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D1883. R´ eflexions sur r´ eflexions

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Academic year: 2022

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D1883. R´ eflexions sur r´ eflexions

H : orthocentre deABC,ha,hb ethcles sym´etriques deHpar rapport aux cˆot´es du triangle, appartiennent au cercle(ABC).

∆ une droite passant parH, P un point sur∆,A0,B0et C0 ses sym´etriques par rapport aux cˆot´es du triangle.

∆a sym´etrique de ∆ par rapport `a BC, passe par A0 et ha. De mˆeme

∆b=B0hb et∆c =C0hc.

Du fait des doubles sym´etries, l’angle entre ∆b et ∆c est ´egal au double de BAC, c’est-`\ a-dire `ah\cAhb.

∆b et ∆c se coupent enD : h\cDhb +h\cAhb = 2π. Donc D appartient `a (ABC). Par permutation circulaire, on ´etablit que∆a, ∆b et ∆c sont con- courantes enD sur(ABC).

Par sym´etrie autour deAC : AB\0hb =HP A\

P etC0d’une part,Hethcd’autre part, sont sym´etriques par rapport `aAB, donc :

AB\0hb=AC\0hc ⇒ Dappartient au cercle(AB0C0)

Par permutation circulaire, on ´etablit que les 3 cercles(AB0C0),(BC0A0)et (CA0B0)ont en commune le pointDsur(ABC), quel que soit la position de P sur∆.

QuandP d´ecrit n’importe quelle courbe ferm´ee entourantH, le lieu deDest le cercle (ABC).

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