(1)ECE 1 MATHEMATIQUES Devoir Maison 3 16 octobre 2017

ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Maison 3 16 octobre 2017

- - - > Faire 4 exercices au choix.

Exercice I. (seulement si note(interro 3) <4)

1. Exprimer 8 ln(50)−13 ln(100) + 3 ln(400), en fonction de ln(2)etln(5). 2. Factoriser le plus possible f(x) = (x−5)(−3x+ 5)−(5−x)²+ 10−2x. Exercice II. (seulement si note(interro 3) <4)

1. Soit (un)n∈N la suite arithmétique de1^er termeu0 =−14et de raison r = 2 5. Calculer S=

15

X

k=2

u_k.

2. Soit(un)n∈Nune suite géométrique de raison q=−2

3. On donneu11= 4050. Calculeru16. Exercice III.

On considère la fonction f dénie par f(x) = ln

x+ 3 x−3

. Etudier la parité def. Exercice IV.

Etudier les variations de la suite(un)n∈N dénie par un=

n

Y

k=0

k²+ 1 (k+ 1)². Exercice V.

Montrer par récurrence que ∀n∈N, 2ⁿ> n. Exercice VI.

Calculer la somme S =

13

X

k=3

−3k+ 1 2^k − 5

3

, en utilisant les formules du cours.

Exercice VII.

Soit la suite (u_n)n∈Ndénie par u₀ = 1

4 et ∀n∈N, u_n+1 =−5u_n+ 2. Déterminer son terme général.

Exercice VIII.

Créer un programme Scilab qui demande le temps en secondes, et le transforme en

"jours, heures : minutes : secondes".

(On pourra si besoin utiliser les commandes oor et modulo.)

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Exercice IX. (plus dicile)

Soit la fonction f dénie sur Rpar f(x) =bxc −(bxc −x)². 1. Montrer que ∀x∈R, f(x+ 1) =f(x) + 1.

2. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative C_f? 3. Simplierf(x) pourx∈[0; 1].

4. Tracer alors C_f sur [0; 1], puis sur R.

5. f est-t-elle continue ? Exercice X. (très dicile)

Soit la suite (u_n)n∈Ndénie par u₀ = 1 et ∀n∈N, u_n+1=u_n+n³+ 5n 6 + 1. Sauriez-vous déterminer son terme général ? Et si oui, le démontrer par récurrence ?

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