Pour l'obtention du grade de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE POITIERS UFR des sciences fondamentales et appliquées
Laboratoire de mathématiques et applications - LMA (Poitiers) (Diplôme National - Arrêté du 7 août 2006)
École doctorale : Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques - S2IM (Poitiers) Secteur de recherche : Mathématiques
Présentée par :
Kévin Tari
Automorphismes des variétés de Kummer généralisées
Directeur(s) de Thèse : Samuel Boissière
Soutenue le 08 décembre 2015 devant le jury
Jury :
Président Dimitri Markushevich Professeur des Universités, Université de Lille 1 Rapporteur Dimitri Markushevich Professeur des Universités, Université de Lille 1 Rapporteur Marc Nieper-Wisskirchen Professor, Universität von Augsburg, Deutschland Membre Samuel Boissière Professeur des Universités, Université de Poitiers Membre Alessandra Sarti Professeur des Universités, Université de Poitiers Membre Anne Moreau Maître de conférences, Université de Poitiers Membre Gilberto Bini Professore, Università di Milano, Italia
Pour citer cette thèse :
Kévin Tari. Automorphismes des variétés de Kummer généralisées [En ligne]. Thèse Mathématiques. Poitiers : Université de Poitiers, 2015. Disponible sur Internet <http://theses.univ-poitiers.fr>
pour l’obtention du Grade de
Docteur de l’Université de Poitiers
(Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées)(Diplôme National - Arrêté du 7 août 2006)
École doctorale : Sciences et Ingénierie pour l’Information, Mathématiques (S2IM)
Secteur de Recherche : Mathématiques Présentée par :
Kévin Tari
************************Automorphismes des variétés de
Kummer généralisées
************************
Directeur de Thèse :
Samuel Boissière
************************Soutenue le 8 décembre 2015 Devant la Commission d’Examen
************************
Jury
Gilberto Bini Professeur (Examinateur)
Université de Milan
Samuel Boissière Professeur (Directeur) Université de Poitiers
Dimitri Markouchevitch Professeur (Rapporteur) Université de Lille 1
Anne Moreau Maître de Conférences, HDR (Examinatrice) Université de Poitiers
Marc Nieper-Wißkirchen Professeur (Rapporteur) Université d’Augsbourg
Alessandra Sarti Professeur (Examinatrice) Université de Poitiers
E
n premier lieu, je voudrais exprimer mes plus profonds remer-ciements à Samuel Boissière pour m’avoir guidé, transmis, soutenu pendant plus de trois ans. J’admire beaucoup ta manière de chercher et d’exposer les mathématiques et je suis très heureux d’avoir été sous ta tutelle. Tu as fais preuve de beaucoup de pa-tience et tu t’es toujours rendu disponible lorsque j’en avais besoin. Je suis aussi un grand fan de ton style très direct, je pense que c’est une qualité rare qui fait de toi un excellent directeur de thèse.Mes remerciements vont ensuite à Dimitri Markouchevitch et Marc Nieper-Wißkirchen pour avoir accepté d’être rapporteurs, je suis flatté que vous fassiez partie de mon comité de thèse. Dans mon jury, j’ai également l’honneur de compter Gilberto Bini, Anne Moreau et Alessandra Sarti.
Je souhaite remercier chaleureusement Giovanni Mongardi et Malte Wandel pour notre fructueuse collaboration. Mes travaux ont pris un nouveau tournant lors de chacune de nos rencontres en Allemagne, en France et en Italie. J’ai beaucoup appris à vos côtés et cette thèse ne serait certainement pas la même sans vous.
Je remercie toute l’équipe de géométrie algébrique de Poitiers de m’avoir accueilli en son sein. Nos discussions et vos remarques m’ont permis d’apprendre de mes erreurs tout au long de ces trois années.
Je n’oublie pas non plus les autres membres du LMA, qui contribuent tous à la bonne entente et au bon fonctionnement du laboratoire ; merci à Jocelyne Attab pour les six heures d’impression qui nous permettent de lire ce mémoire.
Pour nos coups de cœur et nos coups de gueule communs, nos pique-niques, nos parties de billard et de ping-pong, nos débats passionnés, nos barbecues, nos dîners internationaux, nos sémi-naires du soir et de l’après-midi, je remercie tous les doctorants, anciens et nouveaux, avec qui j’ai partagé de bons moments : Claire, Charlène, Frédéric, Anis, Paola, Guilnard, Ahmad, Nada, Blandine, Nabila, Clément, Vincent, Vincent et bien d’autres. En particulier, je voudrais remercier Yasmine, qui partage ces expériences avec moi depuis le début, Simon, pour nos digressions mathématiques
zen et mon ami.
Merci à tous mes amis de Poitiers, de Lyon, de Paris, de Mont-pellier et d’ailleurs, mes colocs préférés, mes ch’tis, mes partenaires de lol, merci aux buveurs de bières et de tisanes au miel, aux musiciens, aux randonneurs, aux grimpeurs, au club gros, aux compagnons de vadrouilles et aux compères juvignacois.
Merci à mes parents de m’avoir soutenu à distance depuis le début de la thèse et même avant. Merci pour vos bonnes ondes, vos conseils avisés, votre vision sage du monde et merci de m’avoir redonné le sourire à chaque fois. Merci à ma sista.
De tout mon cœur, j’aimerais remercier Rozenn, qui m’a vu dans tous mes états, qui a su m’encourager, m’engueuler, m’épauler, me remonter le moral tous les jours où il le fallait. Tu partages toutes mes aventures et mes émotions depuis bientôt cinq ans. J’espère pouvoir t’apporter autant que ce que tu m’apportes.c
Table des matières v
Introduction 1
1 Automorphismes naturels et points fixes 5 1.1 Automorphismes naturels des variétés de Kummer
gé-néralisées . . . 7
1.1.1 Variétés de Kummer généralisées. . . 7
1.1.2 Structure des automorphismes sur les tores complexes . 8 1.1.3 Automorphismes naturels . . . 8
1.1.4 Automorphismes d’ordre fini sur les tores complexes de dimension 2 . . . 9
1.2 Lieux fixes des automorphismes naturels sur A[[3]] . . . 12
1.2.1 L’identité . . . 14 1.2.2 Type 1 . . . 16 1.2.3 Type 2 . . . 20 1.2.4 Type 3 . . . 23 1.2.5 Type 4 . . . 24 1.2.6 Type 5 . . . 25 1.2.7 Type 6 . . . 31 1.2.8 Type 7 . . . 34 1.2.9 Type 8 . . . 38
1.2.10 Puissances des automorphismes précédents . . . 41
1.2.11 Vérification des calculs . . . 42
2 Automorphismes et réseaux 45 2.1 Théorie des réseaux . . . 47
2.1.1 Généralités . . . 47
2.1.2 Automorphismes et réseaux p-élémentaires. . . 50
2.1.3 Étude des réseaux invariant et anti-invariant . . . 54
2.1.4 Plongements de réseaux et questions d’unicité . . . 62
2.2 Les réseaux de type H2(X, Z) . . . . 63
2.2.1 Tores complexes de dimension 2 . . . 63
2.2.2 Variétés symplectiques holomorphes . . . 64
2.2.3 Actions des automorphismes . . . 65
3 Recherche d’automorphismes 69 3.1 Espaces de modules. . . 71
3.1.1 Théorèmes de Torelli . . . 71
3.1.2 Familles et automorphismes . . . 72
3.2.1 Réseaux invariants possibles . . . 77
3.2.2 Automorphismes . . . 79
3.3 Variétés de Kummer généralisées de dimension 4 . . . 83
3.3.1 Classification dans le réseau U⊕4. . . 83 3.3.2 Classification des réseaux invariants et anti-invariants en
dimension 4 . . . 87
3.3.3 Automorphismes . . . 92
3.3.4 Dimensions supérieures . . . 95
3.4 Schémas de Hilbert de 2 points sur les surfaces K3 . . 96
Bibliographie 99
L
