D649. Une longueur minimax
Soit un triangle ABC demi-équilatéral dont l’angle en A vaut 90° et BC = 1. Déterminer la plus petite longueur possible du plus grand côté du triangle dont les trois sommets se trouvent respectivement sur les trois côtés du triangle ABC. Construire à la règle et au compas le triangle correspondant.
Solution de Paul Voyer
Il est toujours possible de raccourcir le plus grand côté au détriment d'un côté voisin.
Donc le triangle inscrit minimal est équilatéral.
A partir d'un point G, sur BC, on sait construire un triangle équilatéral inscrit à ABC.
L'aire est minimale si le centre instantané de rotation F est l'intersection des perpendiculaires à AB, BC, CA passant par les trois sommets G, H, I, du triangle inscrit.
Graphiquement, G et F ont pour abscisse 0.214285.
Posons x(G) = x 0.21428
x(B') = 2
x 0.10714
y(B') = 2
x 3 0.185577
y(C') =
2 3 2
1
x 0.247435
FN = 2(y(C')-y(B')) =
2 4 3
1 x 0.123717
x(G)-x(B') = 3/4-3x = x/2 xG = 3/14 confirme l'estimation graphique.
De même, yH = 0.2474357 7
3
Il s'ensuit que le côté HG du triangle inscrit vaut 0.32732 7
2 3 14
3
* 4
²
3
Construction de G : la ligne rouge sur le schéma, par exemple entre O(0, -.3) et P(1, 1.1)
ou (0, -3) et (1, 11) pour utiliser des nombres entiers.
