UNS Option math 2 L1 2017-2018 2. Automorphismes orthogonaux du plan et de l'espace

UNS Option math 2 L1 2017-2018 2. Automorphismes orthogonaux du plan et de l'espace

Exercice 2.1 Rappel sur les changements de base On note (e

₁

, e

₂

) et (u

₁

, u

₂

) deux bases de R

²

. On suppose que u

₁

= αe

₁

+ βe

₂

et que u

₂

= γe

₁

+ δe

₂

1. (a) Expliciter le lien entre les coordonnées d'un vecteur v de R

²

dans ces deux bases.

(b) La matrice α γ β δ

, qui est appelée la matrice de passage de la base (e

₁

, e

₂

) vers la base (u

₁

, u

₂

) , est-elle inversible ? Pourquoi ? On pourra utiliser la matrice de passage de la base (u

1

, u

2

) vers la base (e

1

, e

2

) pour répondre à la question.

2. Soit f : R

²

→ R

²

une application linéaire.

(a) Rappeler comment construire la matrice M de l'application linéaire f dans la base (e

1

, e

2

) . En fonction des coecients de M , donner la matrice de f dans la base (e

2

, e

1

) .

(b) Montrer que, si X est le vecteur colonne des coordonnées d'un vecteur w de R

²

, alors M X est le vecteur colonne des coordonnées de f (w) dans la base (e

₁

, e

₂

) .

(c) En déduire le lien entre la matrice M

⁰

de f dans la base (u

1

, u

2

) et M .

(d) En déduire que det(M

⁰

) = det(M ) . Cette quantité ne dépend pas de la base choisie et est appelée le déterminant de f .

Exercice 2.2 Calculs de matrices de certains automorphismes orthogonaux Donner les matrice des applications linéaires suivantes dans une base orthonormée adaptée et illustrer votre réponse par un dessin. En déduire la matrice de ces applications linéaires dans la base canonique par changement de base.

1. La réexion r

₁

du plan d'axe D d'équation y = 2x . Retrouver ensuite votre résultat en calculant la projection orthogonale sur cette droite.

2. La réexion r

2

par rapport au plan P engendré par les vecteurs de coordonnées



 1 0 1



 et



 1 1 0



 dans la base canonique.

3. La rotation r

3

du plan d'angle

^−5π₆

.

4. La rotation r

4

de l'espace autour du vecteur de coordonnées



 1 1 1



 dans la base canonique et d'angle

−

^π₃

.

5. La rotation r

5

de l'espace du vecteur de coordonnées



 1 0 1



 dans la base canonique et d'angle

^π₄

. Exercice 2.3 Automorphismes orthogonaux du plan On note

M

1

= 1 5

3 4

−4 3

, M

2

=

1 1

−1 1

, M

3

= 1 0

0 −1

, M

4

= 1

√ 2

−1 −1 1 −1

, M

5

= 1 2

−1 − √ 3

− √

3 1

,

M

₆

= 1 5

4 3 3 −4

, M

₇

= 1

√ 5

2 −2 1 1

.

Pour chaque indice i entre 1 et 7 , on note f

i

l'application linéaire dont la matrice dans la base canonique est M

_i

. Pour chaque indice i

1. Préciser si f

i

est une réexion, une rotation ou aucun des deux.

2. Pour chaque rotation, déterminer son angle et, pour chaque réexion, déterminer son axe.

Exercice 2.4 Automorphismes orthogonaux de l'espace Pour chaque matrice suivante, 1. Préciser si c'est la matrice dans la base canonique d'une rotation.

2. Pour chaque rotation, déterminer son axe et son angle (en calculant sa matrice dans une base adaptée).





0 0 −1

0 1 0

1 0 0



 , 1 3





2 2 −1

−1 2 2

−2 1 −2



 , 1 4





3 1 √

6

1 3 − √

6

− √ 6 √

6 2



 .

Exercices faits en cours et démonstrations des propriétés du cours

Exercice C2.1 Exemple d'automorphisme orthogonal en dimension 2 On considère l'endomor- phisme f de R

²

dont la matrice dans la base canonique est donnée par

√ 1 2

−1 −1

−1 1

.

En appliquant la dénition d'automorphisme orthogonal, montrer que f est un automorphisme orthogonal de R

²

.

Exercice C2.2 Matrices orthogonales Soit P une matrice 2 × 2 .

1. Montrer que, si P est une matrice orthogonale, alors le déterminant de P vaut 1 ou −1 . 2. Si la matrice P est orthogonale, la matrice t

P

est-elle orthogonale ?