es variétés de Kummer généralisées sont l’une des familles en toute dimension paire de variétés symplectiques holomorphes, introduites par Beauville dans son article fondateur [Bea83b]. Ces variétés complexes compactes kähleriennes simplement connexes, admettant une forme symplectique holomorphe unique à multipli-cation par un scalaire près, généralisent les surfaces K3, qui sont très largement étudiées en géométrie algébrique. La classification de leurs automorphismes, notamment, constitue un domaine de recherche toujours actif à l’heure actuelle. Le théorème de Torelli permet d’établir une correspondance entre les automorphismes d’une surface K3 S et certaines isométries de H2(S, Z) muni du cup-produit, qui est une forme bilinéaire symétrique non dégéné-rée à valeurs dans Z (on dit que H2(X, Z) est muni d’une structure de réseau) ; c’est un outil central dans l’étude des automorphismes des surfaces K3. Les travaux de Nikulin [Nik79] sur les réseaux et [Nik83] sur les involutions ont servi de base à la classification des automorphismes de ces variétés. Ainsi, les automorphismes non symplectiques (ceux qui ne préservent pas la forme symplectique) d’ordre premier des surfaces K3 ont été classifiés par Artebani, Sarti et Taki dans [AS08] pour l’ordre 3, puis [AST11] pour les ordres supérieurs.Ce n’est que depuis peu qu’il est envisageable d’obtenir de tels résultats pour les variétés symplectiques holomorphes par des mé-thodes analogues, grâce à la généralisation du théorème de Torelli pour ces variétés, par Verbitsky [Ver09] et Markman [Mar11]. À nouveau, ce théorème fait le lien entre les automorphismes d’une telle variété X et certaines isométries du réseau H2(X, Z)muni de la forme de Beauville-Bogomolov. Depuis lors, de nombreux auteurs se sont intéressés aux automorphismes des schémas de Hilbert de 2 points sur les surfaces K3 et leurs déformations (qui sont des va-riétés symplectiques holomorphes) : Boissière, Niepier-Wisskirchen et Sarti [BNWS11] obtiennent des relations entre certains invariants des automorphismes sur ces variétés, Ohashi et Wandel [OW13] étudient en détail les familles à 19 paramètres de variétés de type K3[2] admettant une involution. Boissière, Camere et Sarti [BCS15]
donnent finalement une classification des automorphismes non symplectiques d’ordre premier différent de 5 et 23 sur ces variétés, qu’ils complètent conjointement avec Mongardi dans [BCMS15] pour l’ordre 23. Nous proposons dans ce mémoire une étude
laire pour les variétés de Kummer généralisées, le résultat principal étant une classification des automorphismes non symplectiques d’ordre premier sur les variétés de type A[[3]] (équivalentes par
dé-formations aux variétés de Kummer généralisées de dimension 4) exposée dans la Section 3.3. En particulier, nous obtenons le résultat suivant :
Théorème 0.1 (Théorèmes 3.20 et 3.21) Soit X une variété de type A[[3]] et f ∈ Aut(X)
non-symplectique, tel que l’isométrie f∗de H2(X, Z)soit d’ordre premier. Alors les réseaux invariant et anti-invariant de f∗ sont isomorphes à un des couples de réseaux des tables de la Section 3.3.2. Réciproquement, tous les couples de réseaux invariants et anti-invariants de ces tables sont réa-lisés par des automorphismes sur des variétés de type A[[3]].
Le théorème de Torelli ramène l’étude des automorphismes des variétés symplectiques holomorphes à celle des isométries du ré-seau de Beauville-Bogomolov. Dans [AST11], puis [BCS15], les au-teurs donnent des conditions nécessaires d’existence d’isométries des réseaux des surfaces K3 et des variétés de type K3[2], sous la
forme de relations entre certains invariants de ces isométries. Dans la Section 2.1.3, nous prouvons une version générale de cette rela-tion, qui s’applique à tous les réseaux :
Théorème 0.2 (Théorème 2.18) Soit L un réseau et ϕ ∈ O(L) un automorphisme d’ordre premier p, onTϕ le réseau invariant de ϕ etSϕ son réseau anti-invariant. Alors m := rang(Sϕ)
p−1 est un entier et Tϕ⊕LSϕ ≃ (Z/pZ)
a
se plonge natu-rellement dans les groupes discriminants ATϕ et ASϕ. En outre, a ≤m. Celui-ci permet d’exclure de nombreux cas lors de la classification des isométries du réseau des Kummer. Nous complétons également ce résultat par une autre condition nécessaire sur le déterminant d’un réseau pour l’existence d’isométries d’ordre premier impair :
Théorème 0.3 (Théorème 2.23) Soit L un réseau et ϕ∈O(L)d’ordre p 6=2 premier. Alors pm d Sϕ est un carré dans Z, où m =
rang(Sϕ)
p−1 . En particulier, si L est unimodulaire, d Sϕ = pa, où a et m ont la même parité.
Ce théorème est la généralisation d’un résultat prouvé dans [BCMS15, Section 4], où les auteurs se restreignent au cas m=1.
Signalons également que ces théorèmes permettent de traiter le cas des automorphismes d’ordre 5 sur les variétés de type K3[2], qui
restait ouvert dans [BCS15]. On obtient le résultat suivant dans la Section 3.4 :
Théorème 0.4 (Théorème 3.24) Soit f un automorphisme non-symplectique d’ordre 5 sur une variété X de typeK3[2]. Alors les réseaux invariants et anti-invariants de f∗ sur H2(X, Z)sont isomorphes à ceux d’un automorphisme naturel.
Les variétés de Kummer généralisées sont construites à partir de tores complexes de dimension 2. Une classe particulière d’au-tomorphismes sur ces variétés est celle des aud’au-tomorphismes qui sont induits par un automorphisme du tore sous-jacent, ce sont les automorphismes naturels. Nous faisons une étude détaillée de ces automorphismes en dimension 4. Dans la Section 1.2, nous classifions les lieux fixes des automorphismes naturels des variétés de Kummer généralisées de dimension 4 qui induisent une isomé-trie d’ordre premier sur le réseau de Beauville-Bogomolov. Pour chacun de ces automorphismes, nous donnons son lieu fixe et la caractéristique d’Euler de celui-ci.
Nous étudions également les automorphismes naturels en pro-fondeur au travers de leur action sur le réseau. La particularité de ces automorphismes est qu’il est possible de faire cette étude uni-quement au niveau du tore sous-jacent A, dont le H2(A, Z) pos-sède également une structure de réseau donnée par le cup-produit. Cette remarque engendre une classification des automorphismes des tores complexes de dimension 2 par des méthodes similaires au cas des surfaces K3 et des variétés symplectiques holomorphes en général. Les tores ne sont pas des variétés symplectique holo-morphes (la simple connexité est mise en défaut), mais nous uti-lisons exactement les mêmes outils pour étudier leurs automor-phismes, grâce aux résultats de Shioda [Shi78], dans la Section 3.2. Ceci offre une nouvelle perspective sur des résultats connus depuis les travaux de Fujiki dans [Fuj88], où il classifiait tous les couples
(A, G) où A est un tore complexe de dimension 2 et G un groupe d’automorphismes de A fixant l’origine. Le résultat que nous obte-nons est le suivant :
Théorème 0.5 (Théorème 3.14) Soit A un tore complexe de dimension 2 et f ∈ Aut0(A), tel que ϕ := f∗ ∈ O H2(A, Z) soit d’ordre p premier. Alors le réseau invariantTϕ est isomorphe à un des réseaux listés dans le Théorème 3.14. Une partie des résultats est issue de collaborations avec Giovanni Mongardi et Malte Wandel : dans [MTW15a] nous étudions les au-tomorphismes des tores (Théorème 0.5), dans [MTW15b] ceux sur les variétés de type A[[3]](Théorème 0.1). Les autres résultats
(classi-fication des lieux fixes des automorphismes naturels des variétés de Kummer généralisées de dimension 4 et Théorèmes 0.2, 0.3 et 0.4) sont personnels.
