ECE 1 MATHEMATIQUES

ECE 1 MATHEMATIQUES

Concours Blanc 2 - durée : 4h 4 juin 2013

Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.

Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.

Exercice I.

1. a. Donner la dénition d'un s.e.v. F d'un e.v. E. b. Qu'est-ce qu'une famille libre de vecteurs ?

2. Donner la base canonique et la dimension de l'ensembleR²[X]des polynômes de degré inférieur ou égal à 2.

3. Soit A∈ M₂(R).

Montrer que F ={M ∈ M₂(R) | AM −M A=O₂} est un s.e.v. de M₂(R). (On justiera, en citant les propriétés de calcul utilisées.)

4. G=









 x y z



∈R³

−8x+y³+ 5z = 0







est-il un s.e.v. de R³? Justier.

Exercice II.

On considère le couple(X;Y), dont la loi est donnée par le tableau suivant :

H HH

HH H

Y

X 1 3 4

1 1

3 1

12 0

3 1

12 1 6

1 3

1. Donner X(Ω) etY(Ω).

2. Compléter le tableau en justiant uniquement le calcul de P(X = 3). 3. Les v.a. X et Y sont-elles indépendantes ? Justier.

4. Calculer E(X), E(Y), V(X) et V(Y). 5. Calculer ensuite E(XY).

6. En déduire alors que Cov(X;Y) = 11 12. 7. Calculer Corr(X;Y).

8. Interpréter le résultat.

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Exercice III.

Une secrétaire eectuen appels téléphoniques vers n correspondants distincts, avec n≥2.

Pour chaque appel, la probabilité d'obtenir le correspondant demandé est p ∈]0,1[ et la probabilité de ne pas l'obtenir estq = 1−p.

1. Soit X le nombre de correspondants obtenus lors de ces n appels.

a. Quelle est la loi deX? Le justier par une phrase.

b. Donner, sans calcul, E(X)et V(X).

Après cette première série d'appels, la secrétaire demande une deuxième fois chacun des n−X correspondants qu'elle n'a pas obtenus la première fois.

La probabilité d'obtenir un correspondant quelconque est toujours p∈]0,1[. Soit Y le nombre de correspondants obtenus dans la deuxième série d'appels.

On pose aussi Z =X+Y le nombre total de correspondants obtenus.

2. Quelles sont les valeurs que peut prendre la v.a. Z? Justier.

3. Montrer que P(Z = 0) =q²ⁿ.

4. Expliquer pourquoi P{X=k}(Y =j) =

n−k j

p^jq^n−k−j pourk ∈[[0, n]] etj ∈[[0, n−k]]. 5. En déduire que la loi du couple (X;Y)s'exprime, pour j ≤n−k, par :

P({X =k} ∩ {Y =j}) = n

k

n−k j

p^k+jq^2n−2k−j. 6. Expliquer par une phrase pourquoi P(Z =m) =

m

X

k=0

P({X =k} ∩ {Y =m−k}). 7. Vérier que

n k

n−k m−k

= n

m m

k

. 8. En déduire que ∀m∈[[0, n]], P(Z =m) =

n m

(p(1 +q))^m(q²)^n−m. 9. Montrer quep(1 +q) = 1−q².

10. Reconnaitre la loi suivie par Z.

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Exercice IV.

On considère la famille de fonctions (fn)n∈N^∗ dénies sur ]−1,+∞[ par fn(x) =xⁿln(1 +x). Partie A. Etude des fonctions f_n

Soit n∈N^∗ xé.

On note h_n la fonction dénie et dérivable (nous l'admettons) sur ]−1,+∞[ par : h_n(x) =nln(1 +x) + x

1 +x.

1. Etudier le sens de variation de la fonction h_n.

2. Calculer h_n(0), puis en déduire le signe deh_n sur]−1,+∞[. 3. Etude du cas particulier n= 1.

a. Pour x∈]−1,+∞[, exprimerf₁⁰(x) en fonction de h₁(x). b. En déduire les variations de la fonction f₁ sur ]−1,+∞[.

(Il n'est pas demandé de tableau de variations.) 4. Soit n∈N^∗\ {1}.

a. Justier brièvement la dérivabilité de fn sur ]−1,+∞[ et exprimer f_n⁰(x) en fonction de h_n(x).

b. Dresser le tableau de variations de f_n sur]−1,+∞[. (On distinguera les cas n pair et n impair.)

Partie B. Etude d'une suite

On considère la suite(U_n)n∈N^∗ dénie par U_n= Z 1

0

f_n(x)dx. I. Calcul de U₁

1. Prouver l'existence de trois réels a, b, c tels que ∀x∈[0,1], x²

x+ 1 =ax+b+ c x+ 1. 2. En déduire la valeur de l'intégrale Z 1

0

x² x+ 1dx. 3. Montrer queU₁ = 1

4. (Une intégration par parties pourra être utilisée lors du calcul.) II. Convergence de la suite (U_n)n∈N^∗

1. Montrer que la suite (U_n)n∈N^∗ est décroissante.

2. Montrer que la suite (Un)_n∈

N^∗ est à termes positifs, et justier sa convergence.

(On ne demande pas sa limite à cette question.) 3. Démontrer que ∀n∈N^∗, 0≤U_n≤ ln(2)

n+ 1. 4. En déduire la limite de la suite (U_n)n∈N^∗.

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III. Calcul de U_n pour n ≥2

Pourx∈[0; 1] et n∈N^∗\ {1}, on pose : S_n(x) = 1−x+x²+...+ (−1)ⁿxⁿ =

n

X

k=0

(−1)^kx^k =

n

X

k=0

(−x)^k.

1. Montrer que S_n(x) = 1

1 +x +(−1)ⁿxⁿ⁺¹ 1 +x . 2. En déduire, en intégrant de 0 à1, que

n

X

k=0

(−1)^k

k+ 1 = ln(2) + (−1)ⁿ Z 1

0

xⁿ⁺¹ 1 +xdx. 3. En utilisant une intégration par parties dans le calcul de U_n, montrer que :

U_n= ln(2)

n+ 1 +(−1)ⁿ n+ 1

ln(2)−

1− 1

2+...+(−1)^k

k+ 1 +...+ (−1)ⁿ n+ 1

.

IV. Valeur approchée de U_n

Créer un programme Turbopascal demandant un entier naturel non nulnà l'utilisateur, et permettant de calculerU_n, par la méthode de votre choix.

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