ECE 2 MATHEMATIQUES DS 4 - durée : 4h
17 décembre 2019
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
On considère un paramètre réelm, et les matrices suivantes :
Am=
2 2 2
2 2 +m 2 +m
−2 −2−m −2−m
et I3 =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1. a. Montrer queA2metA3mne dépendent plus dem, et vérifier que A3m= 2.A2m. b. En déduire que Sp(Am)⊂ {0,2}.
2. Dans cette série de questions on étudie le casm= 0et on cherche à diagonaliserA0. a. Montrer que les réels 0 et 2 sont bien valeurs propres deA0.
b. Déterminer une base de chacun des deux sous-espaces propres deA0.
c. Montrer queA0 est diagonalisable, et donner une matrice carrée inversibleQet une matrice diago- nale
D=
α 0 0 0 α 0 0 0 β
telles queA0 =QDQ−1.
d. Montrer l’existence de deux réelsaetbtels queA20 =aA0+bI3. 3. Dans cette série de questions, on suppose que le paramètremest non nul.
On noteB = (e1, e2, e3)la base canonique deR3etfm l’endomorphisme deR3dont la matrice relative- ment àBestAm.
a. Montrer que les réels 0 et 2 sont bien valeurs propres defm.
b. Déterminer une base de chacun des deux sous-espaces propres defm. La matriceAmest-elle diagonalisable ?
c. On pose les vecteurs deR3: u=e1−e2 = (1,−1,0), v=fm(u), w=e1+e2−e3 = (1,1,−1).
Calculerv,fm(v)etfm(w).
d. Recopier et compléter le programme Scilab suivant pour qu’il renvoiefm(w):
m=input(’entrez m’) A=...
w=...
...
disp(...)
e. Montrer que la famille(u, v, w) est une base de R3 et former la matrice de l’endomorphisme fm relativement à cette base.
f. En déduire une matrice carrée inversiblePmtelle que Pm−1AmPm=
0 0 0 1 0 0 0 0 2
. g. Existe-t-il des réelscetdtels que A2m=cAm+dI3?
ECE 2 1/4 Lycée François Couperin
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17 décembre 2019
Exercice II.
On rappelle que sif est continue surR, alors, poura∈R, F :x7−→
Z x a
f(t)dt est de classeC1surR, et, ∀x∈R, F0(x) =f(x).
1. Montrer que l’intégrale Z 2x
x
√ 1
t2+ 1dt est définie pour tout réelx.
On considère désormais la fonctionf définie par ∀x∈R, f(x) = Z 2x
x
√ 1
t2+ 1dt.
2. Etablir quefest impaire.
3. a. Montrer quef est de classeC1surR.
b. Déterminerf0(x), pour tout réelx, et en déduire quef est strictement croissante surR.
4. a. En utilisant la relation t2 6 t2+ 1 6 t2+ 2t+ 1, valable pour touttréel positif ou nul, montrer que l’on a l’encadrement ∀x∈R∗+, ln(2x+ 1)−ln(x+ 1)6f(x)6ln(2).
b. Donner alors la limite def(x)lorsquextend vers+∞. c. Dresser le tableau de variation complet def.
d. Résoudre l’équation f(x) = 0.
5. a. Montrer que ∀x∈R, x+√
x2+ 1>0.
b. Déterminer la dérivée de la fonctionhqui, à tout réelxassocie ln(x+√
x2+ 1).
c. En déduire l’expression explicite def(x).
6. a. Etablir que ∀x∈R∗+, x−f(x) = Z 2x
x
t2
√ t2+ 1
1 +√
t2+ 1 dt.
b. En déduire que ∀x∈R∗+, 06x−f(x)6 7 6x3. c. Conclure que f(x) ∼
0+ x.
d. Montrer que l’on a aussi f(x) ∼
0−x.
ECE 2 2/4 Lycée François Couperin
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17 décembre 2019
Exercice III.
1. Calculs préliminaires
a. On considère deux nombres entiers naturelsqetntels quen>q.