1
points fixes
Sommaire
1.1 Automorphismes naturels des variétés de Kummer
gé-néralisées. . . 7
1.1.1 Variétés de Kummer généralisées . . . 7
1.1.2 Structure des automorphismes sur les tores complexes . . 8
1.1.3 Automorphismes naturels . . . 8
1.1.4 Automorphismes d’ordre fini sur les tores complexes de dimension 2 . . . 9
1.2 Lieux fixes des automorphismes naturels sur A[[3]] . . . . 12
1.2.1 L’identité . . . 14 1.2.2 Type 1 . . . 16 1.2.3 Type 2 . . . 20 1.2.4 Type 3 . . . 23 1.2.5 Type 4 . . . 24 1.2.6 Type 5 . . . 25 1.2.7 Type 6 . . . 31 1.2.8 Type 7 . . . 34 1.2.9 Type 8 . . . 38
1.2.10 Puissances des automorphismes précédents . . . 41
1.2.11 Vérification des calculs . . . 42
D
ans ce chapitre, nous donnons la définition des variétés de Kum-mer généralisées. Des rappels sur les tores complexes nous aident à définir les automorphismes naturels sur les variétés de Kummer. Nous nous intéressons finalement plus particulièrement à certains de ces automorphismes, dont nous calculons les lieux fixes.1.1 Automorphismes naturels des variétés de Kummer
généralisées
1.1.1 Variétés de Kummer généralisées
Soit A un tore complexe de dimension 2 et n ≥ 2 un entier. On pose A(n) := An/S
n, où le groupe symétrique Sn agit par per-mutation des variables. A(n) n’est pas lisse, le lieu de ses
singula-rités est exactement la grande diagonale D formée des projections des n-uplets ayant au moins deux variables identiques. Une résolu-tion des singularités est donnée par le morphisme de Douady-Barlet (Hilbert-Chow dans le cas algébrique) ρ : A[n] → A(n), où A[n] est
l’espace de Douady (schéma de Hilbert dans le cas algébrique) qui pa-ramètre les sous-espaces analytiques de A de dimension 0 et de longueur n. On obtient également A[n] en éclatant An suivant la diagonale D. On note E :=ρ−1(D) le diviseur exceptionnel de A[n].
On définit l’application s : A(n) → A qui somme les termes, puis
S = s◦ρ : A[n] → A. Finalement, on note A[[n]] := S−1(0), c’est la variété de Kummer d’indice n associée à A. Si l’image d’un point de A[[n]]par ρ est le n-uplet(x1, . . . , xn), on dit alors que{x1, . . . , xn}est le support de ce point. Si tous les xisont distincts, on confondra sou-vent un point et son support. On dira qu’un point du support est simples’il n’apparaît qu’une fois dans le support, double s’il apparaît deux fois, triple pour trois fois...
Remarque 1.1 — On peut aussi voir A[[n]] comme une résolution des
singula-rités de s−1(0) ⊂ A(n) via la restriction du morphisme ρ. La
terminologie provient des surfaces de Kummer, ici appelées A[[2]], qui sont habituellement construites via la remarque pré-cédente (voir ci-dessous).
— Cette construction est généralisable en prenant des tores d’autres dimensions à la place de A. Si E est un tore com-plexe de dimension 1, on notera encore E[[n]] la variété issue
de la même construction.
Définition 1.2 Soit A un tore complexe de dimension 2, la surface de Kummer A[[2]] as-sociée à A est l’éclatement de A/h−idi en ses16 points singuliers. C’est une résolution des singularités de A/h−idi.
Les variétés de Kummer généralisées constituent une famille d’exemples en toute dimension paire plus grande que 4 de va-riétés symplectiques holomorphes (appelées parfois symplectiques holomorphes irréductibles, ou encore variétés Hyperkähleriennes selon le point de vue adopté). Ces objets, qui généralisent les sur-faces K3, ont été introduits par Beauville dans [Bea83b], où il donne l’exemple des variétés de Kummer généralisées, ainsi que celui des schémas de Hilbert de points sur les surfaces K3. À ce jour, en de-hors des deux familles d’exemples ci-dessus, deux exemples
sup-plémentaires ont été trouvés par O’Grady en dimensions 10 [O’G99] et 6 [O’G03]. Ce sont les seuls variétés symplectiques holomorphes que l’on connaisse à déformation près.
1.1.2 Structure des automorphismes sur les tores complexes
Une méthode pour construire des automorphismes des variétés de Kummer généralisées est de partir d’un automorphisme de A, puis tenter de l’induire sur A[[n]]. Ceci n’est pas toujours possible
et nous allons identifier les automorphismes de A qui induisent bien un automorphisme de A[[n]]; on les appelle les automorphismes
naturelsde A[[n]]. Pour cela, nous allons commencer par des rappels sur les tores complexes et une étude de leurs automorphismes.
Définition 1.3 Un tore complexe de dimension d est A := Cd/Λ, où Λ est un réseau,
c’est-à-dire un sous-groupe de Cd engendré par une R-base de celui-ci. Ceci donne lieu à l’application quotient π: Cd → A qui n’est autre que le revêtement universel de A.
La propriété suivante permet de mieux comprendre les automor-phismes des tores complexes et de dégager la structure de Aut(A).
Une preuve est donnée dans [BL04, Proposition I.1.2.1] :
Propriété 1.4 Tout f ∈ Aut(A) se relève dans C en une application affine ef , dont la partie linéaire ρC(f) ∈ GL(Cd) est indépendante du relèvement et préserve le réseau Λ. De plus, f se décompose de manière unique en f = τf(0) ◦h, où h est un automorphisme de A compatible avec la structure de groupe de A (on dira que h ∈ Aut0(A)) et où la notation τx désigne la translation par l’élément x de A. Cette décomposition se traduit sur la structure du groupe des automorphismes parAut(A) ≃ A⋊Aut0(A).
Si f1, f2 ∈ Aut(A), avec fi = τfi(0)◦hi, alors la structure de pro-duit semi-direct de Aut(A) est donnée par f1◦ f2 = τ(f1+h1◦f2)(0)◦
(h1◦h2).
1.1.3 Automorphismes naturels
Soit A=C2/Λ un tore complexe de dimension 2. Si f ∈Aut(A), f induit toujours un automorphisme f[n]de A[n]. En dehors du divi-seur exceptionnel E, f[n] agit tout simplement sur chaque variable.
Pour les points de E, c’est-à-dire les points dont plusieurs des va-riables forment un point épais d’idéal I ⊂ C[X1, . . . , Xn] supporté en x par exemple (c’est à dire que x est multiple dans le support de ce point), alors l’image du point comportera un point épais d’idéal I◦ ef−1 supporté en f(x) (de même multiplicité que le point de départ), où ef est le relevé de f dans C2, et les polynômes de cet idéal sont les P◦ ef−1(X1, . . . , Xn), avec P ∈ I. La multiplicité d’un point dans son support donne la longueur de l’idéal I définissant le
point épais, c’est à dire long(I) = dimC(C[X, Y]/I). Par ailleurs, les points non épais du support sont tout simplement envoyés sur leur images par f .
En revanche, f[n] ne se restreint pas toujours bien en un
au-tomorphisme de A[[n]]. En fait, c’est le cas si et seulement si f[n]
laisse globalement invariant A[[n]] dans A[n], i.e. f[n](A[[n]]) ⊂ A[[n]] et (f[n])−1(A[[n]]) ⊂ A[[n]].
La première condition peut se traduire par ∀ξ ∈ A[n] tel que S(ξ) = 0, on a S(f[n](ξ)) = 0. On a vu que f = τa◦h où a = f(0). Soit donc ξ ∈ A[[n]], on note x1, . . . , xn ses variables (non nécessaire-ment distinctes), si bien que ∑
i
xi = 0. Soit a, x1, . . . , xn des relevés dans C2 de a, x 1, . . . , xn ∈ A. On a donc ∑ i xi ∈ Λ. f se relève dans C2 en τa◦ρC(f), et on a : S(f[n](ξ)) =
∑
i f(xi) =∑
i f ◦π(xi) =∑
i π◦τa◦ρC(f)(xi) =π(∑
i τa◦ρC(f)(xi)) Ceci vaut 0 si et seulement si ∑i τa ◦ρC(f)(xi) ∈ Λ. Or, ce terme vaut ∑ i (a+ρC(f)(xi)) = na+ρC(f)(∑ i xi) où ρC(f)(∑ i xi) ∈ Λ car ∑ i
xi ∈ Λ et ρC(f) stabilise le réseau Λ. Pour que S(f[n](ξ)) = 0, il
faut et il suffit que na ∈ Λ, ce qui revient à dire que a ∈ 1 nΛ, ou encore a ∈ Tn(A):= 1nΛ/Λ (ce sont les points de n-torsion).
De même, la condition (f[n])−1(A[[n]]) ⊂ A[[n]] se traduit par n f−1(0) = −nh−1◦ f(0) = −nh−1(a) = −π(ρC(f)−1(na)) = 0,
ou encore ρC(f)−1(na) ∈ Λ. Cette dernière condition étant vérifiée dès que a est un point de n-torsion, on a finalement :
f[[n]] := (f[n])|A[[n]] ∈Aut(A[[n]]) ⇐⇒a ∈ Tn(A)
Et donc, les automorphismes naturels sont induits par les automor-phismes f ∈ Tn(A) ⋊Aut0(A) de A.
