G228 Un morcellement explosif [*** à la main]
Solution de Daniel Collignon
Un segment rencontre un triangle en au plus 2 points distincts (dans ce cas, les extrémités du segment sont nécessairement à l’extérieur du triangle)
Dans une situation avec n triangles, nous nous débrouillons par récurrence pour que chaque segment du n+1 ème triangle rencontre chaque autre triangle en 2 nouveaux points, sans jamais trois segments concourants, on génère ainsi 3*2*n = 6n nouveaux points.
Ces 6n points plus les 3 sommets du nouveau triangle (situés à l’extérieur de tout triangle), génèrent 6n+3 segments.
Les 2 segments partant d'un sommet du nouveau triangle génèrent une nouvelle région (toujours parce qu’un tel sommet est situé à l’extérieur de tout triangle), soit 3 régions générées.
Les 6n-3 segments intérieurs, traversant des régions déjà existantes, génèrent 6n-3 régions.
Cela fait donc en tout une génération de 6n nouvelles régions à chaque étape.
Ainsi si Rt désigne le nombre maximal de régions créées par t triangles, nous avons : R1 = 2
Rn+1 = Rn + 6n
D'où par sommation télescopique, Rn = 3n(n-1) + 2.
En particulier R7 = 128.
L'exemple suivant montre que ce maximum théorique peut toujours être atteint.
La base est un polygone régulier à 21 côtés dans lequel on tracé 7 triangles équilatéraux avec les sommets i, i+7, i+14 pour i=1..7
Il n’est pas difficile de dénombrer les régions, telle une fleur que l’on effeuillerait !
Il y a la région intérieure (cœur) + 126 régions périphériques (6 familles de 21 pétales) + la région non bornée (extérieur)
