Que peut-on en conclure ? Exercice III

ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Maison 9 28 mars 2017

Exercice I.

Calculer l'intégrale I = Z 7

−4

(t²−t)dt. Exercice II.

On considère la fonction f dénie par f(x) =x|x|. 1. Expliquer brièvement pourquoi f est continue sur R.

2. Sur quel ensemble peut-on dire (sans calcul) que f est de classe C^∞? Justier.

3. Etudier la dérivabilité def en 0. Que peut-on en conclure ? Exercice III.

Soit, pour tout n∈N, In= 1 n!

Z 1

0

tⁿ√

1−t dt. On rappelle que ∀x≥0, √

x=x¹², et que ∀α∈R\{−1}, une primitive de u⁰.u^α est u^α+1 α+ 1. 1. Calculer I₀.

2. Montrer que ∀n∈N, I_n≥0.

3. Etudier les variations de la suite (I_n)n∈N. Que peut-on en déduire ? 4. Montrer que ∀n∈N, In≤ 1

(n+ 1)!. En déduire la limite de la suite.

5. Intégrer par parties I_n+1 et l'exprimer en fonction de I_n. Vérier que I_n+1 = 2 2n+ 5I_n. 6. En déduire que l'expression de I_n en fonction den.

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Compétences travaillées (par ordre d'importance à chaque question) : Exercice I.

T

Exercice II.

1. C 2. C 3. T,A Exercice III.

1. T 2. A 3. T,A 4. T,A 5. T,C 6. T

2