MPSIA 2012/2013
Programme de colles de math´ematiques, semaine 26 (du lundi 20 au vendredi 24 mai)
lyc´ee Chaptal
Espaces vectoriels euclidiens Automorphismes orthogonaux
I. G´ en´ eralit´ es
D´efinition et principales propri´et´es des isom´etries vectorielles/automorphismes orthogonaux lien avec les b.o.n.
Matrices orthogonales : d´efinition (tM M=In), liens avec les matrices de passages entre deux b.o.n, avec les automorphismes orthogonaux.
Sous-groupes O(E),SO(E),O(n,R) etSO(n,R) (pour n= 2,3).
II. Automorphismes orthogonaux du plan
0. Rappel : produits mixte, scalaire, angles...
1. Description du groupe O(2) 2. Rotations
´
ecriture matricielle g´en´erale des ´el´ements deSO(R2), angle d’une rotation.
Compos´ee de deux rotations. Relations (−→u|r(−→u)) =k −→u k2cos(θ)
et Det(−→u , r(−→u)) =k −→u k2sin(θ).
Une rotation plane conserve les angles orient´es.
3. Isom´etries indirectes
Une isom´etrie indirecte est une r´eflexion. D´etermination de cette r´eflexion. Liens entre les compositions de deux r´eflexions et les rotations.
III. Automorphismes orthogonaux de l’espace (cours seul)
0. Rappel : produits vectoriel, scalaire, angles...
1. Rotations
Ecriture de la matrice d’une rotation dans une b.o.n.d adapt´ee : angle et axe de la rotation. Formule donnant l’image d’un vecteur orthogonal `a l’axe de la rotation
`
a l’aide de l’angle et du produit vectoriel.
Exemples : 1) calcul de la matrice dans la base canonique de la rotation d’axe ... et d’angle ... ; 2) ´etant donn´ee une matrice, d´eterminer que l’endomorphisme repr´esent´e est une rotation, d´eterminer un axe et son angle.
2. R´eflexions
expression dans une b.o.n.d. adapt´ee ; recherche d’´el´ements caract´eristiques ; d´e- composition d’une rotation en compos´ee de 2 r´eflexion.
Questions de cours
Q1. Donner 3 d´efinitions ´equivalentes pour f ∈ O(E) et d´emontrer ces ´equiva- lences.
Q2. Donner et d´emontrer une description de O2(R) param´etr´ee par un r´eel θ.
Discuter de l’unicit´e de ce r´eel.
Q3. [facultatif] D´emontrer que si f ∈SO(R3), alors 1 est valeur propre de f et d´eterminer la dimension du sous-espace propre associ´e.
Q4. Soit f ∈ SO(R3), f 6= IdE. En admettant que dim (ker(f − IdE)) = 1, d´emontrer qu’il existe un r´eelθet une base orthonorm´ee directe dans laquelle la matrice repr´esentative de f est :
1 0 0
0 cos(θ) −sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ)
.
Q5. D´emontrer, dans le plan puis dans l’espace que toute rotation peut se d´ecom- poser en la compos´ee de deux r´eflexions. Justifier que l’on peut en choisir une arbitrairement dans le cas du plan. Qu’en est-il dans l’espace ?
Q6. D´eterminer la matrice repr´esentative dans CanR3 de la rotation d’angle π3 et d’axe dirig´e par −→u = (1,1,1).
Q7. Nature et ´el´ements caract´eristiques de f repr´esent´e dans la base canonique deR3 parA=
−2 −1 2 2 −2 1
1 2 2
.
Q8. Pour (a, b)∈(R3)2, r´esoudre l’´equationa∧x=b d’inconnuex∈E.
A venir : fonctions de deux variables r´` eelles.
