Exercice 2 1)Soit f :x→ 2x+ 5 x+ 2 .D´eterminer Df puis montrer que Cf admet deux droites asymptotes

Licence Economie-Gestion 1^`ere Ann´ee 2016-2017 Math´ematiques appliqu´ees

Exercices - s´erie n^◦2

Exercice 1 On consid`ere la fonction f :x→ x²+ 1

ax²+bx−2, aetb´etant deux r´eels.

D´eterminer les r´eels a et b pour queC^f admette la droite d’´equationx= 2 comme asymptote, et n’admette pas d’asymptote parall`ele `a l’axe des abscisses.

Exercice 2 1)Soit f :x→ 2x+ 5

x+ 2 .D´eterminer D^f puis montrer que C^f admet deux droites asymptotes. Pr´eciser la position deC^f par rapport `a son ´eventuelle asymptote horizontale.

2) Mˆeme question pourf :x→ x−1 x .

Exercice 3 1) Soit f : x → x²−x+ 1

x−1 . D´eterminer Df puis montrer que Cf admet deux droites asymptotes.(On pourra ´ecriref(x) sous la forme : ax+b+ c

x−1,o`ua, b etcsont trois r´eels `a d´eterminer). Pr´eciser la position deCf par rapport `a son ´eventuelle asymptote oblique.

2)Mˆeme question pour f :x→ x²+x

2x+ 1 (avecf(x) =ax+b+ c 2x+ 1) .

Exercice 4 Etudier les branches infinies des fonctions suivantes : a)x→ x+√

x

2x+ 1 b)x→ lnx

x+ 1 c)x→x e^x d)x→ x lnx e)x→

√x

x−1 f)x→ xe^x e^x+ 1.

Exercice 5 Calculer les d´eriv´ees des fonctions suivantes sur l’ensemble I donn´e : a)f(x) =x(1−2x)², I = IR b) f(x) = ln( 2

√x), I= IR^∗+ c) f(x) = x²−1

(x²+ 1)² , I = IR d)f(x) =

lnx x

2

, I = IR^∗+ e) f(x) =xe^1/x, I = IR^∗ f ) f(x) = e^2x−1

e^2x+ 1, I = IR g) f(x) = x²+x−2

(x+ 1)² , I = IR− {-1} h) f(x) =xe^−1/x2 , I = IR^∗ i) f(x) =

√x−1

√x+ 1 , I = IR^∗+

j)f(x) = 1

ln(1 +x²) , I = IR^∗ k) f(x) =xe^−√x , I = IR^+∗ l)f(x) =x(lnx)² , I = IR^+∗ m) f(x) = ln(lnx), I = ]1,+∞[ n) f(x) = x+ 1

x²+ 1 , I = IR o)f(x) = xe^x

e^x−1 , I = IR^∗ p) f(x) = (1−x²)^3/2 , I = ]−1,1[ q) f(x) = (2x+ 1)³x²+ 2x−1² , I = IR

r) f(x) =

x³

x−1 , I = ]−∞,0[∪ ]1,+∞[ s)f(x) = (x²−1)√

x−1, I= ]1,+∞[.

Exercice 6

1)La droite d’´equation y= 4x−1 est tangente en A(0,−1) `a la courbe (C) d’´equation : a) y= 2x²+ 4x−2 ? b)y =x²−1 ? c) y= 3x−1

x+ 1 ?

2)L’´equation de la tangente `a la courbe repr´esentative Cf de f au point de Cf d’ordonn´ee 4 est : y=−3x+ 7. On en d´eduit :

a) f(4) = −3 ? b) f(1) =−3 ? c) f(1) = 4 ?

Exercice 7 a) On consid`ere la fonction f :x→x|x|. Etudier la d´erivabilit´e de f en 0.

b) La fonctionf d´efinie parf(x) =







f(x) = x

lnx si x >0 et x= 1 f(0) = 0

est-elle continue `a droite en x= 0 ? d´erivable `a droite en x= 0 ?

Exercice 8 Calculer la fonction d´eriv´ee des fonctions suivantes (pr´eciser l’ensemble sur lequel la fonction est certainement d´erivable).

a) (x²+x)³ b) √

1−x² c) e^2x3+1 d) ln (2 +e^2x) e) x−1 x²+ 2 f) e^x

e^x−1 g) x^x h) x²+ 1

x²−x−2 i) 3−2x

x²−2 j) (1 +x²)^x .

Exercice 9

1) La courbe repr´esentative de la fonctionf :x→ 3x

1−2x poss`ede-t-elle des tangentes parall`eles `a : la droite d’´equationy= 3x+ 11 ? la droite (AB),avecA

0 1

, B

3 2

? 2) Mˆeme question avecf :x→x² + 1

x et la droite d’´equation y=x+ 4. R´esultats de l’exercice 5

a) f(x) = (1−2x) (1−6x) b) f(x) = − 1

2x c) f(x) = 2x(3−x²) (x²+ 1)³ d)f(x) = 2 lnx(1−lnx)

x³ e)f(x) =e^1/x(1− 1

x) f )f(x) = 4e^2x (e^2x+ 1)² g) f(x) = (x+ 5)

(x+ 1)³ h) f(x) = x²+ 2

x² e^−1/x2 i) f(x) = 1

√x(√

x+ 1)² j) f(x) = −2x

(1 +x²)(ln (1 +x²))² k) f(x) = (1− ^√2^x)e^−√x l) f(x) = lnx(lnx+ 2) m) f(x) = 1

xlnx n) f(x) =−x²+ 2x−1

(1 +x²)² o)f(x) = e^x(e^x−x−1) (e^x−1)² p) f(x) =−3x√

1−x² q) f(x) = 2 (2x+ 1)²(x²+ 2x−1) (7x²+ 12x−1) r) f(x) = x²(2x−3)

2 (x−1)²_x−^x3₁ s) f(x) =

√x−1 (5x+ 1)

2 .