Examen de l’Alg`ebre Lin´eaire L2 en Math´ematiques Fondamentales
Universit´e Paul Sabatier, 06/2011 Solutions et Indications.
Exercice 1.
A=
−1 2 −2
−2 3 −2
2 −1 4
i) Les valeurs propres de A sont les racines du polynˆome PA(γ) = det(A−γI3). Ici on a 3 valeurs propres: γ1 = 1, γ2 = 2, γ3.
ii) A est diagonalisable car ses valeurs propres sont distinctes. La diagonalis´ee deAestD=diag(1,2,3). Il faut encore trouver la matrice de passage. Pour cela on cherche les vecteurs propres deA, c’est `a dire des vecteurs vi ∈ R3 qui v´erifient les ´equations Avi =γivi, i= 1,2,3.
Solutions:
v1 =
2 1
−1
, v2 =
2 2
−1
, v3 =
−1
−1 1
(ou leurs mutiples).
On peut mettre les trois vecteurs propres v1, v2, v3 ensemble pour former la matrice de passage:
C =
2 2 −1
1 2 −1
− −1 1
,
et on a A=CDC−1
iii) On peut ecrire le syst`eme diff´erentiel sous forme X0 =AX avec X = (x, y, z)T. Metton Z =C−1X, on obtient l’´equation Z0 =DZ, et X =CZ. Comme D=diag(1,2,3), la solution g´en´erale de l’´equation Z0 =DZ est Z = (α1et, α2e2t, α3e3t)T, et la solution g´en´erale de X0 = AX est:
x y z
=
2 2 −1
1 2 −1
− −1 1
α1et α2e2t α3e3t
=
2α1et+ 2α2e2t−α3e3t α1et+ 2α2e2t−α3e3t
−α1et−α2e2t+α3e3t
Exercice 2. Montrer que
|3a+ 4b+ 5c| ≤5p
2(a2+b2+c2).
2
Appliquer l’in´egalit´e de Cachy-Schwarz aux vecteurs (3,4,5) et (a, b, c) dans R3 avec la m´etrique euclidienne canonique. On a ´egalit´e ssi les deux vecteurs sont colin´eaires.
Exercice 3. i) Montrer que φ(P, Q) := P(0)Q(0) + P(1)Q(1) + P(i)Q(i) est un produit hermitien sur E =C2[X].
La v´erification est directe et facile. Il ne faut pas oublier de v´erifier la positivit´e du produit: siP 6= 0 alors φ(P, P)>0.
ii) Trouver un base orthonormale (G0, G1, G2) telle que degGk =k pourk = 0,1,2.
Utiliser Gram-Schmidt.
On commence avec la baseF0 = 1, F1 =X, F2 =X2.On aφ(F0, F0) = 3, φ(F1, F0) = 1+i. Donc on peut mettreH0 = 1, H1 = 3F1−(1+i)F0 = 3X−(1 +i) et on auraφ(H1, H0) = 0.
On a φ(F2, H0) = 0, φ(F2, H1) = 3φ(X2, X) = 3(1 +i), φ(H1, H1) = 12 donc on peut mettre H2 = (12/3(1 +i))F2 −H1 = 2(1−i)X2 − 3X+ (1 +i). Alors (H0, H1, H2) est une base orthogonale.
Pour obtenir une base orthonormale, il faut encore diviser les vecteurs H0, H1, H2 par leur normes. Donc on peut mettre: G0 = H0/kH0k = 1/√
3, G1 =H1/kH1k = (3X−1−i)/√
12, G2 = H2/kH2k = (2(1− i)X2−3X+ 1 +i)/2.
Bar`eme: Exo 1 = 11 (4 (valeurs propres) + 1 (diagonalis´ee) + 3 (matrice de passage) + 3 (solution du syst`eme diff.)), Exo 2 = 3, Exo 3 = 8 (4+4).
