Partie A – G´ en´ eralit´ es

DM de MPSI2

Corrig´ e de devoir non surveill´ e

Partie A – G´ en´ eralit´ es

A.1

a Vu en cours : si W ∈ On(R), i.e. ^tW W =In, alors, en prenant le d´eterminant, det(W)² = 1, d’o`u det(W)∈ {−1,+1}, puis la premi`ere partie de la question.

O⁻_n(R) ne comprenant pasIn, ce n’est pas un sous-groupe deOn(R)¹. b Pour de telsW, i, j, on a P

k=1w_i,k² = 1 (la i-`eme ligne deW est unitaire), d’o`u a fortiori w²_i,j 61, puis|wi,j|61.

A.2

a SoitM = (m_i,j), N = (n_i,j)∈ M_n,m(R).

Cette application est clairement une forme bilin´eaire, sym´etrique car tr((^tM)N) = tr(^t((^tM)N)) = tr((^tN)M).

De plus, < M, M >= P

i,j∈[[1,n]]m²_i,j > 0, et, si< M, M >= 0, alors chaque terme de cette somme nulle `a termes positifs est nul, doncM est nulle.

Il s’agit donc bien d’un produit scalaire.

De plus, on a clairement< M, N >=P

i,j∈[[1,n]]mi,jni,j, d’o`u le caract`ere orthonorm´e de la base canonique pour ce produit scalaire.

bkWk=√

< W, W >=p

tr(^tW W) =p

tr(In) =√ n.

A.3 L’applicationλ7→ det(M −λIn) est clairement polynomiale, de degr´en (l’expression sommatoire du d´eterminant montre mˆeme qu’elle est de coefficient dominant (−1)ⁿ). D’apr`es le th´eor`eme de d’Alembert-Gauss, elle admet un z´ero complexe, doncM admet une valeur propre complexe.

Partie B – Traduction du probl` eme ` a l’aide du produit scalaire canonique sur M

( R ).

B.1

aPour toute matriceM ∈ Mn,m(R),kMk²est la somme des carr´es des coefficients deM : en regroupant ceux de mˆeme second indice, on en d´eduit que kMk² est la somme des carr´es des normes de ses colonnes. En particulier, pourM =W X−Y :

m

X

i=1

kW Xi−Yik²=kW X−Yk².

b< W M, W N >= tr(^t(W M)W N)) = tr((^tM)(^tW)W N) = tr((^tM)N) =< M, N >. En particulier, en prenantM =N,kW Mk=kMk.

c < M W, N W >= tr(^t(M W)N W) = tr(^tW^tM N W) = tr(^tM N W^tW) = tr(^tM N) =< M, N >, puis, comme ci-dessus,kM Wk=kMk.

B.2

a kW X−Yk² =< W X−Y, W X−Y >= kW Xk²−2 < W X, Y > +kYk² = kXk²+kYk²−2 <

W X, Y >, d’o`u le r´esultat.

b< W X, Y >= tr(^t(W X)Y) = tr((^tX)(^tW)Y) = tr((^tW)Y(^tX)), donc le choixA=Y(^tX) convient.

Partie C – Trace maximale d’une matrice orthogonale n´ egative

C.1SoitW ∈ On(R). D’apr`es A.1.b, tr(W)6n, et, cette valeur ´etant atteinte pourW =In(∈ On(R)),n est la trace maximale d’une matrice orthogonale. Comme tr(W) =< W, In >, et que kWk=kInk=√

n, le cas d’´egalit´e de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz montre que cette valeur ne peut ˆetre atteinte qu’enW positivement colin´eaire `a In, et donc qu’en In.

C.2Soitλ∈Rune valeur propre d’un automorphisme orthogonalwd’un espace euclidien E, et soitx∈E un vecteur propre associ´e. Commewconserve la norme,

kxk=kw(x)k=kλxk=|λ| kxk,

1. d’ailleurs, pour cette raison, le compl´ementaire d’un sous-groupe dans un groupeGn’est jamais un sous-groupe deG

donc|λ|= 1 puisquexest non nul : les seules valeurs propres r´eelles possibles dewsont 1 et−1.

C.3Supposons queF soit stable parw∈O(E).w´etant un automorphisme,w(F) etFont mˆeme dimension (finie), donc l’inclusionw(F)⊂F est une ´egalit´e, d’o`uw⁻¹(F) =F.

Soit y ∈ F^⊥, x∈ F. On a w⁻¹(x) ∈ F, donc < y, w⁻¹(x) >= 0, puis,w conservant le produit scalaire :

< w(y), x >= 0. Ceci valant pour toutx∈F,w(y)∈F^⊥, doncF^⊥est ´egalement stable (et mˆeme globalement invariant) parw.

