Invariants polynˆ omiaux des groupes finis - Groupes de r´ eflexions

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Cours de DEA

Invariants polynˆ omiaux des groupes finis - Groupes de r´ eflexions

(Besan¸con 2004)

21 h de cours, 7h de TD

1

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Partie 0. Pr´ eliminaires

Id´eaux maximaux, id´eaux premiers.

SoitA un anneau (commutatif, unitaire).

Lemme chinois. Soienta₁,. . . ,a_r des id´eaux deA tels quea_i+a_j =Apour tous16i < j 6r.

Alors l’application canonique

A−→

Yr i=1

A/ai

est surjective.

Lemme de Nakayama. Supposons A local et notons m son id´eal maximal. Soit M un A- module de type fini. Alors mM =M si et seulement si M = 0.

Preuve - Si M = 0, alors mM = 0 = M. Réciproquement, supposons que mM = M. Soient u1,. . . , ur des générateurs du A-module M. Puisque mM = M, il existe une matrice X= (m_ij)₁₆_i,j₆_r à coefficients dans mtelle que

ui = Xr j=1

mijuj

pour tout 16j6r. En multipliant par la transpos´ee de la comatrice de Id_r−X, on obtient que

det(Idr−X).uj = 0

pour tout 16j6r. Or, det(Id_r−X) est inversible dans Acar Aest local. DoncM = 0.

Corollaire A.SupposonsAlocal. SoientM etN deux sous-A-modules deAⁿtels queM⊕N = Aⁿ. Alors M et N sont libres.

Preuve - Notons m l’idéal maximal de A et soit k = A/m. Soit π : Aⁿ → kⁿ la projection canonique. Tout d’abord,M etN sont de type fini comme facteurs directs d’un module de type fini. De plus M/mM⊕N/mN = kⁿ. Soient (u₁, . . . , u_r) et (v₁, . . . , v_s) des éléments de M et N respectivement tels que (π(u₁), . . . , π(u_r)) et (π(v₁), . . . , π(v_s)) soient des bases deM/mM et N/mN respectivement. Alorsr+s=net, d’après le lemme de Nakayama, (u₁, . . . , u_r) engendre M et (v₁, . . . , v_s) engendre N. Pour conclure, il suffit de montrer que (u₁, . . . , u_r, v₁, . . . , v_s) est libre surA, ce qui est trivial.

Un idéalpde Aest ditpremiersiA/p6= 0 est intègre. On note SpecAl’ensemble des idéaux premiers deA.

On fixe un morphisme d’anneaux π :A → B, de sorte que B sera vu comme une A-alg`ebre via π.

Proposition B.Si qest un id´eal premier de B, alors π⁻¹(q) est un id´eal premier de A.

Preuve - En effet,π induit un morphisme injectif A/π⁻¹(q),→B/q. Le résultat découle alors du fait qu’un sous-anneau d’un anneau intègre est intègre.

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On noteraπ^∗ : SpecB→SpecA,q7→π⁻¹(q). C’est une application croissante. Commen¸cons par deux résultats élémentaires.

Remarque - SiA⊂B etπ :A ,→B est l’injection canonique, alors π⁻¹(q) =q∩A.

Lemme C.Soit I un id´eal de A et soit S une partie multiplicative de A.

(a) Notons π :A→ A/I l’application canonique. Alors π^∗ : SpecA/I →SpecA induit une bijection croissante entre SpecA/I et l’ensemble des id´eaux premiers de A contenant I.

(b) Notons π : A → S⁻¹A l’application canonique. Si p est un id´eal premier de A ne rencontrant pasS, alors S⁻¹p=p(S⁻¹A)est un id´eal premier deS⁻¹Aetπ^∗(S⁻¹p) =p.

Par suite, l’application π^∗ : SpecS⁻¹A → SpecA induit une bijection croissante entre l’ensemble des id´eaux premiers de S⁻¹A et l’ensemble des id´eaux premiers de A ne rencontrant pas S.

Si p ∈ SpecA, alors A−p est une partie multiplicative de A et on notera A_p le localisé de A par rapport à cette partie. AlorsA_p est un anneau local (contenantA carA−p ne contient pas de diviseurs de zéro) : son unique idéal maximal estpA_p. De plus,pA_p∩A=p etA_p/pA_p est le corps des fractions de A/p. Si M est un A-module, alors on poseM_p =A_p⊗AM. C’est un A_p-module. Par exemple, B_p est un A_p-algèbre. Nous noterons π_p :A_p →B_p le morphisme induit parπ.

Proposition D.Soit p un id´eal premier de A. Alors l’application π^∗−¹(p) −→ π^∗−_p ¹(pA_p)

q 7−→ Ap⊗Aq

est bijective. La bijection réciproque est donnée par q 7→ i⁻¹(q) où i :B → B_p, est l’injection canonique.

On dit queB est fini(e) sur A (ou queπ est un morphisme fini) si B, vu commeA-module, est de type fini. On dit que B est de type fini surA (ou que π est un morphisme de type fini) si B, vu comme A-algèbre, est de type fini. On dit que B est entier sur A si tout élément de B est entier surA. On appelleclôture intégralede A dans B l’ensemble des éléments de B qui sont entiers sur A. C’est un sous-anneau deB.

Proposition E.π est fini si et seulement si π est de type fini et entier.

Lemme F.Supposons π injectif et entier etB int`egre. Alors A est un corps si et seulement si B est un corps.

Preuve -Pous simplifier nous supposerons queA⊂B et queπest l’injection canonique. Notons queA est int`egre comme sous-anneau d’un anneau int`egre.

(1)⇒(2) : Supposons queA est un corps. Soitb∈B,b6= 0. Il existe un polynôme unitaire, irréductible (car B est intègre) P ∈A[X] tel que P(b) = 0. Écrivons P = Xⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+

· · ·+a₁X+a₀ aveca_i ∈A. Alors a₀ 6= 0. Puisque A est un corps,a₀ est inversible. De plus, b.

−a⁻₀¹(bⁿ⁻¹+an−1bⁿ⁻²+· · ·+a1)

= 1, ce qui montre quebest inversible dansB. DoncB est un corps.

