La toile d’araign´ee (1er ´episode) On donne le triangle ABC et une conique qui coupe chaque droite portant les cˆot´es du triangle en 2 points r´eels : BC

La toile d’araign´ ee (1er ´ episode)

On donne le triangle ABC et une conique qui coupe chaque droite portant les cˆot´es du triangle en 2 points r´eels : BC en D1/D2,CA en E1/E2, AB en F1/F2.

Montrer sue les droitesAD1,AD2,BE1,BE2,CF1 et CF2 sont tangentes

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a une conique.

SoientΓ_ext la conique circonscrite `aD₁D₂E₁E₂F₁F₂

et Γ_intcelle dont on veut montrer qu’elle a les 6 tangentes indiqu´ees.

D’apr`es le th´eor`eme de Pascal, les pointsP =BC∩F1E2,Q=AC∩D1F2

et R=AB∩E1D2 sont align´es sue la droite∆.

On va utiliser le th´eor`eme de Brianchon qui indique que la propri´et´e est d´emontr´ee si les 3 diagonales joignant les sommets oppos´es d’un hexagone enveloppant la conique sont concourantes.

Les 6 droitesAD1,AD2,BE1,BE2,CF1etCF2peuvent former un hexagone de 3 fa¸cons homog`enes, suivant qu’on opposeA `a A₁ ou `a A₂, ou encoreA₁

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aA₂. On choisit de prendre les sommets suivants dans l’ordreAB₁CA₁BC₁, donc les diagonalesAA₁, BB₁ etCC₁.

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AA₁ est la polaire deP par rapport `a AB/AC, doncP⁰ = ∆∩AA₁est tel que(QRP P⁰) =−1.

De mˆeme

BB1est la polaire de Qpar rapport `aBA/BC ⇒ (RP QQ⁰) =−1 et

CC1est la polaire deR par rapport `aCA/CB ⇒ (P QRR⁰) =−1.

Ces 3 divisions harmoniques permettent de montrer par l’absurde que les diag- onalesAA1,BB1etCC1sont concourantes enS, ce qui prouve l’existence de Γint.

Nota: parce que G´eog´ebra ne sait pas construire une conique tangente `a 5 droites, la figure a ´et´e construite `a partir deABC et deΓ_int.

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