1.1.4 Automorphismes d’ordre fini sur les tores complexes de dimen-sion 2
Tous les tores complexes n’ont pas le même groupe d’automor-phismes. Dans la décomposition en produit semi-direct Aut(A) ≃
A⋊Aut0(A), le premier terme (celui qui correspond aux transla-tions) varie clairement d’un tore à l’autre, mais cette différence dis-paraît si l’on ne s’intéresse qu’aux automorphismes qui induisent
des automorphismes de A[[n]]. En effet, le premier membre du
pro-duit devient alors Tn(A) ≃ (Z/nZ)4. Cependant le deuxième terme Aut0(A) du produit reste très dépendant du tore A choisi.
Exemple 1.5 Soit E un tore complexe de dimension 1, A = E×E est un tore complexe de dimension 2. Alors, Aut0(A) contient un sous-groupe
isomorphe à GL2(Aut0(E)), tandis que pour un tore générique A0, Aut0(A0) = {±id}.
Certains exemples que nous allons étudier sont construits en tant que quotients. Voici la forme typique de ces exemples.
Définition 1.6 Soient E et E′des courbes elliptiques, H un groupe abélien fini, u: H ֒→E
et u′ : H ֒→ E′ des injections de groupes, on définit le tore complexe de
dimension 2 suivant : E H E′ := E×E′/(u×u′)(H) (en pratique, nous préciserons toujours les injections u et u′ lors de l’utilisation de ces exemples). De plus, si g∈ Aut(E)et g′ ∈ Aut(E′)sont tels que u(H) et u′(H) sont respectivement invariants par g et g′, alors l’automorphisme
(g, g′)de E×E′ passe au quotient en un automorphisme de E H E′ que l’on notera encore (g, g′) (ou bien de la même manière que l’automor-phisme précédent, sous forme matricielle par exemple).
Dans la suite, nous nous intéresserons uniquement aux auto-morphismes d’ordre fini sur les tores complexes de dimension 2. Le lemme suivant donne les ordres possibles pour de tels automor-phismes.
Lemme 1.7 Soit A un tore complexe de dimension 2. Les ordres finis possibles des éléments deAut0(A)sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 et 12.
Démonstration. Soit A = C2/Λ et g ∈ Aut0(A) d’ordre fini d. Par la Propriété 1.4, g se relève en un élément de GL C2 qui pré-serve Λ, donc celui-ci induit un élément de GL(Λ) ≃ GL4(Z). Soit M ∈ GL4(Z) cet élément, puisque g est d’ordre d, la matrice M aussi. Elle est donc annulée par le polynôme Xd−1 qui est scindé à racines simples sur C, si bien que M est diagonalisable sur C, avec des racines d-èmes de l’unité pour valeurs propres et notam-ment au moins une racine primitive d-ème de l’unité, car M est d’ordre d. Ainsi, le polynôme caractéristique de M est de la forme
(X−1)k∏ Φdi(X)ki, où Φ
i est le i-ème polynôme cyclotomique, les di divisent tous d et d = PPCM(di). En passant aux degrés, on voit que k+∑kiϕ(di) = 4, où ϕ est l’indicatrice d’Euler. On véri-fie au cas par cas que les seuls ordres possibles d sont ceux listés ci-dessus.
Ces automorphismes ont été étudiés par Fujiki, qui en donne une classification dans [Fuj88]. Dans cet article, l’auteur donne une liste exhaustive des couples (A, G), où A est un tore com-plexe de dimension 2 et G est un sous-groupe fini de Aut0(A). Par la suite, nous allons étudier les automorphismes naturels non-symplectiques sur les A[[n]], dont l’action sur H2(A[[n]], Z)est d’ordre
premier (voir 2.2.2 pour la définition de ces notions et 3.3 pour la classification). Nous allons donner la liste des automorphismes sur les tores, qui induiront les automorphismes naturels auxquels nous allons nous intéresser. Il s’agit, excepté pour id qui est symplec-tique et a une action triviale sur H2(A, Z), des automorphismes non-symplectiques qui ont une action induite sur H2(A, Z)d’ordre premier (voir 2.2.1 pour la définition de ces notions). Nous ne don-nons ici que la partie linéaire de ces automorphismes ; pour obtenir tous les automorphismes de ce type, il faut compléter la liste par les puissances de ces parties linéaires et les compositions de celles-ci par−id et par les translations (ce sont les automorphismes agissant trivialement sur H2(A, Z)). L’ensemble des automorphismes non-symplectiques ayant une action d’ordre premier sur H2(A, Z) est donc constitué des τ◦ (±f), où τ est une translation par un point de n-torsion et f 6= id est un des automorphismes de la liste ci-dessous. C’est une liste partielle des automorphismes trouvés par Fujiki, où Ordre est l’ordre de l’automorphisme et A correspond aux tores sur lesquels on trouve un automorphisme de ce type :
Ordre A ρC(f) 2 quelconque id E×E′ 1 0 0 −1 (Type 1) E Z/2ZE′ 1 0 0 −1 (Type 2) E (Z/2Z)2 E′ 1 0 0 −1 (Type 3) 3 E×E6 1 0 0 ξ3 (Type 5) E Z/3ZE6 1 0 0 ξ3 (Type 6) E6×E6 ξ3 0 0 ξ3 (Type 7) 4 E4×E4 i 0 0 i (Type 4) 5 C2/h(1, 1),(ξ5, ξ25),(ξ25, ξ54),(ξ35, ξ5)i ξ5 0 0 ξ25 (Type 8)
Dans ce tableau, E et E′ désignent des courbes elliptiques
quel-conques, ξk := e2iπk et Ek désigne C/h1, ξki. Pour les types 2 et 3, u
et u′ sont arbitraires, tandis que pour le type 6, u est arbitraire mais
u′ est tel que u′(Z/3Z) = {0,13 +ξ3
1.2 Lieux fixes des automorphismes naturels sur A
[[3]] L’objectif de cette partie est de trouver les lieux fixes des au-tomorphismes naturels d’ordre fini donnés dans la section précé-dente, sur les variétés de Kummer d’indice 3. Pour chaque automor-phisme f de la table précédente, nous donnerons les lieux fixes des automorphismes naturels f[[3]], (τ◦ f)[[3]], (−f)[[3]] et (τ◦ (−f))[[3]],où les τ sont les translations par des points de 3-torsion. Finale-ment, la Section 1.2.10 traite des puissances de ces automorphismes. Avant de commencer ces calculs, faisons quelques remarques géné-rales sur les choses à venir :
Remarque 1.8 1. Le lieu fixe d’un automorphisme f d’ordre fini de A[[n]] est
tou-jours lisse. En effet, par oubli de structure, on regarde la variété complexe A[[n]]comme une variété différentielle réelle lisse et le
biholomorphisme f comme un difféomorphisme lisse ; il suf-fit alors de montrer que le lieu fixe de f est lisse en tant que variété différentielle. La différentielle de f en tout point peut être vue comme une matrice carrée réelle de taille 4n−4, en composant par des cartes locales à la source et au but. Comme f est d’ordre fini d, cette matrice est diagonalisable, avec des racines d-èmes de l’unité pour valeurs propres. Localement, les valeurs propres restent les mêmes par continuité de la dif-férentielle. Lorsque l’on fait ceci au voisinage d’un point fixe x de f , on obtient une application lisse entre deux ouverts de
R4n−4 de différentielle constante, elle est donc linéarisable et
le lieu fixe du linéarisé est un redressement local du lieu fixe de f au voisinage de x, ce qui achève la preuve. Sa dimension (réelle) est notamment donnée par la dimension de l’espace propre pour la valeur propre 1 de la matrice en question. 2. Les lieux fixes contiendront souvent des points épais doubles
et triples. Puisqu’on travaillera sur A[[3]], il faut également que
la somme des variables du support soit nulle. Ainsi, il sera intéressant de chercher les triplets de points fixes de f dans A ayant une somme nulle. En particulier, tous les points fixes épais triples de f[[3]]seront supportés en des points de 3-torsion
fixes par f .