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(2) ⇒ (1) : Supposons que B est un corps. Soit a ∈ A, a 6= 0. Alors a est inversible dans B. Il existe un polynôme unitaire, irréductible P ∈ A[X] tel que P(a⁻¹) = 0. Écrivons P =Xⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a₁X+a₀ avec a_i ∈A. On a alors

a⁻¹ =−(a_n−1+a_n−2a+· · ·+a₁aⁿ⁻²+a₀aⁿ⁻¹).

Donca⁻¹∈A. DoncA est un corps.

Corollaire G. Supposons π entier. Soit q un id´eal maximal de B. Alors q est maximal si et seulement siπ⁻¹(q) est maximal.

Si A est intègre, on notera Frac(A) son corps des fractions. Dans ce cas, on dit que A est intégralement clos s’il est égal à sa clôture intégrale dans Frac(A).

Th´eor`eme H. Supposons π entier et injectif. Alors π^∗ : SpecB → SpecA est surjective et strictement croissante. Si π est fini, alors les fibres deπ sont finies.

Preuve - Nous supposerons pour simplifier queA⊂B et queπ est l’injection canonique.

Montrons tout d’abord que π^∗ est surjective. Soit p un idéal premier de A. D’après la proposition D, on peut supposer queA est local d’idéal maximalp. Soit qun idéal maximal de B. Alorsq∩A est un idéal maximal de Ad’après le corollaire G. Donc q∩A=p.

Revenons au cas général et montrons que π^∗ est strictement croissante. Soient q etq⁰ deux idéaux premiers de B tels que q∩A = q⁰ ∩A = p et q⊂q⁰. Alors S⁻¹q∩Ap = pAp et S⁻¹q⁰∩A_p =pA_p. D’après le corollaire G,S⁻¹q etS⁻¹q⁰ sont des idéaux maximaux deS⁻¹B.

DoncS⁻¹q=S⁻¹q⁰. Doncq=q⁰.

Pour finir, supposonsπ fini et montrons que les fibres deπ sont finies. Soitpun idéal premier deA. Comme précédemment, on peut supposer queA est local et quepest son idéal maximal.

Alors B/pB est une k-algèbre de dimension finie (où k =A/p) et π⁻¹(p) est en bijection avec les idéaux premiers (i.e. maximaux) deB/pB. Il n’y en a bien sûr qu’un nombre fini.

Action d’un groupe fini.

SoitG un groupe fini agissant surA. Posons

A^G={a∈A | ∀g∈G, ^ga=a}. Proposition I.On a :

(a) A est entier sur A^G.

(b) Le groupeGagit transitivement sur les fibres de l’applicationSpecA→SpecA^G (qui est surjective).

Preuve - (a) Soita∈A. Posons

P = Y

g∈G

(X−^ga)∈A[X].

AlorsP est invariant sous l’action deG, doncP ∈A^G[X]. De plus, P est unitaire etP(a) = 0.

(b) La surjectivité de l’application SpecA→SpecA^G découle du (a) et du théorème H. Soit pun idéal premier de A^G. Pour montrer queG agit transitivement sur la fibre deπ^∗ au-dessus de pnous pouvons, grâce au lemme D, supposer que A est local d’idéal maximal p. Soientq et q⁰ deux idéaux premiers de A tels queq∩A^G=q⁰∩A^G=p. Puisque Aest entier sur A^G (voir

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proposition I) et puisquepest maximal, on en déduit que qetq⁰ sont des idéaux maximaux de A (voir proposition G). Supposons que q⁰ 6= ^gq pour tout g ∈ G. D’après le lemme chinois, il existea∈A tel que

a≡0 modq⁰

et a≡1 mod^gq

pour tout g ∈ G. Posons x = Q

g∈Gga. Puisque ^ga 6∈ q pour tout g ∈ G, on a x 6∈ q. Mais, x∈q⁰∩A^G=p⊂q, ce qui contredit l’hypothèse. D’où le résultat.

Corollaire J. Les fibres de l’application SpecA→SpecA^G sont finies.

Supposons maintenant queA est int`egre. NotonsL le corps des fractions de AetK le corps des fractions deA^G.

Proposition K.Avec les notations pr´ec´edentes, on a :

(a) Si x∈L, il existea∈A et u∈A^G, u6= 0 tel que x=a/u.

(b) K =L^G.

Preuve - (a) Soitx∈L. Il existe a∈A etu∈A,u6= 0, tel que x=a/u. Posons a⁰ =a Y

g∈Gg6=1

gu et u⁰= Y

g∈G gu.

Alorsa⁰∈A,u⁰∈A^G,u⁰ 6= 0 etx=a⁰/u⁰. (b) d´ecoule imm´ediatement de (a).

Proposition L. Si A est intègre et intégralement clos, alors A^G est intègre et intégralement clos.

Preuve - Six∈K est entier aurA^G, alors il est entier surA, donc il appartient à AcarA est supposé intégralement clos. Donc x∈A∩K =A^G.

Si|G|est inversible dans un anneau commutatifR, on pose e_G= 1

|G| X

g∈G

g∈R[G].

Notons que ge_G = e_Gg = e_G pour tout g ∈ G. En particulier, e_G est un idempotent (i.e.

e²_G =e_G) central. La proposition suivante est imm´ediate.

Proposition M.Supposons |G| inversible dans R. Soit M un R[G]-module. Alors M^G=e_GM.

En d’autres termes, pourm∈M, on a m∈M^G si et seulement si e_Gm=m.

Corollaire N. Supposons |G| inversible dans R. Soit M un R[G]-module et N un sous-R[G]- module. Alors l’application canoniqueM^G →(M/N)^G est surjective.

Alg`ebre sym´etrique.

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Soit k un corps commutatif et soit V un k-espace vectoriel de dimension finie. On pose T⁰(V) =k et, pourr>1,

T^r(V) =V ⊗kV ⊗k· · · ⊗kV

| {z }

rfois

. On pose ensuite

T(V) = ⊕

r>0T^r(V).

Alors le produit tensoriel⊗k induit une application bilin´eaire T^r(V)×T^s(V)−→T^r+s(V)

qui fait de T(V) une k-algèbre associative : on l’appelle l’algèbre tensorielle de V (sur k). Si f :V →W est une application linéaire, on note T^r(f) : T^r(V) → T^r(W) l’unique application linéaire telle que

T^r(f)(v₁⊗ · · · ⊗v_r) =f(v₁)⊗ · · · ⊗f(v_r)

pour tous v1, . . . , vr ∈ V. Alors T(f) = ⊕r>0T^r(f) : T(V) → T(W) est un morphisme de k-alg`ebres.

