ECE 2 MATHEMATIQUES
DS 8 - Concours Blanc 2 - durée : 4h
24 mars 2020
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
On considère les matrices carrées d’ordre 3 suivantes : I =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
, A=
1 1 1 1 1 1 1 1 3
. Partie I : Détermination d’une racine carrée deA
1. Sans calcul, justifier queAest diagonalisable et non inversible. Déterminer le rang deA.
2. Montrer que0,1et4sont les trois valeurs propres deA, et déterminer les sous-espaces propres associés.
3. En déduire une matrice diagonaleDdeM3(R), dont les coefficients diagonaux sont dans l’ordre crois- sant, et une matrice inversibleP deM3(R), dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à 1, telles queA=P DP−1.
4. CalculerP−1.
5. Montrer qu’il existe une matrice diagonale∆deM3(R), dont les coefficients diagonaux sont dans l’ordre croissant, telle que∆2 =D, et déterminer∆.
6. On noteR=P∆P−1. MontrerR2 =Aet calculerR.
Partie II : Étude d’endomorphismes
On munitR3 de sa base canonique B= (e1, e2, e3)et on considère les endomorphismesf etg deR3 dont les matrices dansBsont respectivementAetR.
On noteC= (u1, u2, u3)la base deR3 telle queP est la matrice de passage deBàC. 1. Déterminer les matrices def etgdans la baseC.
2. a. Déterminer une base et la dimension deker (f).
b. Déterminer une base et la dimension deIm (f).
3. a. Déterminer une base et la dimension deker (g). b. Déterminer une base et la dimension deIm (g).
4. Trouver au moins un automorphismehdeR3tel queg=f◦h. On déterminerahpar sa matriceHdans la baseC, puis on exprimera la matrice dehdans la baseBà l’aide deHet deP.
ECE 2 1/4 Lycée François Couperin
ECE 2 MATHEMATIQUES
DS 8 - Concours Blanc 2 - durée : 4h
24 mars 2020
Exercice II.
Soitf la fonction numérique définie surRpar f(x) = 1
√ 1 +x2. Partie A.
1. Montrer que la fonctionfest paire surR.
2. Etudier les variations def sur l’intervalle[0; +∞[.
3. Déterminer la limite def en+∞.
4. Montrer quef est bornée surR.
5. a. Montrer quef réalise une bijection de l’intervalle[0; +∞[sur un intervalleJà préciser.
b. Pour toutyde l’intervalle]0; 1], déterminer l’unique réelxappartenant à l’intervalle[0; +∞[, tel que f(x) =y.
c. Déterminer alors la bijection réciproquef−1. Partie B.
On considère la fonction numériqueFdéfinie par F(x) = ln(x+√
x2+ 1).
1. Montrer que ∀x∈R, x+√
x2+ 1>0. En déduire l’ensemble de définition deF. 2. Montrer queF est une primitive defsurR.
3. Montrer queF est impaire sur son ensemble de définition.
4. Déterminer la limite deF lorsquextend vers+∞. 5. En déduire la limite deF quandxtend vers−∞. Partie C.
Soit(un)n∈Nla suite de nombres réels déterminée par un= Z 1
0
xnf(x)dx.
1. a. Calculeru0etu1.
b. Effectuer une intégration par parties et calculeru3. (On pourra remarquer que x3
√
1 +x2 =x2 x
√
1 +x2.)
2. a. Montrer que ∀n∈N, un>0.
b. Montrer que la suite(un)n∈Nest décroissante.
c. En déduire qu’elle est convergente. (On ne cherchera pas à calculer sa limite ici.) 3. a. Justifier l’encadrement suivant : ∀x∈[0; 1], ∀n∈N, 06 xn
√1 +x2 6xn. b. En déduire que ∀n∈N∗, 06un6 1
n+ 1. c. Déterminer alors la limite de la suite(un)n∈N.
d. Créer un programme Scilab qui renvoie le premier terme de la suite à être inférieur à10−3, et renvoie l’indice correspondant.
ECE 2 2/4 Lycée François Couperin
ECE 2 MATHEMATIQUES
DS 8 - Concours Blanc 2 - durée : 4h
24 mars 2020
Exercice III.
Un mobile se déplace sur les points à coordonnées entières d’un axe d’origine0. Au départ, le mobile est en0.
Le mobile se déplace selon la règle suivante : s’il est sur le point d’abscisse k à l’instantn, alors, à l’instant (n+ 1)il sera sur le point d’abscisse(k+ 1)avec la probabilitép(0< p < 1) ou sur le point d’abscisse0avec la probabilité1−p.
Pour toutndeN, on noteXnl’abscisse de ce point à l’instantnet l’on a doncX0 = 0.
On admet que, pour toutndeN,Xnest définie sur un espace probabilisé(Ω,A,P).
Par ailleurs, on noteT l’instant auquel le mobile se trouve pour la première fois à l’origine (sans compter son positionnement au départ).
Par exemple, si les abscisses successives du mobile après son départ sont0,0,1,2,0,0,1, alors on aT = 1. Si les abscisses successives sont :1,2,3,0,0,1, alors on aT = 4.
On admet queT est une variable aléatoire définie sur(Ω,A,P).
1. a. Pour toutkdeN∗, exprimer l’événement[T =k]en fonction d’événements mettant en jeu certaines des variablesXi.
b. Donner la loi deX1.
c. En déduireP (T =k)pour toutkdeN∗, puis reconnaître la loi deT. 2. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln,Xn(Ω) = [[0, n]].
b. Pour toutndeN∗, utiliser le système complet d’événements([Xn−1=k])0≤k≤n−1pour montrer que : P (Xn= 0) = 1−p.
3. a. Établir que ∀n∈N, ∀k∈ {1,2, . . . n+ 1}, P (Xn+1 =k) =pP (Xn=k−1) b. En déduire que ∀n∈N∗, ∀k∈ {0,1,2. . . , n−1}, P (Xn=k) =pk(1−p).
En déduire également la valeur deP (Xn=n).
Donner une explication probabiliste de ce dernier résultat.
c. Vérifier que
n
X
k=0
P (Xn=k) = 1.
4. Dans cette question et dans cette question seulement, on prendp= 1 3.
On rappelle quegrand(1,n,’uin’,1,3) renvoie un vecteur ligne den coordonnées contenant des simula- tions de la loi uniforme sur[[1,3]].
Compléter le programme suivant pour qu’il simule l’expérience aléatoire étudiée et affiche la valeur prise parXnpour une valeur denentrée par l’utilisateur.
ECE 2 3/4 Lycée François Couperin
ECE 2 MATHEMATIQUES
DS 8 - Concours Blanc 2 - durée : 4h
24 mars 2020
n=imput("entrez un entier") U=grand(1,n,’uin’,1,3) X=***
for k=1 :n
if U(k)==2 then X=***
else
X=***
end end disp(X)
5. a. Montrer que ∀n≥2,
n−1
X
k=1
k pk−1= (n−1)pn−n pn−1+ 1 (1−p)2 . b. En déduire que E(Xn) = p(1−pn)
1−p .
6. a. Montrer, en utilisant la question3.a.que ∀n∈N, E Xn+12
=p E Xn2
+ 2E(Xn) + 1 . b. Pour tout entier natureln, on pose un=E Xn2
+ (2n−1) pn+1 1−p. Montrer que un+1 =p un+p(1 +p)
1−p .
c. En déduire l’expression deun, puis celle deE Xn2
en fonction depetn.
d. Montrer enfin que V (Xn) = p
(1−p)2 1−(2n+ 1)pn(1−p)−p2n+1 .
ECE 2 4/4 Lycée François Couperin