3. Les supports des points fixes des automorphismes na-turels f[[n]] sont toujours constitués de points fixes de f
(éventuellement multiples), de sous-ensembles de la forme
{x, f(x), . . . , fd−1(x)}, où fd(x) = x (d n’est pas nécessaire-ment l’ordre de f , nous dirons dans ce cas que x est d’ordre d pour f), et de sous-ensembles similaires où x est remplacé par un point multiple. Pour une description plus détaillée des points fixes d’automorphismes naturels sur les schémas de Hilbert de points de surfaces, voir [Boi12]. Souvent, pour ces sous-ensembles de la forme {x, f(x), . . . , fd−1(x)} du support d’un point fixe, on peut faire varier x, ce qui donne un lieu
fixe dont on peut identifier la géométrie. Lorsque x tendra vers un point fixe x0 de f , ceci donnera lieu à un point épais où x0est multiple et dont on pourra calculer l’idéal.
4. Pour alléger les notations et simplifier les calculs, tous les idéaux associés à des points épais seront écrits centrés en 0 ∈ C2. Pour retrouver le véritable idéal, il suffirait
d’appli-quer une translation. Ces idéaux seront donc notés "à transla-tion près". Ainsi, lorsqu’on vérifiera si un point épais de sup-port fixe par f est fixe par f[[3]], on ne calculera pas I ◦ ef−1 mais plutôt I◦ρC(f)−1, car c’est bien ρC(f)qui donne l’action locale au voisinage d’un point à support fixe par f .
5. Les sections des calculs intitulées "Idéaux fixes" concernent les idéaux fixes possibles associés à des points multiples du sup-port d’un point fixe de f[[3]]. De manière générale, par [Bri77,
Corollaire I.2.2], un idéal associé à un point multiple de lon-gueurℓcontient toujours mℓ, où m est l’idéal maximal du point
support (en pratique 0 puisqu’on écrira tout à translation près, c’est-à-dire m = hX, Yi). On notera donc I =mℓ+ hP1, P2, . . .i. 6. Les idéaux associés à des points épais doubles ou triples sont
toujours, à translation près, de l’un de deux types suivants (une preuve est fournie dans [Bri77, Section IV.2]) :
Monomial : Ce sont ceux engendrés uniquement par des mo-nômes.
Curvilinéaire : Ce sont ceux qui proviennent de variables qui collapsent en suivant une courbe. En longueur 2, ils sont toujours de la forme I = m2+ hαX+βYi, tandis qu’en longueur ℓ ≥ 3 il s’écrivent I = mℓ + hY +α1X+ · · · + αℓ−1Xℓ−1iou bien de la même manière en inversant le rôle
de X et Y.
De plus, en longueur 2, les idéaux monomiaux sont également curvilinéaires. Attention cependant, pour les longueurs ℓ ≥4,
ce ne sont plus les seuls types d’idéaux que l’on peut rencon-trer. Par exemple, m3+mhαX+βYi est de longueur 4, mais d’aucun des deux types cités si α et β sont non nuls. De plus en plus de types d’idéaux différents apparaissent quand la lon-gueur augmente, ceci complique les calculs lorsque l’on s’in-téresse aux lieux fixes des automorphismes naturels de A[[n]]
pour n ≥4.
Nous allons calculer les points fixes en fonction de la partie li-néaire de l’automorphisme, en faisant varier la partie de transla-tion. Pour des translations différentes, les lieux fixes des automor-phismes sont à priori différents. Cependant, on trouve parfois des lieux fixes isomorphes ; le lemme suivant donne un critère le mon-trer.
Lemme 1.9 Soit A un tore complexe, f ∈Aut(A) et τλ la translation par un point de 3-torsion λ ∈ T3(A). On suppose qu’il existe µ ∈ T3(A) tel que (id−
f)(µ) = λ. AlorsFix(τλ◦ f)[[3]] = µ+Fixf[[3]]. En particulier, si
(id− f)|T3(A) est inversible, Fix(τλ◦ f)[[3]] ∼= Fixf[[3]] pour tout λ∈ T3(A).
Démonstration.
ξ ∈Fixf[[3]]⇐⇒ f[[3]](ξ) = ξ
⇐⇒ (τ◦ f)[[3]](µ+ξ) =λ+ f(µ) +ξ =µ+ξ ⇐⇒ µ+ξ ∈ Fix(τ◦ f)[[3]]
Voici un second lemme qui nous sera utile pour les calculs à venir :
Lemme 1.10 Soit f et g deux applications bijectives d’un ensemble vers lui-même, qui commutent, et avec f et g d’ordres finis et premiers entre eux. Alors, Fix(f ◦g) =Fix(f) ∩Fix(g).
Remarque 1.11 Ce dernier lemme est formulé de manière très générale. Il
s’ap-plique à la fois aux lieux fixes sur les tores, aux idéaux fixes, et aux lieux fixes sur les variétés de Kummer. Il pourrait servir, grâce aux calculs que nous allons effectuer, à trouver les lieux fixes de cer-taines compositions des automorphismes décrits ci-après. En parti-culier, nous seront parfois amenés à l’utiliser pour les compositions de nos automorphismes par−id.
1.2.1 L’identité
Le tore A = C2/Λ est ici quelconque. Le lieu fixe de id[[3]] est
A[[3]].
Lieux fixes des τ[[3]]
On pose τ := τλ, où λ est un point de 3-torsion de A. Si λ 6= 0, alors cet automorphisme est d’ordre 3 et il n’y a pas de point fixe dans A. Les seuls points fixes dans A[[3]] sont de la forme {z, τ(z), τ2(z)}, où z ∈ T3(A) est un point de 3-torsion. C’est l’en-semble des orbites dans T3(A) par l’action de τ, ce lieu est donc
constitué de 27 points isolés (il y a 34 points dans T3(A), donc trois fois moins d’orbites).
Lieu fixe de(−id)[[3]]
Points fixes de −id dans A : Un point z ∈ A est fixe par −id si et seulement si z = −z ↔ 2z = 0, donc z ∈ T2(A) et −id a 16 points fixes dans A.
Idéaux fixes : En longueur 2, un idéal (supporté en 0) s’écrit toujours I = m2 + hαX + βYi. Sur cet idéal, (−id)[[3]] agit par I ◦ρC(f)−1 = I◦ (−id) = m2+ h−αX−βYi = I. Donc, tous les idéaux de longueur 2 sont fixes.
En longueur 3, commençons par étudier les idéaux curvili-néaires, i.e. ceux de la forme I = m3+ hY+αX+βX2i (le cas ou les rôles de X et Y sont échangés se traite de manière similaire). Sur cet idéal, f[[3]] agit par I◦ (−id) = m3+ h−Y−αX+βX2i. Rai-sonnons par condition nécessaire, si I = I◦ (−id), alors I contient
la somme et la différence de Y+αX+βX2 et −Y−αX+βX2, i.e. m3+ hY+αX, βX2i ⊂ I. Or, si β était non nul, cet idéal serait de longueur 2, donc I serait de longueur inférieure, c’est impossible. Donc β =0. Réciproquement, si β=0, l’idéal I est bien fixe. En pre-nant en compte les cas où les rôles de X et Y ont été échangés, on obtient finalement que les idéaux curvilinéaires fixes de longueur 3 sont ceux de la forme I =m3+ hαX+βYi, où (α, β) 6= (0, 0). Les idéaux monomiaux de longueur 3 sont m3+ hXi, m3+ hYi et m3+ hX2, XY, Y2i = m2. Les deux premiers ont déjà été traités dans le cas curvilinéaire et le dernier est également fixe.
Points fixes de (−id)[[3]] : ∀z ∈ A tel que z 6= −z, {z,−z, 0} est
un point fixe de (−id)[[3]]. La fermeture de l’ensemble de ces
points est un lieu fixe qui contient des points épais doubles et triples. Les supports des points fixes doubles sont les {λ, λ, 0}
avec λ ∈ T2(A). Lorsque z tend vers un tel λ par z = λ+t(x, y) et t → 0, l’idéal de longueur 2 en question s’écrit (à translation près) It = hxY−yX,(Y−ty)(Y+ty),(X−tx)(X+tx)i qui tend, quand t tend vers 0, vers I =m2+ hxY−yXi (I contient clairement xY−yX, et contient m2 car il est de longueur 2). On retrouve tous les idéaux fixes de longueur 2 portés en les 15 points décrits précé-demment.