Propriété universelle. Soit f : V → A une application linéaire, où A est une k-algèbre associative. Alors il existe un unique morphisme de k-algèbres f˜:T(V)→A étendant f.

NotonsI_r le sous-k-espace vectoriel deT^r(V) engendré par lesv₁⊗ · · · ⊗v_r−v_σ(1)⊗ · · · ⊗v_σ(r) pour tousv₁, . . . , v_r∈V etσ ∈S_r (groupe symétrique de degrér). AlorsI =⊕r>0I_r est un idéal bilatère de T(V). On pose

S(V) =T(V)/I = ⊕

r>0T^r(V)/I_r= ⊕

r>0S^r(V).

AlorsS(V) est une k-algèbre associative et commutative, appeléealgèbre symétrique deV (sur k). Puisque Sr est engendré par des transpositions, il est facile de vérifier que I est l’idéal bilatère deT(V) engendré par les v⊗v⁰−v⁰⊗v∈T²(V) =V ⊗V, oùv etv⁰ parcourentV. Le produit dans S(V) sera noté usuellement.

Propriété universelle. Soit f : V → A une application linéaire, où A est une k-algèbre associative COMMUTATIVE. Alors il existe un unique morphisme dek-algèbres f˜:S(V)→A

´etendant f.

Proposition O. Soit X₁, . . . , X_n une k-base de V. Alors X₁, . . . , X_n sont alg´ebriquement ind´ependants dansS(V) et ils engendrent S(V).

Corollaire P.Si n= dimV et si r>0, alors dimS^r(V) =

r+n−1 n−1

.

Proposition Q.SoientV etW deuxk-espaces vectoriels de dimension finie. Alors l’application naturelle ⊕^ri=0Sⁱ(V)⊗kS^r−i(W) → S^r(V ⊕W) est un isomorphisme de k-espaces vectoriels.

Ces isomorphismes induisent un isomorphisme dek-alg`ebres S(V)⊗kS(W)'S(V ⊕W).

Preuve - Ceci revient `a dire que

k[X₁, . . . , X_m]⊗kk[X_m+1, . . . , X_m+n]'k[X₁, . . . , X_m+n].

Notons Fonc(V, k) l’ensemble des fonctions quelconques V →k. C’est une k-alg`ebre commutative pour la multiplication na¨ıve. Alors V^∗ est un sous-espace vectoriel de Fonc(V, k). Par

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la propriété universelle des algèbres symétriques, on obtient ainsi un morphisme de k-algèbres S(V^∗) → Fonc(V, k) dont l’image est la k-algèbre des fonctions polynômiales V → k, notée Pol(V, k).

Proposition R. Si k est infini, l’application S(V^∗) → Pol(V, k) est un isomorphisme de k- alg`ebres.

Supposons maintenant queV est unk-espace vectoriel gradué de dimension finie, c’est-à-dire V =V₁⊕ · · · ⊕V_d, où V_i est appelé lacomposante homogène de degréideV. Par la proposition Q, on a

S(V) =S(V₁)⊗ · · · ⊗S(V_N).

Les éléments de S^r(V_i) sont dits homogènes de degré ri, ce qui munitS(V_i) d’une structure de k-algèbre commutative graduée. Par produit tensoriel,S(V) devient unek-algèbre commutative graduée.

Exemple - Le cas le plus fréquent est celui où V =V₁ est concentré en degré 1. On retrouve alors la structure usuelle dek-algèbre graduée deS(V).

Exemple - Le groupe symétrique S_nagit sur lak-algèbrek[X₁, . . . , X_n] par permutations des indéterminées : ^σX_i = X_σ(i). Il est bien connu que la k-algèbre des polynômes symétriques k[X₁, . . . , X_n]^Sⁿ est engendrée par les polynômes symétriques élémentairesσ₁ =X₁+· · ·+X_n, . . . ,σ_n=X₁. . . X_n, et que ces derniers sont algébriquement indépendants. Si on poseV_i =kΣ_i etV =V₁⊕ · · · ⊕V_n⊂k[X₁, . . . , X_n], cela signifie que l’applicationS(V)→k[X₁, . . . , X_n]^Sⁿ est un isomorphisme dek-algèbres graduées.

Alg`ebres de type fini. Soit k un corps commutatif. Soit A une k-alg`ebre de type fini.

Proposition S. A est un anneau nœth´erien.

Proposition T.Si A est un corps, alors A est une extension alg´ebrique finie de k.

Corollaire U. Si k est alg´ebriquement clos, alors l’application Hom_k₋_alg(A, k) → Max(A), ϕ7→Kerϕ est bijective.

Preuve -En effet, simest un idéal maximal de Max(A), alorsA/mest unek-algèbre de type fini et c’est un corps. C’est donc, d’après la proposition T, une extension algébrique finie dek. Ce dernier étant alg´briquement clos, l’application naturelle k→A→A/mest un isomorphisme.

Corollaire V.Supposons k algébriquement clos. Soient X1, . . . , Xn des indéterminées sur k et soient P₁, . . .P_r ∈k[X₁, . . . , X_n]et notons I l’idéal qu’ils engendrent. Soit

V(I) ={(x1, . . . , xn)∈kⁿ |P1(x1, . . . , xn) =· · ·=Pr(x1, . . . , xn) = 0.

Si P ∈k[X₁, . . . , X_n] s’annule sur V, alors il existe e>1 tel queP^e∈I. Preuve - SoitA=k[X₁, . . . , X_n][T]/(P₁, . . . , P_r,1−P T). Posons

V⁰ ={(x₁, . . . , x_n, t)∈kⁿ⁺¹ |P₁(x₁, . . . , x_n) =· · ·=P_r(x₁, . . . , x_n) = 1−tP(x₁, . . . , x_n) = 0}. Alors, par hypothèse, V⁰ =∅. Or, d’après le corollaire U, V⁰ est en biijection avec les idéaux maximaux de A. Donc (P₁, . . . , P_r,1−P T) = k[X₁, . . . , X_n][T]. En d’autres termes, il existe α₁, . . . , α_r, β ∈ k[X₁, . . . , X_n, T] tel que α₁P₁ +· · · +α_rP_r +β(1−T P) = 1. Soit f : k[X₁, . . . , X_n, T] → k(X₁, . . . , X_n), X_i 7→ X_i, T 7→ 1/P. En appliquant f à l’égalité

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précédente, et en multipliant par une puissance suffisamment grande deP, on obtient le résultat souhaité.

