ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 6 - durée : 4 h 26 mai 2012
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Donner la dénition d'une fonction de classeC1 sur un intervalleI. 2. Enoncer la formule d'intégration par parties, et la démontrer.
3. Enoncer le théorème de transfert.
Exercice I.
Après avoir justié son existence, calculer l'intégrale I= Z 4
2
t2ln(t)dt.
Exercice II.
1. SoitX ∼B(n, p), où n∈N∗, et p∈[0; 1]. Après avoir justié son existence, calculer E(X). 2. SoitZ ∼P(λ), où λ >0. Soit t∈R. Calculer E(etX), en justiant brièvement son existence.
Exercice III.
Les propriétés de l'intégrale utilisées dans cet exercice devront être citées.
Soit, pourn∈N, In= 1 n!
Z 2
0
tne−tdt. 1. Montrer que ∀n∈N, 0≤In≤ 2n+1
(n+ 1)!. 2. Justier le fait que lim
n→+∞
2n+1 (n+ 1)! = 0. 3. En déduire lim
n→+∞In. 4. CalculerI0.
5. Montrer que ∀n∈N, In+1=In− 2n+1 e2(n+ 1)!. 6. En déduire que ∀n∈N, In= 1− 1
e2
n
X
k=0
2k k!. 7. Retrouver alors la valeur de X
k≥0
2k k!.
Exercice IV.
Créer un programme Turbopascal qui :
contient une fonction calculant la factorielle d'un entier quelconque ; demande un entiernà l'utilisateur ;
calcule la somme Sn=
n
X
k=0
1
k!, au millième près.
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Exercice V.
Les parties A. et B. peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A.
Deux joueurs AetB se partagent un capital deM e, oùM ∈N.
Le capital de départ deA est dene, avecn∈N(et donc celui deB deM −ne).
Ils jouent au jeu du Pile ou Face, et à chaque partie, le perdant donne1eau gagnant.
Le jeu se poursuit jusqu'à ce que l'un des deux joueurs soit ruiné.
On suppose que sur une partie donnée : Agagne avec probabilitép∈1
2; 1 (si le lancer donne Pile) B avec probabilité q= 1−p (si le lancer donne Face) On pose :
Pour n∈N, An="Aruine B, en partant avec un capital initial dene", et an=P(An). Pour k∈N∗, Pk ="Le ke lancer donne Pile" et Fk =Pk.
1. Expliquer brièvement pourquoia0= 0etaM = 1.
2. En décomposant suivant le résultat du premier lancer, et en utilisant la formule des probabilités totales, exprimeran en fonction dean+1 et an−1, pourn∈[[1;M −1]].
3. En déduire que ∀n∈[[0;M −2]], an+2−1
pan+1+q pan = 0. 4. Quelle est la nature de la suite(an)0≤n≤M?
5. Montrer qu'il existe deux réelsαet β tels que ∀n∈[[0;M]], an=α+β q
p n
.
6. Déterminerαetβ à l'aide des conditions aux limitesa0 etaM, et en déduire que an= 1−q
p
n
1−
q p
M. 7. Sans refaire tous les calculs, mais en expliquant votre raisonnement, donner la probabilitébn queB ruineA.
(Apartant toujours d'un capital de ne, etb deM −ne.) 8. Le jeu se termine-t-il ? Justier.
Partie B.
Le joueur A, disposant toujours d'un capital de n e, joue cette fois-ci contre un casino, dont on supposera pour simplier que le capital est inniment grand (ce qui n'est pas une hypothèse tellement surréaliste).
On suppose toujours que la probabilité de gagner du joueurAsur une partie estp > 1
2, et que q= 1−p. 1. Déterminer, en justiant, lim
M→+∞
q p
n
−
q p
M
1−q
p
M .
On admet pour la suite de l'exercice que le joueurAnit ruiné avec la probabilité rn = 1−p
p n
. 2. Calculer lim
n→+∞rn.
3. Interpréter le résultat précédent.
4. Application numérique :
On donne ln(2)'0.7, ln(2)'1.1 et ln(10)'2.3
On suppose que le joueur gagne60%des parties qu'il dispute.
Quel est le capital minimalndont il doit disposer pour jouer, an que son risque de ruinernsoit inférieur à1%?
2