Les points fixes triples de la fermeture sont tous supportés par
{0, 0, 0}. Leurs idéaux sont, à translation près, les limites des idéaux de type It = hxY−yX, Y(Y−ty)(Y+ty), X(X−tx)(X+tx)iquand
t→0, ce qui donne comme avant I =m3+ hxY−yXi, soit tous les idéaux curvilinéaires fixes de longueur 3.
Dans le lieu fixe précédent, il n’y a pas le point épais triple supporté en {0, 0, 0}, d’idéal monomial m2. Cela fait donc un point fixe supplémentaire.
Les autres points fixes sont supportés en des combinaisons de 3 points fixes de −id de somme nulle. Le lieu fixe trouvé précé-demment contient déjà toutes les combinaisons où les 3 points ne sont pas distincts, qui sont aussi toutes celle qui contiennent 0. Les autres s’obtiennent en choisissant un triplet de point (sachant qu’il suffit de choisir les deux premiers points, le dernier étant
déter-miné par la condition de somme nulle), puis de quotienter par les permutations possibles de ces points. Ils sont donc au nombre de 35.
Géométrie du lieu fixe : Le lieu fixe obtenu par fermeture est iso-morphe à A[[2]], on reconnaît la construction par éclatement de
A/h−idi en les 16 singularités. Le diviseur exceptionnel est consti-tué des 16 copies de P1 de points épais ajoutés par l’opération de fermeture. Les autres points fixes de f[[3]] sont tous isolés.
Conclusion : Le lieu fixe de (−id)[[3]] est constitué d’une copie de A[[2]] et de 36 points isolés.
Lieux fixes des(τ◦ (−id))[[3]]
Appliquons le Lemme 1.9. On a id− (−id) = 2id et (2id)|T3(A)
est inversible (il est son propre inverse). Les hypothèses du Lemme 1.9 sont vérifiées pour toute translation τ, les(τ◦ (−id))[[3]]
ont donc des lieux fixes tous isomorphes à celui de (−id)[[3]], c’est-à-dire une copie de A[[2]] et 36 points isolés.
1.2.2 Type 1
Le tore est ici de la forme A = E×E′ où E = C/Λ et E′ = C/Λ′ sont deux courbes elliptiques, et l’automorphisme ρC(f) =
1 0 0 −1
.
Lieu fixe de f[[3]]
Points fixes de f : Un point z = (x, y) de A est fixe si et seulement
si : z= ef(z) mod Λ×Λ′ ⇐⇒(x, y) = (x,−y) mod Λ×Λ′ ⇐⇒ x ∈ Eest quelconque 2y=0 (mod Λ′) ⇐⇒ x ∈ Eest quelconque y∈ T2(E′) (4 possibilités) ⇐⇒(x, y) ∈ E×T2(E′)
Idéaux fixes : En longueur 2, I = m2+ hαX +βYi est fixe si et seulement si I = I◦ρC(f)−1 = m2+ hαX−βYi. C’est le cas si et seulement si α = 0 ou β = 0. Les idéaux fixes de longueur 2 sont
En longueur 3, le premier type d’idéal curvilinéaire est I =m3+ hX+αY+βY2i, qui est fixe si et seulement si I = I◦ρC(f)−1 =
m3+ hX−αY+βY2i. Ceci entraîne que X+βY2 ∈ I et αY ∈ I. Si jamais α 6= 0, on obtient que m ⊂ I, impossible. Donc α = 0 et
I =m3+ hX+βY2i(réciproquement, ces idéaux sont bien fixes). Le deuxième type d’idéal curvilinéaire est I = m3 + hY +αX + βX2i, qui est fixe si et seulement si I = I ◦ ρC(f)−1 = m3 + h−Y+αX+βX2i. Ceci entraîne que Y ∈ I et αX+βX2 ∈ I, donc α= β=0, sinon long(I) < 3. Ainsi, I =m3+ hYi.
Parmi les 3 idéaux monomiaux de longueur 3, m3+ hXi, m3+ hYi
sont fixes et ont déjà été traités précédemment, et m2 est également fixe.
Points fixes de f[[3]] : ∀x ∈ E et ∀y 6= −y ∈ E′, on pose z := (x, y)
et les points {z, f(z),−z − f(z)} = {(x, y),(x,−y),(−2x, 0)}
sont fixes par f[[3]]. La fermeture de l’ensemble de ces points
est un lieu fixe contenant des points épais doubles et triples. Lorsque (x, y) tend vers un élément (x0, y0) ∈ E× T2(E′) tel que x0 ∈/ T3(E) ou y0 6= 0, le point fixe tend vers un point fixe épais, où (x0, y0) est double et d’idéal s’écrivant comme la limite de I(x,y) = h(X −x),(Y −y)(Y +y)i quand (x, y) tend vers (x0, y0). Cette limite est (à translation près) m2+ hXi. Par ailleurs, lorsque (x, y) tend vers (x0, 0) avec x0 ∈ T3(E), le point fixe tend vers un point fixe épais triple supporté en (x0, 0) dont l’idéal est la limite I de I(x,y) = h(X− x)(X +2x),(X −
x)Y,(Y−y)(Y+y)(X +2x),(Y−y)(Y+y)Yi. En prenant les li-mites de ces polynômes, on trouve que I ⊃ m3, X2, XY. De plus,
(Y−y)(Y+y)(X+2x) −Y(X−x)Y = −y2X+xY2 ∈ I(x,y), donc I contient X+βY2 ou Y2 suivant les croissances comparées de x et y. Ainsi, I = m3+ hX+βY2i ou bien I = m2 (on peut remarquer au passage que m2 est la limite des idéaux m3+ hX+βY2i lorsque
|β| → +∞).
Par ailleurs, ∀x, x′ ∈ E et pour tout triplet (a, b, c) ∈ T
2(E′) de somme nulle tels que (x, a), (x′, b), (−x−x′, c) soient distincts,
{(x, a),(x′, b),(−x−x′, c)} est un point fixe de f[[3]]. La fermeture
de cet ensemble contient des points fixes épais doubles et triples. Lorsque deux des trois élément a, b, c sont égaux mais qu’ils ne le sont pas tous, alors le dernier élément vaut toujours 0, pour véri-fier la condition de somme nulle. Quitte à permuter les notations, on peut toujours supposer dans ce cas que c = 0 et a = b 6= 0 (il y a 3 possibilités pour les ensembles {a, b, c} de cette forme). Alors, lorsque x et x′ tendent tous deux vers x
0 ∈ E quelconque, ceci donne lieu à des points fixes épais doubles, dont l’idéal s’écrit (à translation près) comme la limite de I(x,x′) = hY,(X−x)(X−x′)i
lorsque (x, x′) tend vers(0, 0), qui vaut m2+ hYi.
tous 0, afin de vérifier la condition de somme nulle. Quand x et x′
tendent tous deux vers x0 ∈/ T3(E), le point fixe tend vers un point fixe épais double d’idéal m2+ hYi par le même raisonnement que ci-dessus. Lorsqu’en revanche, x0 ∈ T3(E), ceci donne lieu à des points fixes épais triples, dont l’idéal est (à translation près) la li-mite de I(x,x′) = hY,(X−x)(X−x′)(X+x+x′)iquand(x, x′)tend
vers(0, 0), qui vaut m3+ hYi.
Finalement, il n’y a qu’une possibilité pour un ensemble {a, b, c}
avec a, b et c distincts, et le lieu fixe qu’il produit ne donne lieu à aucun point épais.
Géométrie du lieu fixe : Le premier lieu fixe est obtenu par ferme-ture des points de la forme {z, f(z),−z− f(z)}. Il est isomorphe
à un éclatement de E× (E′/{±id}) en les 9 points de T3(E) (les points fixes épais triples décrivant P1). Or, E′/{±id}est lisse et
iso-morphe à P1. Ce lieu fixe est donc isomorphe à E×P1 éclaté en 9 points. Le lieu fixe obtenu par la deuxième fermeture est isomorphe à 3 copies de E(2) (les cas où deux des a, b, c sont égaux), une copie
de E[[3]] (lorsque a = b = c) et une copie de E×E (lorsqu’ils sont
distinct). Les points fixes épais trouvés ci-dessus décrivent tous les idéaux fixes, il n’y a donc pas de point fixe isolé supplémentaire.