C.4

a D’apr`es le cours, tout ´el´ement W deO⁻₂(R) est une matrice de r´eflexion, et admet donc, en tant que telle,−1 pour valeur propre.

bOn suppose que 1 est valeur propre de W. Soit xun vecteur propre de w associ´e `a 1. En particulier, w´etant orthogonal (puisque repr´esent´e par une matrice orthogonale dans une base orthonorm´ee), (Rx)<sup>⊥</sup> est un hyperplan H de R<sup>n</sup>, stable par w. Comme w induit sur H un automorphisme orthogonal n´egatif w<sup>0</sup> (car det(w<sup>0</sup>) = det(w)), l’hypoth`ese de r´ecurrence permet de dire quew⁰, doncw, admet−1 pour valeur propre.

c Soitλ_r+iλ_i la forme alg´ebrique de λ. On a W Z =λZ, d’o`u, en prenant les parties r´eelles, puis les parties imaginaires (et sachant queW est `a coefficients r´eels) :

W Zr=λrZr−λiZi et W Zi =λrZi+λiZr,

donc, en passant `a l’endomorphismew,F = Vect_R(Z_r, Z_i) est stable parw.

dF etF^⊥ sont deux sous-espaces vectoriels non triviaux deRⁿ, stables par l’automorphisme orthogonal w.winduit deux automorphismes orthogonaux sur ces sous-espaces, qui, s’ils ´etaient positifs, feraient dewun automorphisme orthogonal positif (travailler dans une base adapt´ee `a la suppl´ementarit´e deF etF<sup>⊥</sup>et prendre le d´eterminant) : l’un d’entre eux est n´egatif, d’o`u le r´esultat en lui appliquant l’hypoth`ese de r´ecurrence. Dans tous les cas, l’h´er´edit´e est montr´ee.

C.5

a Soite₁un vecteur propre dewassoci´e `a la valeur propre−1. Quitte `a le normaliser, on peut supposer e₁ unitaire. SoitG= (Re₁)^⊥, et soit (e₂, . . . , e_n) une base orthonorm´ee deG. La base B= (e₁, . . . , e_n) de Rⁿ est orthonorm´ee, donc la matriceP de passage de la base canonique (orthonorm´ee) deRⁿ `aBest orthogonale.

De plus,w induit un automorphisme orthogonal surG, et, si on noteW_B la matrice dewdansB, on a WB=P⁻¹W P,

doncW =P W_BP⁻¹. On conclut en observant queW_Best bien de la forme souhait´ee : en effet,W⁰est orthogonale car repr´esentant un automorphisme orthogonal dans une base orthonorm´ee, et de d´eterminant positif en ´egalant les d´eterminants ci-dessus.

bD’apr`es la question pr´ec´edente, et C.1, une matriceW deO_n⁻(R) est de trace au plusn−2, trace que l’on obtient pour Diag(1, . . . ,1,−1)∈ O_n⁻(R) :n−2 est donc le nombre cherch´e.

Partie D – R´ eponse au probl` eme

D.1

a Notonsd_i,j le terme g´en´eral de ∆. SoitW⁰= (w_i,j⁰ )∈ O_n(R). On a

< W⁰,∆>= X

i,j∈[[1,n]]

w⁰_i,jdi,j=

n

X

i=1

w⁰_i,iλi6

n

X

i=1

λi,

en vertu de A.1.b. Cette valeur, la trace de ∆, est atteinte pourW⁰=In, qui maximise donc< W⁰,∆>dans On(R).

bOn a, en conservant les notations de la question pr´ec´edente,< W⁰,∆>=Pr

i=1w_i,i⁰ λi, qui vaut tr(∆) si et seulement siw⁰_i,i= 1 pour touti∈[[1, r]] : les matrices maximisant< W⁰,∆>dansOn(R) sont celles dont lesr premi`eres colonnes sont celles deIn.

D.2

aUne matriceW ∈ On(R) est (X, Y)-minimale si et seulement si< W, A >est maximal dansOn(R), or

< W, A >=< W, Q∆(^tP)>= tr((^tW)Q∆(^tP)) = tr((^tP)(^tW)Q∆) = tr(^t((^tQ)W P)∆),

doncW tel que (^tQ)W P =In maximise< W, A >: le choixW =Q(^tP) (qui est bien une matrice orthogonale) convient donc.

De plus,Q(^tP) appartient bien `a O⁺_n(R) si et seulement si det(P) det(Q)>0.

bSi det(A)>0,i.e.si det(P) det(Q)>0, alors l’unique choix possible pourW `a la question pr´ec´edente est celui que nous avons donn´e (grˆace `a D.1.b), qui est bien orthogonale positive, d’o`u l’existence et l’unicit´e d’une unique matrice (X, Y)-minimale dansO_n⁺(R).

cSupposons det(A) = 0.

Si det(P) det(Q)>0, alors le choix effectu´e en D.2.a convient (il fournit une matrice orthogonale positive).

Si det(P) det(Q)<0, alors on peut prendre, dans D.2.a, la matriceQDiag(1, . . . ,1,−1)(^tP). Cette matrice est bien orthogonale positive.

Dans tous les cas, il existe une matrice orthogonale positive (X, Y)-minimale dans On(R).

D.3

a SoitW⁰= (w_i,j⁰ )∈ O_n⁻(R). On a :

< W⁰,∆> =

n−1

X

i=1

λiw_i,i⁰ +λnw⁰_n,n

=

n−1

X

i=1

λiw_i,i⁰ +λn tr(W⁰)−

n−1

X

i=1

w_i,i⁰

!

=

n−1

X

i=1

(λi−λn)w_i,i⁰ +λntr(W⁰)

6

n−1

X

i=1

(λi−λn) +λntr(W⁰) (grˆace `a A.1.b et la d´ecroissance de (λi)16i6n)

6

n−1

X

i=1

(λi−λn) +λn(n−2) (grˆace `a C.5.b)

=

n−1

X

i=1

λi−λn

La matrice de l’´enonc´e fournissant un cas d’´egalit´e, elle maximise bien< W⁰,∆>dansO_n⁻(R).

bEn conservant les notations de la question pr´ec´edente, la matrice (^tQ)W⁰P convient alors.