En raisonnant par récurrence surn, établir la formule
n
X
k=q
k q
=
n+ 1 q+ 1
.
b. En faisant q = 1,2,3, en déduire (ou redémontrer pour celles qui sont connues) une expression factorisée des quatre sommes suivantes :
An=
n
X
k=1
k, Bn=
n
X
k=2
k(k−1), Cn=
n
X
k=1
k2, Dn=
n
X
k=3
k(k−1)(k−2).
- - - - On considère dans toute la suite un nombre entiern>2et une urne contenantnjetons numérotés de1àn.
On extrait de cette urne successivement et sans remise 2 jetons et on désigne alors par :
— N1la variable aléatoire indiquant le numéro du premier jeton tiré.
— N2la variable aléatoire indiquant le numéro du second jeton tiré.
— Xla variable aléatoire indiquant le plus petit des numéros des2jetons tirés.
— Y la variable aléatoire indiquant le plus grand des numéros des2jetons tirés.
On noteE(N1)etV(N1),E(N2)etV(N2),E(X)etV(X),E(Y)etV(Y)les espérances et variances des quatre variables aléatoiresN1, N2, X, Y.
2. Informatique.
Recopier et compléter le programme Scilab suivant pour qu’il modélise l’expérience :
n=input(’entrez un entier naturel non nul’) n1=grand(1,1,’uin’,1,n)
n2=...
while n2 ...
n2=...
end x=...
y=...
3. Lois conjointe et marginales des variables aléatoiresN1etN2. a. Déterminer les probabilités :
i. P(N1=i)pour16i6n
ii. P[N1=i](N2 =j)pour16j6n, j6=i
En déduireP(N2 =j)pour16j6n, puis comparer les lois deN1etN2. b. Calculer les espérancesE(N1)etE(N2), les variancesV(N1)etV(N2).
c. Déterminer les probabilitésP([N1 =i]∩[N2 =j]), pour16i6net16j 6n, en distinguant les deux casi=jeti6=j.
ECE 2 3/4 Lycée François Couperin
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17 décembre 2019
d. En déduire que E(N1N2) = (n+ 1)(3n+ 2)
12 .
e. En déduire la covariance et le coefficient de corrélation linéaire deN1etN2. f. Exprimer enfin sous forme factorisée la variance V(N1+N2).
4. Lois conjointe, marginales et conditionnelles des variablesaléatoiresXetY a. Montrer que ∀16i < j 6n, P([X=i]∩[Y =j]) = 2
n(n−1). Sinon, que valent ces probabilités ?
b. En déduire les probabilités P(Y =j), pour26j6n, et P(X=i), pour16i6n−1.
(On vérifiera que les formules donnantP(Y =j)etP(X =i)restent valables sij = 1oui=n).
c. Déterminer les probabilités P[Y=j](X = i) et P[X=i](Y = j), pour1 6 i < j 6 n, puis recon- naître la loi deXconditionnée par[Y =j], et la loi deY conditionnée par[X =i].
d. Comparer les lois des variables aléatoiresn+ 1−XetY, autrement dit les deux probabilités P(n+ 1−X=j)etP(Y =j), pour26j6n.
En déduire que E(n+ 1−X) =E(Y) et V(n+ 1−X) =V(Y), puis en déduire les expressions deE(X)en fonction deE(Y)et deV(X)en fonction deV(Y).
5. Espérances et variances des variables aléatoiresXetY a. Exprimer les espérancesE(Y)etE(X)en fonction den.
b. Exprimer sous forme factorisée E[Y(Y −2)], puisE(Y2),V(Y)etV(X)en fonction den.
6. Covariance et coefficient de corrélation linéaire des variables aléatoiresXetY
a. Vérifier que X+Y =N1+N2, puis en déduire sous forme factorisée la variance deX+Y et la covariance deXetY.
b. En déduire le coefficient de corrélation deXetY, et interpréter le résultat obtenu.
ECE 2 4/4 Lycée François Couperin
![1). Dresser le tableau de variation de f sur ]0; +∞[](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)