(1)NOM : Prénom : MATHEMATIQUES Interro 4 - durée : 15’ ECE 2 18 novembre 2019 1

NOM : Prénom :

MATHEMATIQUES Interro 4 - durée : 15’

ECE 2 18 novembre 2019

1. f(~u) =λ~u . (On doit avoir~u6=~0pour s’assurer queλest bien valeur propre.) 2. Aest diagonalisable si (par exemple) elle est semblable à une matrice diagonale.

3. — On a f(~0) =~0 =λ~0, donc ~0∈E_λ.

— Soit(u, v)∈(E_λ)²etα ∈R. On a :

f(αu+v) =αf(u) +f(v) =αλu+λv=λ(αu+v).

Donc, αu+v∈E_λ.

— Donc, Eλest un s.e.v. deE.

4. Soit la matriceA= 2 1

−2 5

! .

a. On a Q(A) =A²−7A+ 12I2 = 2 7

−14 23

!

− 14 7

−14 35

!

+ 12 0 0 12

!

= 02.

b. Le polynôme précédent admet pour racines3et4. Ce sont donc les candidats pour être valeurs propres.

On résout (A−3I2) x y

!

= 0 0

!

⇐⇒

( −x+y= 0

−2x+ 2y= 0 ⇐⇒ x=y.

Donc, E3(A) =V ect 1 1

! .

De même, (A−4I₂) x y

!

= 0 0

!

⇐⇒

( −2x+y= 0

−2x+y= 0 ⇐⇒ y= 2x.

Donc, E₃(A) =V ect 1 2

! .

On prend donc P = 1 1 1 2

! .

ECE 2 1/1 Lycée François Couperin