ECE 2 MATHEMATIQUES DS 3 - durée : 4h
27 novembre 2019
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
Soitf l’endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique deR3 est A=
1 0 0
1 2 1
2 −2 −1
. On considère les vecteurs u= (0,1,−2) et v = (0,1,−1) deR3.
Siλest une valeur propre def, on désigne parEλ(f)l’espace propre def associé à la valeur propreλ.
Partie I : Réduction de l’endomorphisme f
1. Déterminer une base deKer(f)et une base deIm(f).
2. Justifier quefn’est pas bijectif, et en déduire une valeur propre def. 3. Prouver queuetvsont deux vecteurs propres def.
Préciser la valeur propreλ(respectivementµ) associée àu(respectivement àv).
Déterminer la dimension de l’espace propreEλ(f)(respectivementEµ(f)).
4. L’endomorphismef est-il diagonalisable ? Justifier.
5. Rechercher tous les vecteurs t= (x, y, z)∈R3 vérifiant l’équation f(t) =t+v.
6. Déterminer un vecteurwdeR3, dont la troisième coordonnée (dans la base canonique deR3) est nulle, tel que la familleC= (u, v, w)soit une base deR3, et tel que la matrice def dans la baseCsoit la matrice T =
0 0 0 0 1 1 0 0 1
.
Partie II : Résolution d’une équation
Dans les questions 1,2 et 3 de cette partie, on suppose qu’il existe g∈L(R3) vérifiant g◦g=f. 1. Montrer que f ◦g=g◦f.
En déduire que f(g(u)) = 0 et f(g(v)) =g(v).
2. Justifier qu’il existe deux réelsaetbtels queg(u) =auetg(v) =bv.
3. On noteN la matrice degdans la baseC= (u, v, w)définie à la questionI.6.
Justifier que N =
a 0 c 0 b d 0 0 e
, oùaet b sont les deux réels définis à la question précédente (II.2) et c, d, edes réels.
4. Existe-t-il des endomorphismesgdeR3tels queg◦g=f?
(Indication : Utiliser les matrices def etgdans la baseC= (u, v, w)définie à la questionI.6.)
ECE 2 1/4 Lycée François Couperin
ECE 2 MATHEMATIQUES DS 3 - durée : 4h
27 novembre 2019
Exercice II.
Les questions1,2et3sont indépendantes.
Soitf un endomorphisme d’un e.v.E.
1. On suppose que f ◦f =−IdE. Montrer quef n’admet aucune valeur propre.
(On pourra raisonner par l’absurde.)
2. a. Montrer que siuest vecteur propre def, alorsuest vecteur propre def2. Quel est le lien entre les valeurs propres associées ?
b. En déduire que sif est diagonalisable, alorsf2est diagonalisable.
3. a. Soitλune valeur propre def. Montrer queEλest stable parf, ie que f(Eλ)⊂Eλ. b. L’inclusion réciproque est-elle vraie ? Justifier.
Exercice III.
On considère la fonctionf définie sur[0; +∞[par f(x) =
1 six= 0 x
ln(1 +x) six >0 ainsi que la suite(un)n∈Ndéfinie par u0=e et ∀n∈N, un+1=f(un).
1. Déterminer le signe def sur l’intervalle[0; +∞[. En déduire que, pour tout entier natureln,unexiste.
2. Écrire un programme Scilab, qui, pour une valeurN fournie par l’utilisateur, calcule et afficheuN. 3. Montrer quef est continue sur[0; +∞[.
4. Établir quefest de classeC1sur]0; +∞[.
5. Donner le développement limité à l’ordre2au voisinage de0de g(x) = ln(1 +x)− x 1 +x, puis déterminer un équivalent def0(x)lorsquextend vers0.
6. Prouver quef est de classeC1sur[0; +∞[.
7. Établir que ∀x>e−1, f(x)6x et (x+ 1) ln(x+ 1)>(x+ 1), et en déduire que ∀x>e−1, f0(x)>0.
8. Démontrer que ∀n∈N, un>e−1.
9. Établir que la suite(un)n∈Nconverge et préciser la valeur de sa limiteL.
ECE 2 2/4 Lycée François Couperin
ECE 2 MATHEMATIQUES DS 3 - durée : 4h
27 novembre 2019
Exercice IV.
Partie I : étude de deux suites
Pour tout entier naturelnnon nul, on pose : un=
n
X
k=1
1
k−ln(n) et vn=un− 1 n. 1. Soitf la fonction définie surR∗+par f(x) = 1
x+ 1+ ln(x)−ln(x+ 1).
a. Déterminer lim
x→0f(x) et lim
x→+∞f(x).
b. Etudier les variations de la fonctionf surR∗+et dresser son tableau de variations.
c. Démontrer que ∀n∈N∗, un+1−un=f(n).
d. En déduire la monotonie de la suite(un)n∈N∗.
e. Ecrire une fonction d’en-tête function y=u(n) qui prend en argument un entier naturelnnon nul et qui renvoie la valeur deun.
2. a. Montrer que ∀n∈N∗ vn+1−vn= 1 n−ln
1 + 1
n
. b. Montrer que pour tout réelxpositif ln(1 +x)≤x.
En déduire que la suite(vn)n∈N∗est croissante.
c. Donner le développement limité d’ordre 2 deln(1 +x)en0.
En déduire que vn+1−vn ∼
n→+∞
1 2n2.
d. Déterminer la nature de la série de terme général vn+1−vn. On note γ =
+∞
X
n=1
(vn+1−vn).
e. Pourn≥2, simplifier la somme partielle
n−1
X
k=1
(vk+1−vk).
En déduire que la suite(vn)n≥2converge versγ. 3. a. Déterminer lim
n→∞un.
b. Montrer que ∀n∈N∗ vn≤γ ≤un puis que ∀n∈N∗ |un−γ| ≤ 1 n
c. On rappelle que l’instructionfloor(x)renvoie la partie entière d’un réelxet on suppose que la fonc- tionude la question1.e.a été correctement programmée. Expliquer l’intérêt et le fonctionnement du script ci-dessous :
eps=input(’Entrer un réel strictement positif : ’) n=floor(1/eps)+1
disp(u(n))
Partie II : étude d’une série
Pour tout entier natureln, on pose an= 1 n(2n−1).
1. Grâce à une équivalence, démontrer que la série de terme généralanconverge.
2. a. Justifier que ∀n∈N∗,
n
X
k=1
1 2k−1 =
2n
X
k=1
1 k −
n
X
k=1
1 2k. b. Déterminer deux réelsαetβtels que ∀n∈N∗, an= α
n + β 2n−1.
ECE 2 3/4 Lycée François Couperin
ECE 2 MATHEMATIQUES DS 3 - durée : 4h
27 novembre 2019
c. En déduire que ∀n∈N∗,
n
X
k=1
ak= 2
2n
X
k=n+1
1 k. 3. a. Montrer que ∀n∈N∗,
2n
X
k=n+1
1
k =u2n−un+ ln(2) où(un)n∈N∗est la suite définie dans la partie I.
b. Calculer alors
+∞
X
k=1
ak.
4. a. Montrer que ∀n∈N∗,
2n
X
k=n+1
1 k = 1
n
n
X
k=1
1 1 +k
n .
b. On rappelle le résultat suivant sur les sommes de Riemann à pas constant : Si g∈ C1([0; 1]), alors lim
n→+∞
1 n
n
X
k=1
g k
n
= Z 1
0
g(t)dt.
Retrouver alors le résultat de la question3.b.
ECE 2 4/4 Lycée François Couperin
