E344-L'énigme du 21ième salon MB Problème proposé par Dominique Souder
Max a attribué en secret à chaque carte une valeur entière selon sa famille :
- La valeur a à tout trèfle (T), la valeur b à tout carreau (K), la valeur c à tout coeur (C), la valeur d à tout pique (P).
De plus 0 < a < b < c < d, et (a + b + c + d) = 21 (21e anniversaire oblige !).
Max tire 21 cartes en cachette, les regarde, puis il multiplie les 21 valeurs : il annonce 120932352, et demande à Ludo si grâce à sa calculatrice il saura dire combien il a tiré de cartes de chaque sorte (T, K, C, P).
Celui-ci tape sur sa calculatrice puis dit : - « c’est embêtant, je vais devoir prendre un papier et un crayon»
Puis après avoir griffonné : - « j’ai plusieurs possibilités. »
Max lui dit alors : « la solution est toujours celle qui privilégie le côté coeur ».
Aidez Ludo à donner la composition des 21 cartes (T, K, C, P).
120932352 = 211310 .
Les quadruplets (a,b,c,d) tels que 0 < a < b < c < d, (a + b + c + d) = 21 , sont :
(3 5 6 7) (3 4 6 8) (2 5 6 8) (2 4 7 8) (1 5 7 8) (3 4 5 9) (2 4 6 9) (1 5 6 9) (2 3 7 9) (1 4 7 9) (1 3 8 9) (2 4 5 10) (2 3 6 10) (1 4 6 10) (1 3 7 10) (1 2 8 10) (2 3 5 11) (1 4 5 11) (1 3 6 11) (1 2 7 11) (2 3 4 12) (1 3 5 12) (1 2 6 12) (1 3 4 13) (1 2 5 13) (1 2 4 14) (1 2 3 15) Ceux en italique sont à exclure, la plupart parce qu'ils ne contiennent aucun multiple de 3, d'autres parce qu'ils ne donneraient pour 2 que des exposants pairs.
Il en reste 9:
(3 4 6 8) (2 5 6 8) (2 4 6 9) (2 3 7 9) (2 3 6 10) (2 3 5 11) (2 3 4 12) (1 2 6 12) (1 2 3 15) T+K+C+P= 21 On compte les exposants de 2 et de 3 dans le produit des 21 nombres : cas (3, 4, 6, 8) 2K+C+3P = 11, T+C = 10, K+P = 11, K+C+2P = 0 impossible
cas (2 5 6 8) T+C+3P =11 C=10 T+3P =1 P=0 T=1 K=0 T+K+C+P < 21 impossible cas (2 4 6 9) T+2K+C = 11, C+2P = 10, T+2(K+C+P) = 21, K+C+P = 0 impossible cas (2 3 7 9) (T,K,C,P)=(11, 10, 0, 0)
cas (2 3 6 10) P=0 T+C = 11 K+C = 10 somme des 3 égalités : T+K+2C+P =21 C=0 cela ne favorise pas les cœurs !
cas (2 3 5 11) (T,K,C,P)=(11, 10, 0, 0)
cas (2, 3, 4, 12), T+2C+2P = 11, K+P = 10, T+C = 11, C+2P = 0, C=P=0, (T,K,C,P) = (11, 10, 0, 0)
cas (1, 2, 6, 12), K+C+2P = 11, C+P = 10, T+K = 11, K+P = 1 (T,K,C,P)= (11, 0, 9, 1) ou (10, 1, 10, 0) cas (1 2 3 15) (T,K,C,P)= (0, 11, 10, 0)
On ne retient que les cas donnant C = 10 En résumé : 2 solutions:
a b c d T K C P
1 2 6 12 10 1 10 0
1 2 3 15 0 11 10 0
D 4 9 0 1
‒ P a v a g e s d ' h e x a g o n e s [
*
*
* à l a m a i n ] A v e c n t r i a n g l e s é