Proposition W.Soitk⁰ une extension alg´ebrique dek. PosonsA⁰ =k⁰⊗kA. AlorsA⊂A⁰. De plus, l’application Spec(A⁰) →Spec(A), p7→ p∩A est surjective et a ses fibres finies. D’autre part, p est maximal si et seulement sip∩A¯ est maximal.

Exercices de la partie 0

Exercice X. Soit A un anneau et soit G un sous-groupe fini de Aut_anneauA. On suppose A intègre et intégralement clos. On note K le corps des fractions de A. SoitA₀ un sous-anneau de A^G intégralement clos et soit K0 son corps des fractions. On suppose que [K :K0] =|G|et queA^G et entier surA₀. Montrer que A₀=A^G.

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Partie I. Introduction

Sauf mention explicite du contraire, tous les anneaux et toutes les alg`ebres de ce cours seront commutatifs (commutatives).

Le théorème de base, bien que facile, de la théorie des invariants d’un groupe fini agissant sur une k-algèbre de type fini est le suivant :

Th´eor`eme 0. Soit A un anneau commutatif et soit G un groupe fini agissant sur A (par automorphismes d’anneau). Alors :

(a) A est entier sur A^G.

(b) L’applicationSpecA→SpecA^G,p7→p∩A^Gest surjective. Ses fibres sont desG-orbites.

De plus, si p∈SpecA, alors p∈MaxA si et seulement sip∩A^G∈MaxA^G. (c) Si A est r´eduit, alors A^G est r´eduit.

(d) Si A est int`egre, alors A^G est int`egre.

(e) Si A est intègre et intégralement clos, alors A^G est intègre et intégralement clos.

(f) Sikest un corps, siAest unek-algèbre de type fini et siGagit surApar automorphismes de k-algèbre, alors Aest un A^G-module de type fini et A^G est unek-algèbre de type fini.

Preuve - (a), (b), (c), (d) et (e) ont été montrés dans la partie . Montrons (f). Soientx₁,. . . , xn des générateurs de la k-algèbre A. Posons Pi = Q

σ∈G(X− ^σxi) ∈ A^G[X]. Notons B la sous-algèbre deA engendrée par les coefficients desPi, 16i6n. Alors B⊂A^G⊂A. De plus, A est entière sur B et, puisque A =B[x₁, . . . , x_n], A est un B-module de type fini. Par suite, A^G est un B-module de type fini car B est nœthérienne. Donc A^G est une k-algèbre de type fini.

Exemple 0 - Polynômes symétriques. Le groupe finiS_n agit surk[X₁, . . . , X_n] par permutations des indéterminées :

σX_i =X_σ(i).

On a k[X₁, . . . , X_n]^Sⁿ =k[σ₁, . . . , σ_n] où lesσ_j sont les polynômes symétriques élémentaires :

σ_j = X

16i1<i2<···<ij6n

X_i₁X_i₂. . . X_i_j. De plus,σ₁,σ₂,. . . ,σ_n sont alg´ebriquement ind´ependants.

Remarque 0 - Effectivité. La preuve du théorème 0 (f) n’est pas effective. Par contre, lorsque |G| est inversible dans k, alors on peut rendre cette preuve effective. En effet, on remarque tout d’abord que l’anneauB de la preuve est construit explicitement. Posonsg=|G|. Alors D’autre part,A=P

(i1,...,in)∈{0,1,...,g−1}ⁿBx₁ⁱ¹xⁱ₂². . . xⁱ_nⁿ. Par suite,

A^G= X

(i1,...,in)∈{0,1,...,g−1}ⁿ

Be_G(xⁱ₁¹xⁱ₂². . . xⁱ_nⁿ)

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care_G(xy) =xe_G(y) si x∈A^G.

Proposition 0. Soit k un corps, soit A une k-algèbre de type fini et soit G un groupe fini agissant sur A par automorphisme de k-algèbre. Alors il existe un sous-espace vectoriel de dimension finie V de A, engendrant A comme k-algèbre et stable sous G. On obtient ainsi un morphisme surjectifG-équivariant de k-algèbres S(V)→A.

Si de plus|G|est inversible dans k, alors l’application induiteS(V)^G→A^G est surjective.

Preuve - Soientx₁,. . . ,x_n des générateurs de la k-algèbreA. PosonsV = X

σ∈G 16i6n

k ^σx_i. Alors V est bien sˆurG-stable, de dimension finie et il engendreA.

Dans ce cours, nous ´etudierons essentiellement la situation suivante :

• k est un corps commutatif ;

• V est unk-espace vectoriel de dimension finie ;

• Gest un sous-groupe fini de GL_k(V).

• Probl`eme : Etudier l’alg`ebre´ S(V)^G...

On appelle pseudo-réflexionun élément s∈GL_k(V) tel que dim Im(s−1) = 1. On appelle réflexion une pseudo-réflexion d’ordre 2. Si G⊂GL_k(V), on notera Réf(G) l’ensemble des pseudo-réflexions deG. Un des buts du cours est de montrer le théorème suivant :

Théorème (Shephard-Todd, Chevalley). Soit k un corps commutatif de caractéristique 0, soit V un k-espace vectoriel de dimension finie n et soit G un sous-groupe fini de GL_k(V).

Alors les assertions suivantes sont équivalentes : (1) G est engendré par des pseudo-réflexions.

(2) S(V) est un S(V)^G-module libre de rang |G|.

(3) S(V)^G est engendrée par npolynômes (homogènes) algébriquement indépendants.

Si ces conditions sont satisfaites et si d₁,. . . , d_n sont les degrés des npolynômes homogènes algébriquement indépendants engendrant S(V)^G, alors

(a) La suite (d₁, . . . , d_n) ne dépend pas (à permutation près) du choix des n générateurs homogènes algébriquement indépendants.

(b) |G|=d₁. . . d_n.