Remarque 1.12 Dans [She15], l’auteur prouve une formule qui donne notamment
les caractéristique d’Euler des A[[n]] pour tout n, où A est un tore
complexe de dimension quelconque. Dans le cas d’une courbe el-liptique E, celle-ci s’écrit :
exp
∑
n≥1 χE[[n]] n2 t n =∑
k≥0 tk. On calcule donc :∑
n≥1 χE[[n]] n2 t n =ln∑
k≥0 tk ! =ln 1 1−t =∑
n≥1 1 nt nOn obtient ainsi χE[[n]] = n pour tout n, et en particulier χE[[3]]=3.
Conclusion : Le lieu fixe de f[[3]]est constitué d’une copie de E×P1 éclatée en 9 points, de 3 copies de E(2), d’une copie de E[[3]]et d’une
Lieux fixes des (τ◦ f)[[3]]
Soit(λ, λ′)un point de 3-torsion de E×E′, on pose τ =τ(λ,λ′) et
on considère l’automorphisme τ◦ f de A. On applique le lemme 1.9 pour trouver des cas où les lieux fixes sont isomorphes :
(id− f).T3(E×E′) = 0 0 0 2 .T3(E) ×T3(E′) = {0} ×T3(E′) Pour (λ1, λ′1),(λ2, λ′2) ∈ T3(E) × T3(E′), on a τ(λ2,λ′2) ◦ f = τ(λ2−λ1,λ′ 2−λ′1) ◦ τ(λ1,λ′1) ◦ f, donc dès que λ1 = λ2, on a (λ2 −λ1, λ′2−λ′1) ∈ {0} ×T3(E′). Le Lemme 1.9 s’applique et on trouve alors que Fix(τ(λ1,λ′
1)◦ f)
[[3]] ∼= Fix(τ
(λ2,λ′2)◦ f)
[[3]].
Pour tout (λ, λ′), on se ramène donc à(λ, 0). Il suffit donc de faire
les calculs pour λ′ =0 et λ6=0 ; on se restreint maintenant à ce cas.
Ordres des τ◦f : ∀k, on a (τ◦ f)k = τk−1
∑
i=0 f
i(λ,0)◦ f
k. Si ceci vaut id,
alors 2|kcar c’est l’ordre de la partie linéaire. De plus,k∑−1 i=0 f
i(λ, 0) =
(kλ, 0) = (0, 0), d’où 3|ket donc 6|k. On vérifie alors que l’automor-phisme est d’ordre 6.
Points fixes des τ◦ f : z = (x, y) ∈ E×E′ est fixe par τ◦ f si et seulement si (λ+x,−y) = (x, y). Puisque nous étudions le cas λ6=0, il n’y a donc pas de point fixe.
Pour la suite, il sera aussi utile de trouver les points d’ordre 3 de τ◦ f. Un point z = (x, y) est un point d’ordre 3 de τ◦ f si et seulement si :
(τ◦ f)3(z) = z⇐⇒ (x,−y) = (x, y)
⇐⇒ 2y=0
⇐⇒ z∈ E×T2(E′)
Points fixes des (τ◦ f)[[3]] : Il n’y a pas de point fixe de la forme
{z,(τ◦ f)(z), z′} où z est un point d’ordre 2 de τ◦ f, car il faudrait que z′ soit fixe par τ◦ f. En revanche, on peut avoir des points fixes
du type {z,(τ◦ f)(z),(τ◦ f)2(z)}où z est d’ordre 3 pour τ◦ f. On doit donc avoir z = (x, y) ∈E×T2(E′), mais également la condition de somme nulle pour que le point soit dans A[[3]] :
z+ (τ◦ f)(z) + (τ◦ f)2(z) =0 ⇐⇒ (3x, y) = (0, 0) ⇐⇒z ∈ T3(E) × {0}
On trouve donc 9 possibilités pour z, mais seulement 3 orbites pour l’action de τ◦ f. Il y a donc 3 points fixes de (τ ◦ f)[[3]] de cette forme.
Conclusion : Si λ =0, le lieu fixe de (τ◦ f)[[3]] est constitué d’une
copie de E×P1éclatée en 9 points, de 3 copies de E(2), d’une copie
de E[[3]] et d’une copie de E×E. Si λ 6= 0, le lieu fixe de (τ◦ f)[[3]]
est constitué de 3 points isolés.
Lieu fixe de(−f)[[3]]
Composer f par −id donne
−1 0
0 1
sur E×E′. En permutant les rôles de E et E′, on obtient donc un lieu fixe difféomorphe à celui
de f[[3]] (pas isomorphe si E n’est pas isomorphe à E′).
Lieux fixes des(τ◦ (−f))[[3]]
De même, on trouve des lieux fixes difféomorphes à ceux des
(τ◦ f)[[3]].
1.2.3 Type 2
Le tore est ici de la forme A = E Z/2ZE′ = E×E
′
(u×u′)(Z/2Z) où
E =C/Λ et E′ =C/Λ′sont deux courbes elliptiques,(u×u′) 1 = λ0 = (x0, y0) ∈ T2(E) ×T2(E′) avec x0 6= 0 et y0 6= 0, et l’automor-phisme f est le passage au quotient de l’automorl’automor-phisme de partie linéaire
1 0 0 −1
, qui n’est autre que l’automorphisme de Type 1 de la section précédente.
Lieu fixe de f[[3]]
Points fixes de f : Pour les automorphismes de Type 1, le calcul des points fixes dans E×E′ donnait E ×T2(E′). Comme λ0 ∈ T2(E) ×T2(E′), le lieu fixe précédent passe au quotient en un lieu fixe de f dans E E′. Si f avait un autre point fixe z, son relèvement (x, y) dans E×E′ serait tel que (x, y) = (x+x0,−y+y0). Ceci est impossible car on aurait x0=0 et u ne serait plus injectif. Les points fixes de f sont donc les points de E×T2(E′)
hλ0i , et ce lieu est isomorphe
à 2 copies de E, les 4 copies de E dans E×T2(E′) étant identifiées deux à deux par le quotient.
Idéaux fixes : Puisque f est obtenu par passage au quotient des automorphismes de Type 1, son action locale est la même que celle des automorphismes de Type 1, et on trouve exactement les mêmes idéaux fixes que dans ce cas.
Points fixes de f[[3]] : ∀z ∈ A non fixe par f , {z, f(z),−z− f(z)}
est le support d’un point fixe de f[[3]]. Lorsque z tend vers un point
fixe de f , c’est-à-dire un élément de E×T2(E′)
hλ0i , ceci donne lieu à des
points épais doubles et triples. Le point est triple si et seulement si : z= f(z) z= −z− f(z) ⇐⇒ ( z∈ E×T2(E′) hλ0i 3z=0 ⇐⇒z ∈ T3(E) × {0} + hλ0i hλ0i (9 points) Pour calculer les idéaux des points épais doubles et triples, il suffit de le faire sur les relèvements de ces points, en fixant un relèvement de z dans E×E′, ce qui donne lieu aux mêmes calculs que pour les automorphismes de Type 1 (c’est le cas du premier lieu fixe). Les idéaux de longueur 2 obtenus sont tous m2+hXi et ceux de longueur 3 sont les m3 +X+βY2 et m2. On trouve donc, de manière similaire au Type 1, un lieu fixe isomorphe à A/hfi éclaté en 9 points. Dans ce cas, A/hfi n’est plus isomorphe à E×P1,
mais c’est toujours une surface de caractéristique d’Euler nulle. Les supports des autres points fixes sont constitués de 3 points fixes de f de somme nulle. Les points fixes de f sont les éléments de
E×T2(E′)
hλ0i ≃E×Z/2Z en tant que groupe. Ainsi, les supports de ces
points fixes sont en bijection avec les{(x, a),(x′, a),(−x−x′, 0)}, où a∈ Z/2Z. Comme ci-dessus, on se ramène à des relèvements pour
calculer les idéaux des points épais doubles et triples, en calquant le raisonnement du Type 1 (c’est le cas du second lieu fixe) ; il s’agit de m2+hYi en longueur 2 et m3+hYi en longueur 3. On obtient donc un lieu fixe isomorphe à une copie de E(2) et une copie de
E[[3]].
Conclusion : Le lieu fixe de f[[3]]est constitué d’une copie de A/hfi
éclatée en 9 points, d’une copie de E(2) et d’une copie de E[[3]].
