Pour une partie A de G , on appelle centralisateur de A la partie C(A) de G dénie par :

MPSI B DS 5 29 juin 2019

Exercice

Dans cet exercice G désigne un groupe dont l'opération est notée multiplicativement : pour tous a et b de G le produit de a par b est simplement noté ab . On ne suppose pas que le groupe soit commutatif.

Pour une partie A de G , on appelle centralisateur de A la partie C(A) de G dénie par :

∀x ∈ G, (x ∈ C(A) ⇔ ∀a ∈ A, ax = xa) .

Dans la suite de l'exercice, quand on demande de comparer deux parties de G , il s'agit de prouver une inclusion entre ces deux parties.

La partie A de G est xée pour la suite de l'exercice.

1. Montrer que C(A) est un sous-groupe de G .

2. Soit X et Y deux parties de G telles que X ⊂ Y . Comparer C(X ) et C(Y ) . 3. Soit X une partie quelconque de G , comparer X et C(C(X )) .

4. Montrer que

C(C(C(A))) = C(A)

Problème

Étude d'une suite de racines d'équations algébriques. ¹ Pour p ∈ N ^∗ , on considère l'équa- tion

x ^p + x ^p−1 + · · · + x ² + x = 1 (E p ) On considère aussi les fonctions f et g dénies dans R ⁺ par :

f (x) = 1

x + 1 g(x) = 1

x ² + x + 1 1. Étude de la suite des racines.

a. Montrer que l'équation (E p ) admet une unique solution positive. Cette solution sera notée x p .

b. Justier que x p ∈]0, 1] et que x p (1 − x ^p _p ) = 1 − x p . c. Établir que (x _p ) _{p∈ N}

est monotone puis convergente.

d. Établir que (x ^p _p ) _p∈N

converge vers 0. En déduire la limite de (x p ) _p∈N

.

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d'après http ://mpsiddl.free.fr

2. On dénit la suite (ε p ) p∈ N

par la relation suivante valable pour tous les p ∈ N ^∗ ε p = 2x p − 1

a. Soit q ∈]0, 1[ xé, montrer la convergence et donner la limite de (nq ⁿ ) _{n∈ N} . b. Trouver une formule très simple reliant ε p et x ^p+1 _p .

c. Montrer que

((p + 1) ln(1 + ε p )) _p∈N

→ 0 d. Trouver une suite équivalente simple à (ε p ) p∈ N

.

3. Approximation de la racine de (E 2 ) . Dans cette question, p = 2 et x 2 est noté α . a. Simplier f (α) .

b. Montrer que l'intervalle [ ¹ ₂ , 1] est stable par f . c. On considère la suite (u _n ) _{n∈ N} dénie par u ₀ = 1 et

∀n ∈ N : u n+1 = f (u n )

Montrer que la suite est bien dénie et que pour tout entier n :

|u n+1 − α| ≤ 4

9 |u n − α|

d. En déduire la convergence et la limite de la suite (u _n ) _{n∈ N} .

4. Approximation de la racine de (E 3 ) . Dans cette question, p = 3 et x 3 est noté β . a. Former le tableau de variations de g .

b. On considère la suite (v _n ) _{n∈ N} dénie par v ₀ = 1 et

∀n ∈ N : v n+1 = g(v n )

Montrer que la suite est bien dénie et que v n ∈ [0, 1] pour tout entier n . c. Montrer que les deux suites extraites (v 2n ) _n∈N et (v 2n+1 ) _n∈N sont monotones.

Préciser leurs sens de variations et prouver qu'elles sont convergentes. On note l et l ⁰ leurs limites respectives.

d. Montrer que g(l) = l ⁰ et g(l ⁰ ) = l . e. Montrer que l vérie

(l ² + 1)(l ³ + l ² + l − 1) = 0

f. Montrer que l = l ⁰ = β . En déduire la convergence et la limite pour (v n ) _n∈N .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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MPSI B DS 5 29 juin 2019

Exercice

Pour tout x ∈ [0, +∞[ , on considère ² les suites (f _n (x)) _{n∈ N} dénies par : f 0 (x) = 0 et ∀n ∈ N : f n+1 (x) = f n (x) + 1

2 (e ^−2x − f _n ² (x)) 1. a. Montrer que, pour tout x positif ou nul

e ^−x − f _n+1 (x) = (e ^−x − f _n (x))ϕ _n (x) avec ϕ _n (x) = 1 − 1

2 e ^−x − 1 2 f _n (x) b. Montrer que 0 ≤ f _n (x) ≤ e ^−x pour tout x positif ou nul et tout entier n . Montrer

que la suite (f _n (x)) _{n∈ N} est convergente et préciser sa limite.

2. On pose u _n = 1 − f _n (0) pour tout entier n . Montrer que u _n = 2 ¹⁻²

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d'après E3A PC 2000

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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