]
P 7−→ X 7−→XP0(X) . 1. Caluler f(P), où P est le polynôme déni par P(X) =X2+ 3X.
2. f est-elle surjective ? Justier.
3. Déterminer l'ensemble image de f. 4. f est-elle injective ? Justier.
5. Déterminer l'image réciproquef−1(P), oùP est le polynôme déni à la question 1.
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Problème.
Une urne contient deux boules rouges et une boule bleue.
On considère une suite innie de tirages avec remise dans l'urne.
On note X le nombre de tirages nécessaires jusqu'à la première obtention de la boule bleue, et
∀k∈N∗, Rk={le ke tirage donne une boule rouge}, et Bk=Rk.
1. Exprimer les évènements {X = 1},{X = 2}, puis ∀n∈ N∗, {X =n} en fonction des évènements (Rk)1≤k≤n et(Bk)1≤k≤n.
2. Montrer que ∀n∈N∗, P(X=n) = 1 3
2 3
n−1
. 3. Calculer
+∞
X
n=1
P(X=n). Que peut-on en déduire ? 4. On pose, ∀n∈N, F(n) =P(X≤n) =
n
X
k=1
P(X=k). a. Calculer F(n).
b. Que peut-on dire de la monotonie de la suite (F(n))n∈N? Justier.
c. Déterminer lim
n→+∞F(n).
d. Retrouver, avec le théorème de la limite monotone, P({X est nie}). 5. a. Calculer
+∞
X
n=1
nP(X =n).
b. Concrètement, à quoi correspond cette quantité ?
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