(c) |R´ef(G)|=d1+· · ·+dn−n

Exemple 0.1 - Soit V =kⁿ et notons (X₁, . . . , X_n) sa base canonique. Le groupe symétrique Snagit surV par permutation des vecteurs de la base : ^σXi =X_σ(i). On aS(V) =k[X1, . . . , Xn] et S(V)^G est l’algèbre des polynômes symétriques. Elle est donc engendrée par n éléments homogènes algébriquement indépendants, de degrés 1, 2, . . . , n. Si on applique le théorème de Shephard-Todd-Chevalley, on obtient que Sn est engendré par des pseudo-réflexions, ce qui

´equivaut au fait bien connu queS_nest engendr´e par les transpositions. En appliquant (b) et (c), on obtient que|S_n|= 1.2. . . . .n=n! et que le nombre de transpositions deS_n estn(n−1)/2.

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Exercices de la partie I

On se fixe ici un corps commutatifk et un k-espace vectoriel V de dimension finien>1.

Exercice I.1^∗. Soit G un sous-groupe fini de GL_k(V). Montrer qu’il existe un sous-k-espace vectoriel M de S(V), stable par l’action de G et tel queM soit isomorphe à la représentation régulière de G(Indication : travailler avec les corps des fractions de S(V) et S(V)^G et utiliser le théorème de la base normale en théorie de Galois).

Exercice I.2. Supposons k de caractéristique différente de 2 et que G=< σ > où σ:V →V, v7→ −v. Alors|G|= 2.

(a) Montrer queS(V)^G=⊕r>0S^2r(V).

(b) Montrer queS(V)^G est engendr´ee parS²(V).

(c) Sin= 1, montrer queS(V)^G'k[T], où T est une indéterminée.

(d) Si n = 2, montrer que S(V)^G ' k[T₁, T₂, T]/(T² −T₁T₂), où T₁, T₂ et T sont des indéterminées. En particulier, il existe une sous-k-algèbre A de S(V)^G engendrée par deux polynômes homogènes de degrés 2 et un élémentv∈S²(V) tel queS(V)^G =A⊕Av.

Exercice I.3. Supposonsk de caractéristique différente de 2. SoitAlak-algèbrek[X, Y]/(X²+ Y²−1). Notons x l’image de X dans A et y l’image de Y. Soit G=< σ >, où σ² = 1 et où

σx=−x et ^σy=−y. Montrer queA^G'k[T, U]/(T²+U²−U) (Indication : utiliser l’exercice I.2).

Exercice I.4. Soit A une k-algèbre commutative, G un groupe agissant sur A par automorphismes dek-algèbres,k⁰ une extension dek. Montrer que l’applicationG×(k⁰⊗kA)→k⁰⊗kA, σ 7→Id_k0⊗kσ munit la k⁰-algèbre commutative k⁰⊗kA d’une action de Get que (k⁰⊗kA)^G= k⁰⊗kA^G.

Exercice I.5. SoientV etV⁰ deuxk-espaces vectoriels de dimension finie. SoientG⊂GL_k(V) etGL_k(V⁰). Alors G×G⁰⊂GL_k(V ⊕V⁰). Montrer que S(V ⊕V⁰)^G^×^G⁰ 'S(V)^G⊗S(V⁰)^G⁰. Exercice I.6. SoitA=k[X, X⁻¹]'k[X, Y]/(XY −1) et soitσ l’automorphisme deAtel que

σX =X⁻¹. On noteG=< σ > (on a bien sˆur|G|= 2). Montrer que A^G=k[X+X⁻¹].

Exercice I.7. Supposons que k=R, quen= 2, queV est euclidien et que Gest le groupe des automorphismes deV stabilisant un polygone régulier Γ àr>2 côtés centré en l’origine. Soient v₁,v₂, . . . , v_r les sommets du polygône régulier.

(a) Montrer que|G|= 2ret queGest engendr´e par deux r´eflexionssetttelles que (st)^r= 1.

(b) Soit T =v₁²+· · ·+v_r²∈S²(V). Montrer que T ∈S(V)^G. Montrer que T 6= 0.

(c) Montrer queU =v₁v₂. . . v_r∈S^r(V)^G.

(d) Montrer que, sir >3, alorsT etU sont alg´ebriquement ind´ependants.

(e) Montrer, sans utiliser le th´eor`eme de Shephard-Todd-Chevalley, que S(V)^G = R[T, U] (si r>3).

Exercice I.8. Supposons quek est un corps fini, que V =k² et queG={

1 a 0 1

|a∈k}. Soit (X₁, X₂) la base canonique de V. Soit W le sous-espace vectoriel de V engendr´e par X₂. Montrer que W est G-stable, que G agit trivialement sur V /W et que l’application V^G →

(12)

(V /W)^Gn’est pas surjective. En particulier, l’application S(V)^G→S(V /W)^G=S(V /W) n’est pas surjective.

Exercice I.9. Supposons que k est un corps fini. Le groupe additif (k,+) agit sur k[X] par translation : si a∈ k, on pose ^aX = X+a ∈ k[X]. Montrer que k[X]^(k,+) = k[X^q−X], o`u q=|k|.

Exercice I.10. SoitV =k², oùk est un corps fini àq éléments. SoitG=GL_k(V) =GL₂(k).

Posons

G1 =SL2(k) ={σ∈G| detσ = 1}

et H={

1 a 0 1

|a∈k}. Soit (X, Y) la base canonique deV. On pose

T =XY^q−Y X^q, U = Xq i=0

(X^q⁻¹)ⁱ(Y^q⁻¹)^q⁻ⁱ= XY^q²−Y X^q² XY^q−Y X^q

et T⁰ =Y^q−Y X^q⁻¹= T

X. (a) Montrer queT⁰ =Q

λ∈k(Y +λX).

(b) Montrer queT⁰ etX sont alg´ebriquement ind´ependants et queS(V)^H =k[X, T⁰].

(c) Montrer que, pour tout σ ∈ G, on a ^σT = (detσ)T. En d´eduire que T ∈ S(V)^G¹ et U ∈S(V)^G.

(d) Montrer queT etU sont alg´ebriquement ind´ependants et queS(V)^G¹ =k[T, U].

(e) En d´eduire queS(V)^G =k[T^q⁻¹, U].

Exercice I.11 (Bourbaki, “Groupes et alg`ebres de Lie”, chapitre V, §5, exercice 6).

