G223 Triangles interdits [**** à la main]
Solution de Daniel Collignon
Si G est un graphe simple non orienté à s sommets et a arêtes ne contenant pas de triangle, alors a <= [s²/4] où [.] désigne la partie entière.
Notons d(A) le degré de A un sommet de S l’ensemble des sommets de G.
Comme G ne contient pas de triangle, deux sommets reliés à un sommet A ne peuvent pas être reliés entre eux. L’ensemble des sommets reliés au sommet A forment donc un ensemble de sommets indépendants.
Soit I un ensemble de sommets indépendants de taille maximale et C = S\I.
Nous avons i = card(I) et c = card(C) = s-i et pour tout sommet A, d(A) <= i.
Par définition de I, toute arête de G a au moins une de ses extrémités dans C.
D’où a <= somme (A dans C ; d(A)) <= i*somme (A dans C ; 1) = i*card(C) = ic.
De ((i-c)/2)² >= 0, nous en déduisons que ic <= ((i+c)/2)² <= s²/4, avec égalité ssi i=c=s/2.
Si s = 2n, le graphe biparti-complet Kn,n a n² = [s²/4] arêtes.
Si s = 2n+1, le graphe biparti-complet Kn,n+1 a n(n+1) = [s²/4] arêtes.
Nous avons bien montré qu’il y a au plus [s²/4] arêtes.
Application : pour n=2006 points, il y aura au plus 1003² = 1 006 009 segments.
Référence :
Il s’agit d’un cas particulier d’un théorème de Turan, appelé théorème de Mantel.
Voir http://en.wikipedia.org/wiki/Tur%C3%A1n's_theorem Et http://mathworld.wolfram.com/CompleteBipartiteGraph.html
