G217 Référendum [**** à la main]
Solution
Ce problème se résout très rapidement avec une représentation graphique simple du
dépouillement des voix. On suppose que N=p+q suffrages ont été exprimés dont p « Oui » et q « Non ». Dans la quadrillage rectangulaire ci-dessus de dimensions p en longueur et q en hauteur, un dépouillement possible est représenté par le chemin bleu allant du point A(0,0) au point H(p,q). Quand un « Oui » est enregistré on se déplace d’une unité vers la droite et quand c’est un « Non », on se déplace vers le haut toujours d’une unité.
Dans le quadrillage qui est de dimensions 11 x 8, le chemin bleu ABCDEFGH correspond au dépouillement suivant : OOONNNNOOONNNOOONOO et il y a bien une correspondance biunivoque entre un dépouillement possible exprimé par une succession de « Oui » et de
« Non » en nombres respectifs p et q et un chemin bleu allant de A à H.
On constate qu’à deux occasions, le « Non » a été majoritaire au cours du dépouillement avec les points C et E atteints par le chemin bleu quand celui-ci traverse la première bissectrice en rouge qui traduit l’égalité des « Oui » et des « Non ».
Combien y a-t-il a priori de dépouillements possibles ?
C’est le nombre de chemins allant de A à H ou encore le nombre de combinaisons possibles de p+q éléments pris p à p sans tenir compte de l’ordre, à savoir Y = Cppq = (p+q)! / p!q!. On suppose que toutes ces combinaisons sont équiprobables.
Parmi tous ces chemins possibles, combien y en a-t-il où le « Oui » est toujours resté majoritaire ?
On voit sur le graphique que le premier bulletin dépouillé étant un « Oui », le chemin bleu doit passer par le point P(1,0). Entre P(1,0) et H(p,q), il y a Cpp-1q-1 chemins possibles. Parmi tous ces chemins, un certain nombre d’entre eux traversent la ligne rouge ou s’appuient sur elle. Il convient donc de les exclure. Si on prend le point Q(0,1) et le point B’ symétriques des points P(1,0) et B par rapport à la première bissectrice, on obtient un chemin QB’ICDEFH qui
est l’alter ego du chemin ABICDEFGH et il y a autant de chemins de type QB’ICDEFH que de chemins de type ABICDEFGH. Or les chemins de type QB’ICDEFH se dénombrent à l’intérieur du rectangle de dimensions p x (q-1). Leur nombre est donc Cqp-1q-1. Globalement, il y a donc X = Cpp-1q-1-Cqp-1q-1chemins ne traversant pas la ligne rouge ou ne s’appuyant pas sur elle.
Comme Cpp-1q-1-Cqp-1q-1= (p+q-1)!/(p-1)!q ! – (p+q-1)!/p !(q-1)! = (p-q)*(p+q)!/(p+q)p!q! , on a X= (p-q)* Cppq/ (p+q).
La probabilité pour que le « Oui » soit resté majoritaire tout au long du dépouillement est donc égale à X/Y = (p-q) / (p+q) qui vaut donc 2641238 / 28257778 = 0,093 = 9,3% avec trois décimales exactes.