Supposons que k est un corps fini de cardinal q, que V =kⁿ et que G =GL_n(k) = GL_k(V).

On note (X₁, . . . , X_n) la base canonique deV. Posons

G₁ =SL_n(k) ={σ ∈G| detσ= 1}. Sie= (e₁, . . . , e_n) est une suite d’entiers naturels non nuls, on pose

L_e= det(X_i^q^ej)₁₆_i,j,₆_n∈S(V) =k[X₁, . . . , X_n].

PosonsT = Yn j=1

Y

(aj+1,...,an)∈kⁿ⁻^j

(X_j+ Xn i=j+1

a_iX_i) .

(a) Montrer que, pour toutσ∈G, ^σL_e= (detσ)L_e. En particulier, L_e∈S(V)^G¹. (b) Montrer queT divise tous lesL_e.

(c) Montrer queT =L(0,1,2,...,n−1) et que T est homogène de degré 1 +q+q²+· · ·+qⁿ⁻¹. (d) Si 16i6n, on notee_i la suite (0,1,2, . . . , n) à laquelle on a retiréi. Si 16i6n−1, on pose Yi =Lei/T. Montrer que Yi ∈S(V)^G et que Yi est homogène de degréqⁿ−qⁱ. (Nous montrerons dans un futur exercice queT,Y₁, . . . ,Y_n₋₁ sont algébriquement indépendants et queS(V)^G¹ =k[T, Y₁, . . . , Y_n−1] etS(V)^G=k[T^q⁻¹, Y₁, . . . , Y_n−1], ce qui généralise l’exercice I.10 ci-dessus.)

(13)

Partie II. Objets gradu´ es

Fixons jusqu’à la fin de ce cours un corps commutatif k. Nous noterons ¯k une clôture algébrique dek.

1. Espaces vectoriels gradu´es

On appellerak-espace vectoriel graduétout k-espace vectoriel M muni d’une décomposition M =⊕r∈ZM_r, où dim_kM_r < ∞ et M_r = 0 si r << 0. Sim = X

r∈Z

m_r ∈ M avec m_r ∈ M_r et si m 6= 0, on appellera degré de m, et on notera degm, le plus grand entier naturel r tel que m_r6= 0. Les éléments de M_r seront dits homogènes(de degré r).

Soient M = ⊕r∈ZM_r et N = ⊕r∈ZN_r deux k-espaces vectoriels gradués. Une application linéairef :M →N sera ditede degréd (d∈Z) sif(M_r)⊂N_r+d pour tout r>0. On dit quef est unmorphisme dek-espaces vectoriels gradués si f est de degré 0. Avec ces notations :

•M ⊕N =⊕_r∈Z(M_r⊕N_r) est unk-espace vectoriel gradu´e.

•M ⊗N =⊕r∈Z

⊕^ri∈ZM_i⊗N_r₋_i) est unk-espace vectoriel gradu´e.

•Sif est de degr´ed, alors Kerf et Imf sont desk-espaces vectoriels gradu´es.

• Si d ∈ Z, alors on peut définir le décalé de d de M, noté M[d], de la fa¸con suivante : M[d]r = M_r+d. C’est le même k-espace vectoriel, mais sa graduation a été décalée. Une application linéaire f : M → N est de degré d si et seulement si f : M → N[d] est un morphisme dek-espace vectoriels gradués.

•SiM_r⊂N_r pour toutr>0, alors M⊂N etN/M =⊕r>0N_r/M_r est unk-espace vectoriel gradu´e. On dit alors queM est unsous-k-espace vectoriel gradu´ede N.

On dit que M est à degrés positifs (respectivement strictement positifs) si Mr = 0 dès que r <0 (respectivement r60).

Exemple 1.1 - Si M et N sont deuxk-espaces vectoriels gradu´es, on notera Hom^grad_k (M, N) le k-espace vectoriel des morphismes de k-espaces vectoriels gradu´es M → N. Si M ou N est de dimension finie, alors

Hom^grad_k (M, N) = ⊕

r∈ZHom_k(M_r, N_r) est unk-espace vectoriel gradu´e.

SiV =⊕ê_i=dV_iest unk-espace vectoriel gradué de dimension finie, on appellesuite des degrés deV (ou plus simplement degrés de V), et on note Deg_k(V), la suite (finie)

Deg_k(V) = (d, . . . , d

| {z }

dimV_dfois

, d+ 1, . . . , d+ 1

| {z }

dimV_d+1fois

, . . . , e, . . . , e

| {z }

dimVefois

).

En d’autres termes, si (X1, . . . , Xn) est une base de V formée d’éléments homogènes tels que degX₁6degX₂ 6. . .6degX_n, alors Deg_k(V) = (degX₁, . . . ,degX_n).

(14)

2. Alg`ebres gradu´ees

2.A. Définition. Nous adopterons dans ce cours la définition restrictive suivante. Unek-algèbre Aest dite graduéesi elle est munie d’une décomposition A=⊕r>0A_r telle que :

•A est commutative ;

•dimAr<∞ pour toutr>0 ;

•A_rA_s⊂A_r+s ;

•A est de type fini ;

•A₀=k.

On se fixe une k-algèbre graduée A = ⊕r>0A_r. Un idéal I de A est dit homogène si I =⊕r>0(I∩A_r). En d’autres termes, I est homogène si et seulement si il est engendré par des éléments homogènes. Si I =⊕r>0I_r est homogène, I =6 A, alors A/I = ⊕r>0A_r/I_r est une k-algèbre graduée.

SiB = ⊕r>0B_r est une k-algèbre graduée, une application linéaire f :A → B est appelée morphisme dek-algèbres graduéessi c’est un morphisme dek-algèbre et sif(A_r)⊂B_r pour tout r>0. Sif :A→Best un morphisme dek-algèbres graduées, alors Kerf est un idéal homogène de A. On peut aussi définir de fa¸con évident la notion de sous-k-algèbre graduée.

Exemple 2.1 - Si V est un k-espace vectoriel de dimension finie, alors S(V) =⊕r>0S^r(V) est unek-algèbre graduée (en décrétant que les éléments deS^r(V) sont homogènes de degrér).

