Stanislas
T.D. 21
Automorphismes orthogonaux
Étude de O3(R)
MPSI 1 2015/2016
Soient E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3,f un automorphisme orthogonal de E et(−→
i ,−→ j ,−→
k) une base orthonormée directe deE. Partie I : Généralités
1. Soit u un vecteur non nul. On suppose qu'il existe λ ∈ R tel que f(u) = λu. Montrer que λ∈ {−1,1}.
2. Pour tout nombre complexeλ, on note P(λ) = det(f−λIdE). a)Montrer que P possède une racine réelle.
b) Montrer que si f ∈ SO(E), alors il existe λ0 ∈ R+ tel que P(λ0) = 0. En déduire qu'il existe u∈E non nul tel quef(u) =u.
c)Montrer que si f ∈O(E)\SO(E), il existe u∈E non nul tel quef(u) =−u. Partie II : Étude de SO(E)
On suppose dans cette partie quef ∈SO(E). On noteF = Ker(f −IdE)l'ensemble des points xes def.
3. Montrer quedimF ∈J1,3K.
4. SidimF = 3, déterminer f.
5. Si dimF = 2, on note (e1, e2) une base orthonormée de F que l'on complète en une base orthonormée (e1, e2, e3) deE. En étudiantf(e3), montrer qu'on obtient une contradiction.
6. SidimF = 1, on note D=F = Vect{u}, où kuk= 1.
a)Montrer que la restriction def àD⊥ est une rotation vectorielle.
b)En déduire qu'il existe une base orthonormée directeB= (u, v, w) de E telle que
MB(f) =
1 0 0
0 cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ
.
f est une rotation d'angleθ autour de l'axeD dirigé par le vecteur u.
7. Montrer queSO3 n'est pas commutatif.
Partie III : Matrice d’une rotation
Soit M ∈SO3(R) diérente de l'identité. On note f l'endomorphisme canoniquement associé à M.
8. Montrer que si tM = M, alors f est une symétrie orthogonale par rapport à la droite d'axe Ker(f−IdE).
9. On suppose quetM 6=M et on note g l'endomorphisme canoniquement associé àM −tM.
a)En exprimant les vecteurs dans la base canonique, montrer qu'il existe un vecteurωtel que g(x) =ω∧x.
On utilisera l'expression des coordonnées d'un produit vectoriel dans la base(−→ i ,−→
j ,−→ k). b)En déduire que f est la rotation d'axe ω, d'angle déterminé par
cosθ= Tr(M)−1
2 et sinθ= kωk 2 .
Stanislas A. Camanes
T.D. 21. Automorphismes orthogonaux MPSI 1
10. Déterminer les éléments caractéristiques de l'endomorphisme dont la matrice dans une base orthonormée estM = 19
8 1 −4
−4 4 −7
1 8 4
.
11. Déterminer la matrice dans la base canonique de la rotation d'angle π3 et d'axe dirigé par le vecteur
1 1 0
.
Partie IV : Étude deO(E)\SO(E)
Soit u ∈ E un vecteur non nul tel que f(u) =−u. On poseD = Vect{u} et s la réexion par rapport à D⊥.
12. Montrer queg=s◦f est soit l'identité, soit une rotation d'axe D.
13.On orienteD⊥paru. Dans le cas oùgn'est pas l'identité, on appelleθl'angle de la rotation.
Montrer queTr(f) = 2 cosθ−1et que le signe de sinθ est donné par celui dedet(u, x, f(x)), où x∈D⊥ est un vecteur normé.
14. Appliquer ces résultats à l'étude de f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est M = 13
2 1 −2
2 −2 1
1 2 2
.
Stanislas A. Camanes
