D1892 – Un ratio très rationnel [*** à la main]

D1892 – Un ratio très rationnel [*** à la main]

Soit un triangle isocèle ABC de sommet A et de côtés AB = AB < BC = a.

On trace le point D sur le côté AC tel que CD = BC = a puis le point E projection de C sur BD.

Les rayons des cercles inscrits des triangles ABD et BCE sont égaux à une même valeur r.

En déduire le ratio r/a.

Solution proposée par Bernard Vignes

PS On constate qu’à des coefficients entiers près le triangle BCE est un triangle pythagoricien de la famille (3,4,5) et le triangle AHC de la famille (7,24,25).

Par exemple si l'on retient un triangle ABC de côtés AB = AC = 125 et BC = 70, les longueurs des segments et les aires s'expriment toutes avec des entiers: BE= 42, CE = 56, AM = 120, AD = 55, p₁ = 84, aire BEC = 1176,r₁ = 1176/84

= 14 p₂=132, aire ABD = aire ABC – 2aire BEC = 4200 – 2*1176 = 1848, r₂ = 1848/132 = 14.

Sans perte de généralité on pose BC = a = 1, BE = p et CE = q tels que p² + q² = 1.

On a les deux relations : aire du triangle BCE = pq/2 et demi-périmètre de ce triangle (p + q + 1)/2 .

D’où le rayon du cercle inscrit du triangle BCE = r₁ = pq/(p + q + 1).

Soit α = BCE. On a p = sin(α) et q = cos(α).

D’où cos(2α) = 2 cos²(α) – 1 = 2q² – 1 = 1 – 2p² et sin(2α) = 2pq.

On désigne par H le milieu BC. AH est la médiatrice de BC.

D’où AC = 1/2(1 – 2p² et AH = pq/(1 – 2p²)

Il en résulte que : AD = AC – CD = AC – BC = (4p² – 1)/(2 – 4p²)

demi-périmètre ABD = 1/2(1– 2p²) + 2p + (4p² – 1)/(2 – 4p²) = 4p²/(2 – 4p²) + 2p aire ABD = aire ABC –2 aire BCE = pq/2(1– 2p²) – pq = pq(4p² – 1)/(2 – 4p²) D’où le rayon du cercle inscrit du triangle ABD = r₂ = q(4p² – 1)/(4 + 2p – 4p²)

L’égalité r₁ = r₂ entraine : pq/(p + q + 1) = q(4p² – 1)/(4 + 2p – 4p²)

D’où q = –2p – 1/2 + 1/(4p – 2) avec p² + q² = 1 Geogebra donne l’unique solution à l’intersection d’un arc d‘hyperbole et d’un demi-cercle : p =0.6 et q = 0.8 D’où r = 0.2 = 1/5 qui est bien un rationnel.