Plus généralement, si V =V₁⊕ · · · ⊕V_d est un k-espace vectoriel gradué de dimension finie

à degrés strictement positifs (Vi étant la composante homogène de degré i), alors S(V) = S(V₁)⊗ · · · ⊗ S(V_d) est une k-algèbre graduée. Il faut cependant bien faire attention : la composante homogène de degrér de S(V) n’est pasS^r(V) en général. C’est

⊕

(r1,...,rd)∈N^d

r1+2i2+···+drd=r

S^r¹(V1)⊗ · · · ⊗S^r^d(V_d).

Exemple 2.2 - Si V est un k-espace vectoriel de dimension finie et si G⊂GL_k(V), alors S(V)^G=⊕r>0S^r(V)^G est unek-alg`ebre gradu´ee.

Exemple 2.3 - A+ =⊕r>1Ar est un idéal homogène de A. C’est l’unique idéal homogène maximal deA.

SoitI un id´eal deA. On appelle radical deI (dansA), et on note√

I, l’ensemble des éléments a∈A tels que aê ∈I pour une>1. On appelle le nilradical de A, et on note nil(A), le radical de l’idéal nul, c’est-à-dire l’ensemble des éléments nilpotents deA. PuisqueA est commutative,

√I (et donc nil(A)) est un id´eal deA.

Lemme 2.4. Si I est homog`ene, alors √

I est homog`ene. En particulier, nil(A) est homog`ene.

Preuve - Quitte à quotienter par I, on peut supposer que I = 0. Soit a ∈ A un élément nilpotent,a6= 0. Notonsd= dega. Alorsa=a0+a1+· · ·+ad, avecai ∈Ai. Soite>1 tel que aê = 0. Alorsaê_dest la composante homogène de degrédedeaê, doncaê_d= 0, ce qui montre que a_dest nilpotent. Par suite,a−a_d=a₀+a₁+· · ·+a_d₋₁ est nilpotent. On montre alors facilement par récurrence sur degaquea₀,a₁, . . . ,a_dsont nilpotents. Donc nil(A) =⊕r>0(nil(A)∩A_r).

2.B. Modules gradués. Un A-module M est dit gradué s’il est muni d’une décomposition M =⊕r∈ZM_r qui en fait un k-espace vectoriel gradué vérifiant de plusA_rM_s⊂M_r+s.

Exemple 2.5 - Un idéal homogène deA est unA-module gradué.

(15)

SiM etN sont deuxA-modules gradués, on appellemorphisme de A-modules graduéstout morphisme de A-module f : M → N tel que f(M_r)⊂N_r pour tout r>0. Si tel est le cas, alors Kerf et Imf sont desA-modules gradués. De plus,M ⊕N est unA-module gradué. On peut définir sur lesA-modules gradués les opérations de somme directe, de décalage, les notions d’applicationsA-linéaires de degréd(le noyau et l’image étant encore desA-modules gradués)...

Lemme de Nakayama gradu´e. Soit M un A-module gradu´e. Alors A+M =M si et seulement si M = 0.

Preuve - SiM = 0, alors A+M = 0 =M. R´eciproquement, supposons queM 6= 0. Soit r0 le plus petit entier naturel tel queM_r₀ 6= 0. Alors A₊M⊂ ⊕r>r0+1M_r, doncA₊M 6=M.

Corollaire 2.6. Soit N est un sous-A-module gradu´e de M. Alors N +A+M = M si et seulement siN =M.

Preuve - Il suffit d’appliquer le lemme de Nakayama gradu´e `aM/N.

Corollaire 2.7. Si f : M → N est une application A-linéaire de degré d entre A-modules gradués, alors f est surjective si et seulement si f¯:M/A+M →N/A+N est surjective.

Preuve - Il suffit d’appliquer le corollaire 2.6 `a Imf⊂N.

Corollaire 2.8. Soit V un sous-k-espace vectoriel deA.

(a) Si V engendre M, alors V +A₊M =M.

(b) Supposons que V est un sous-k-espace vectoriel gradu´e deM. Alors M est engendr´e par V si et seulement si V +A+M =M.

Preuve -(a) SiV engendreM, alors l’image deV dansM/A₊M engendre leA/A₊=k-espace vectorielM/A₊M.

(b) D’après (a), il ne nous reste plus qu’à montrer que, siV +A₊M =M, alors V engendre M. Mais cela résulte immédiatement du lemme de Nakayama gradué car le sous-A-module de M engendré parV est gradué lui aussi.

Corollaire 2.9. On a :

(a) M est de type fini si et seulement sidim_kM/A₊M <∞.

(b) Supposons M de type fini. Alors le nombre dim_kM/A₊M est égal au nombre minimal de générateurs du A-module M. C’est aussi égal au nombre minimal de générateurs homogènes du A-module M.

Corollaire 2.10. Supposons M de type fini sur A. Soit n= dimM/A+M. Soient x1, . . . ,xn

des générateurs homogènes de M tels que degx₁ 6degx₂6. . .6degx_n. Alors (degx₁,degx₂, . . . ,degx_n) = Deg_k(M/A₊M).

SiM est un A-module gradué de type fini, on appellesuite des degrés de M (ou plus simple- mentdegrés de M), et on note Deg_A(M), la suite Deg_k(M/A₊M).

Proposition 2.11. On a :

(a) Si V est un sous-k-espace vectoriel de dimension finie de A₊tel que l’application canonique S(V)→A est surjective, alors V + (A₊)² =A₊.

(16)

(b) Si V est un sous-k-espace vectoriel gradu´e de dimension finie deA₊, alors l’application S(V)→A est surjective si et seulement si V +A²₊=A₊.

Preuve - (a) est clair. Montrons (b). Compte tenu de (a), il ne reste qu’à montrer que, si V est un sous-k-espace vectoriel gradué de dimension finie de A₊ tel que V +A²₊ = A₊, alors l’application canonique π :S(V) → A est surjective. On va montrer par récurrence sur r que A_r⊂Imπ. C’est clair lorsque r = 0. Supposons maintenant r>1. Soit a ∈ A_r. On a V_r + (A²₊)_r = A_r par hypothèse. Donc a = v+a⁰, où v ∈ V_r et a⁰ ∈ (A²₊)_r. On écrit a⁰ =P

i∈Ixiyi avecxi,yi homogènes dansA+. Alors, degxi< ret degyi< r. On conclut alors grâce à l’hypothèse de récurrence.