3. Montrer que la matrice P est orthogonale si et seulement si les vecteurs colonnes de P forment une base orthonormée de R

²

. Dans ce cas, que peut-on dire des vecteurs lignes de P ?

Exercice C2.3 Exemples d'automorphismes orthogonaux en dimension 3 On note f

1

et f

2

les applications linéaires R

³

→ R

³

dénies par

f

₁



 x y z



 = 1 3 .





2x + 2y − z

−2x + y − 2z

−x − 2y + 2z





et par

f

2



 x y z



 = 1 3 .





2x + 2y − z

−2x + y − 2z

−x + 2y + 2z



 .

Parmi ces deux applications, lesquelles sont des automorphismes orthogonaux ?

Exercice C2.4 Lien matrice orthogonale/automorphisme orthogonal On xe une application linéaire f : R

²

→ R

²

et une base orthonormée (e

₁

, e

₂

) de R

²

.

Montrer que f est un automorphisme orthogonal si et seulement si sa matrice dans la base (e

1

, e

2

) est une matrice orthogonale.

Exercice C2.5 Exemples d'automorphismes orthogonaux : réexions Montrer qu'une réexion r de R

³

par rapport au plan vectoriel P est un automorphisme orthogonal de deux manières diérentes : en utilisant la dénition d'un automorphisme orthogonal et en calculant la matrice de r dans une base orthonormée adaptée.

Montrer aussi que det(r) = −1 et que r ◦ r = Id .

Exercice C2.6 Exemples d'automorphismes orthogonaux : rotations Soit r une rotation de l'es- pace R

³

. Montrer que r est un automorphisme orthogonal de déterminant 1 .

Exercice C2.7 Composée de réexions

1. Soient u et v des vecteurs du plan R

²

de même norme. Montrer qu'il existe une réexion r du plan telle que r(u) = v . On pourra traiter à part les cas u = v = 0 et v = −u .

2. Dans cette question et la suivante, on xe un automorphisme orthogonal f de R

²

. On note (e

1

, e

2

) la base canonique de R

²

. Montrer qu'il existe une réexion r du plan telle que r ◦ f (e

1

) = e

1

. 3. Montrer que e

^⊥₁

= Vect(e

₂

) .

4. Que peut-on dire de r ◦ f (e

2

) ?

5. Montrer que tout automorphisme orthogonal du plan s'écrit comme composée d'au plus deux réexions.

Exercice C2.8 Classication des automorphismes orthogonaux du plan On note r un automor- phisme orthogonal de déterminant 1 . On note r(

1 0

) = a

b

. 1. En utilisant le résultat de l'exercice 1.5, montrer que

a b

⊥

= Vect(

−b a

).

2. En déduire que r(

0 1

) = −b

a

. 3. En déduire que r est une rotation.

4. En utilisant le résultat de l'exercice précédent, montrer que tout automorphisme orthogonal du plan R

²

est soit une rotation, soit une réexion.

Pour aller plus loin

Exercice. Décomposition en produit de réexions des automorphismes orthogonaux de l'es- pace R

³

On veut démontrer dans cet exercice que tout automorphisme orthogonal de R

³

s'écrit comme composée d'au plus trois réexions.

1. Soient u et v , deux vecteurs de R

³

de même norme. Soit w un vecteur orthogonal à u et à v . Montrer qu'il existe une réexion r de R

³

telle que r(u) = v et r(w) = w .

2. On note (e

1

, e

2

, e

3

) la base canonique de R

³

et on xe un automorphisme orthogonal f de R

³

. Montrer qu'il existe une réexion r

1

de R

³

telle que r

1

◦ f (e

1

) = e

1

.

3. Montrer qu'il existe une réexion r

2

de R

³

telle que r

2

◦ r

1

◦ f (e

1

) = e

1

et r

2

◦ r

1

◦ f (e

2

) = e

2

. 4. Que peut-on dire de r

2

◦ r

1

◦ f (e

3

) ?

5. Conclure l'exercice.

Exercice. Automorphismes orthogonaux de l'espace R

³

indirects Montrer que tout automor-

phisme orthogonal de l'espace R

³

est soit une réexion, soit une rotation, soit une symétrie-rotation (la

composée d'une rotation autour d'un vecteur u avec la réexion par rapport à u

^⊥

). Indication : si f est

un automorphisme orthogonal, on pourra considérer −f dans certains cas.