Corollaire 2.12. Le nombredim_k(A₊/A²₊)est le nombre minimal de générateurs de lak-algèbre A. C’est aussi le nombre minimal de générateurs homogènes de A.

Notonsn= dim_k(A₊/A²₊). Six₁, . . . , x_n est une famille d’el´ements homog`enes deA engendrant A telle que degx1 6degx26. . .6degxn, alors

(degx₁,degx₂, . . . ,degx_n) = Deg_k(A₊/A²₊) = Deg_A(A₊).

On appellerasuite des degrés deA(ou plus simplementdegrés deA), et on notera Deg(A), la suite Deg_k(A₊/A²₊). Fixons maintenant jusqu’à la fin de cette partie un sous-k-espace vectoriel gradué V de A₊ tel que A²₊ ⊕V = A₊. On notera π : S(V) → A le morphisme canonique d’algèbres graduées :

0 ^//Kerπ ^//S(V) π _//

A ^//0.

On appellesuite des degrés des relationsde A(oudegrés des relationsde A), et on note Rel(A) la suite des degrés duS(V)-module gradué de type fini Kerπ :

Rel(A) = Deg_S(V₎(Kerπ).

On dit que A est une k-algèbre de polynômes, ou que A est régulière, si Kerπ = 0 (c’est-à-dire si Rel(A) =∅).

Exemple 2.13 - SoitV =V1⊕ · · · ⊕Vd unk-espace vectoriel gradu´e de dimension finie. Alors Deg(S(V)) = Deg_k(V) et Rel(S(V)) =∅.

Exemple 2.14 - SoitV unk-espace vectoriel. Supposonskde caract´eristique diff´erente de 2 et soitG ={IdV,−IdV}. Alors S(V)^G₊/(S(V)^G₊)² ' S²(V). Donc Deg(S(V)^G) = (2,2, . . . ,2), le nombre 2 apparaissantn(n+1)/2 fois (voir exercice I.2 (b)). Si dimV = 2, alors Rel(S(V)^G) = 4 (voir exercice I.2 (d)).

Remarque 2.15 - Soit V⁰ un autre supplémentaire gradué de (A₊)² dans A₊. Notons π⁰ : S(V⁰) → A le morphisme surjectif canonique correspondant. Alors il existe un isomorphisme d’algèbres graduées ψ :S(V) → S(V⁰) tel que π =π⁰◦ψ. En particulier, ψ induit un isomorphisme Kerπ'Kerπ⁰ qui montre que Rel(A) ne dépend pas du choix de V.

(17)

3. Libert´e

Nous allons ici nous intéresser à plusieurs questions concernant les modules libres (car- actérisation, résolutions libres, complexes de Koszul).

3.A. Injection directe. Soient M et N deux A-modules gradués et soit f : M → N un morphisme deA-modules gradués. On dit quef est uneinjection directesif est injective et s’il existe un sous-A-module graduéN⁰ de N tel queN =f(M)⊕N⁰.

Proposition 3.1. SoientM etN deuxA-modules libres de type fini gradu´es et soitf :M →N un morphisme de A-modules gradu´es. Alors f est une injection directe (respectivement un isomorphisme) si et seulement si f¯ : M/A₊M → N/A₊N est injective (respectivement un isomorphisme).

Preuve - Il est clair que, si f est une injection directe (respectivement un isomorphisme), alors ¯f : M/A₊M → N/A₊N est injective (respectivement un isomorphisme). Il suffit donc de montrer que, si ¯f est injective, alors f est une injection directe (en effet, pour l’assertion concernant les isomorphismes, la surjectivité découle du lemme de Nakayama gradué).

Supposons donc que ¯f soit injective. Soit ¯g :N/A+N →M/A+M tel que ¯g◦f¯= Id_m/A₊_M (¯g existe car on travaille ici avec des k-espaces vectoriels). Par composition avec la projection N → N/A₊N, on obtient un morphisme de A-modules ˜g : N → M/A₊M tel que ˜g◦f soit la projection de M sur M/A+M. Puisque N est libre, il existe un morphisme de A-modules g : N → M relevant ˜g. Alors, d’apr`es le lemme de Nakayama gradu´e, g◦f est surjectif. Or, un endomorphisme surjectif d’un A-module libre est un automorphisme (en effet, det(g◦f) :

∧ⁿM ' A → ∧ⁿM ' A est surjectif, o`u n = rang_A(M), ce qui montre que det(g◦f) est inversible dansA).

3.B. Modules libres. Nous commen¸cons par une caractérisation des modules libres. Nous aurons besoin pour cela de la notation suivante. SiM est un A-module gradué, nous noterons TorA(M) le noyau du morphisme deA-modules µM :A+⊗AM →M,a⊗Am7→am. C’est un sous-A-module gradué deA₊⊗AM.

Remarque - Le morphismeA⊗AM →M,a⊗Am7→amest injectif. Cependant, en général, A₊⊗AM n’est pas un sous-A-module de A⊗AM. Il y a bien sûr un morphisme canonique A₊⊗AM →A⊗AM, mais il n’est pas injectif.

Sif :M →N est une application A-linéaire de degré d ∈Z, alors f induit une application A-linéaire de degré d (par produit tensoriel) Id_A₊⊗Af :A₊⊗AM → A₊⊗AN. La restriction de ce morphisme à Tor_A(M) induit une application Tor_A(f) : Tor_A(M) → Tor_A(N) qui est A-linéaire de degréd.

Proposition 3.2. Soit 0−→M −→^f M⁰ −→^g M⁰⁰ −→0 une suite exacte deA-modules gradu´es.

Alors il existe un unique morphisme deA-modules gradu´es ∂: Tor_A(M⁰⁰)→M/A₊M tel que la suite

Tor_A(M) ^Tor^A^(f) ^//Tor_A(M⁰) ^Tor^A^(g) ^//Tor_A(M⁰⁰)

∂ //M/A₊M ^f^¯ ^//M⁰/A₊M⁰ ^g^¯ ^//M⁰⁰/A₊M⁰⁰ ^//0 est exacte.

Preuve - Commen¸cons par d´efinir l’application∂. Pour simplifier les notations, on supposera que M⊂M⁰ et que f : M → M⁰ est l’injection canonique. Notons µ_M : A₊ ⊗A M → M,