Lieux fixes des (τ◦ f)[[3]]
On peut écrire A sous la forme C2.Λ×Λ′+Dfλ0E, où fλ0 est un relèvement de λ0 dans C2. Les points de 3-torsion de A sont donc des éléments de 13Λ×Λ′+Dfλ0E .Λ×Λ′+Dfλ0E. Bien qu’il y ait deux possibilités pour relever ces éléments dans E×E′, ils admettent tous un unique relèvement dans T3(E×E′)(si z ∈ T3(E× E′) est un tel relèvement, l’autre relèvement est λ0+zqui n’est pas de 3 torsion dans E×E′). Ainsi, nous écrirons toujours un point de 3-torsion de A sous la forme(λ, λ′), où(λ, λ′) ∈ T3(E) ×T3(E′). On fixe donc (λ, λ′) un point de 3-torsion de A et on pose τ := τ(λ,λ′).
Soit également(µ, µ′)un autre point de 3-torsion de A. On applique le lemme 1.9 : (id− f)(µ, µ′) = (0, 2µ′) ∈ {0} ×1 3Λ′ (Λ×Λ′+ hλf0i) Donc Fix(τ(λ 1,λ′1)◦ f) [[3]]∼=Fix(τ (λ2,λ′2) ◦ f) [[3]]dès que λ 1 =λ2. En particulier, il suffit de faire les calculs pour λ′ = 0 et λ 6= 0, on
se restreint donc à ce cas.
Ordres des τ◦ f : ∀k, on a (τ(λ,0) ◦ f)k = τ k−1 ∑ i=0f i(λ,0) ◦ f k. Si ceci vaut id, alors 2|k car c’est l’ordre de la partie linéaire. De plus, k−1
∑ i=0 f
i(λ, 0) = (kλ, 0), d’où 3|k et donc 6|k. On vérifie alors que l’ordre de τ◦ f est bien 6.
Points fixes des τ◦f : Un point z = (x, y) ∈ A est fixe par τ◦ f, où (x, y) ∈ E×E′, si et seulement si (λ+x,−y) = (x, y). Puisque nous étudions le cas où λ6=0, il n’y a donc pas de point fixe.
On cherche à nouveau les points d’ordre 3 de τ◦ f. Un point z= (x, y) ∈ A est d’ordre 3 pour τ◦ f, si et seulement si :
(τ◦ f)3(z) = z⇐⇒ (x,−y) = (x, y) ⇐⇒ (0, 2y) =0
⇐⇒ z ∈ E×T2(E ′) hλ0i
Points fixes des (τ◦ f)[[3]] : L’étude est très similaire à celle
ef-fectuée pour le Type 1. Les seuls points fixes de (τ ◦ f)[[3]] sont de la forme {z,(τ ◦ f)(z),(τ ◦ f)2(z)} où z est d’ordre 3 pour τ◦ f. On cherche donc les points z d’ordre 3 pour τ◦ f tels que z+ (τ ◦ f)(z) + (τ◦ f)2(z) = 0 ⇐⇒ (3x, y) = 0. Comme on sait également que (0, 2y) = 0, on trouve que (3x, 3y) = 0, donc que z est un point de 3-torsion de A. On choisit donc le relèvement
(x, y)dans T3(E) ×T3(E′). Maintenant, l’équation(0, 2y) =0 donne y = 0. On obtient finalement z ∈ 13Λ× {0} .Λ×Λ′+Dfλ0E, donc 9 points, mais seulement 3 orbites par l’action de τ◦ f. Ceci donne donc 3 points fixes de(τ◦ f)[[3]].
Conclusion : Si λ =0, le lieu fixe de (τ◦ f)[[3]] est constitué d’une copie de A/hfi éclatée en 9 points, d’une copie de E(2) et d’une
copie de E[[3]]. Si λ 6= 0, le lieu fixe de (τ◦ f)[[3]] est constitué de 3
Lieu fixe de(−f)[[3]]
L’automorphisme −id de E E′ est le passage au quotient de −id sur E×E′, donc −id◦ f est le passage au quotient sur E E′ de
−1 0
0 1
. Ainsi, comme pour les automorphismes de Type 1, il suffit d’échanger les rôles de E et E′ pour montrer que ce lieu fixe
est difféomorphe à celui de f[[3]].
Lieux fixes des (τ◦ (−f))[[3]]
De même, on obtient des lieux fixes difféomorphes à ceux des
(τ◦ f)[[3]].
1.2.4 Type 3
Le tore est ici de la forme A =E (Z/2Z)2 E′ = E×E ′
(u×u′)((Z/2Z)2) où
E=C/Λ et E′ =C/Λ′ sont deux courbes elliptiques, les injections
u et u′ sont quelconques, et l’automorphisme f est le passage au quotient de l’automorphisme de partie linéaire
1 0 0 −1
. Comme dans le cas précédent, notre automorphisme s’exprime comme un quotient de celui du Type 1, l’étude est donc très similaire à celle du Type 2. C’est pourquoi nous donnerons pour ce cas uniquement les lieux fixes, sans preuve détaillée.
Lieu fixe de f[[3]]
Le lieu fixe de f[[3]] est constitué d’une copie de A/hfi éclatée
en 9 points, et d’une copie de E[[3]].
Lieux fixes des (τ◦ f)[[3]]
En fonction de τ, on trouve comme lieu fixe soit une copie de A/hfi éclatée en 9 points et une copie de E[[3]], soit 3 points isolés.
À nouveau, A/hfiest une surface de caractéristique d’Euler nulle.
Lieu fixe de(−f)[[3]]
En échangeant les rôles de E et E′, on trouve un lieu fixe
difféo-morphe à celui de f[[3]].
Lieux fixes des (τ◦ (−f))[[3]]
En échangeant les rôles de E et E′, on trouve des lieux fixes
1.2.5 Type 4
Le tore est ici de la forme A = E4 ×E4 et ρC(f) =
i 0 0 i
. Rappelons que E4 =C/Λ, où Λ= h1, ii.
Lieu fixe de f[[3]]
Points fixes de f : Les points fixes par f sont aussi fixes par−id =
f2, donc ils sont dans(T2(E4))2(ce sont d’ailleurs les points d’ordre 2 de f ). De plus,(x, y)est fixe si et seulement si x et y sont fixes par multiplication par i, c’est-à-dire x= a+ib(avec a, b∈ 12Z) doit être
tel que a+ib = −b+ia (mod Λ) ⇐⇒ a = b = −b (mod Z). Les points fixes de f sont donc les(x, y) ∈ (∆4)2, où ∆4 := {a+ia|a ∈ Z/2Z} ⊂ T2(E4), soit 4 points isolés.
Idéaux fixes : En longueur 2, soit un idéal I = m2+ hαX+βYi. Alors on a toujours I ◦ ρC(f)−1 = m2 + h−αiX − βiYi =
m2+ hαX+βYi = I. Donc tous les idéaux de longueur 2 sont fixes.
En longueur 3, les idéaux curvilinéaires sont de la forme I =
m3+X+αY+βY2 (ou bien la même chose avec les rôles de X et Y échangés, mais les deux cas se traitent de manière si-milaire). Un tel idéal est fixe si et seulement si I ◦ ρC(f)−1 =
I ⇐⇒ m3+i(X+αY−βiY2) = m3+X+αY−βiY2 = m3+
X+αY+βY2 . On a donc βY2 ∈ I et X+αY ∈ I. On en dé-duit que β = 0, sinon long(I) ≤ 2. D’où I = m3+hX+αYi, ou bien I = m3 +hY+αXi dans le cas où les rôles de X et Y sont échangés. Finalement, on trouve que l’idéal est de la forme I =m3+hαX+βYi.
Les idéaux monomiaux m2, m3+hXiet m3+hYisont tous fixes, les deux derniers ayant déjà été traités dans le cas curvilinéaire.
Points fixes de f[[3]] : Si z est un point d’ordre 2 non fixe de f ,
c’est-à-dire z ∈ T2(A) \ (∆4)2, alors{z, f(z),−z− f(z)}est un point fixe de f[[3]]. De plus, on vérifie que f(z) = −z et donc le point s’écrit {z,−z, 0}. Il y en a 6 de cette forme.
Par ailleurs, si x, y et z sont des points fixes de f tels que x+y+
z =0, alors {x, y, z} est le support d’un point fixe de f[[3]]. Lorsque
x = y = z = 0, ceci donne 1 support pour des points fixes triples. Lorsque deux des points sont égaux et que le troisième est différent, ceci donne 3 supports pour des points fixes doubles. Lorsque les trois points sont distincts, ceci donne 1 point fixe.
Géométrie du lieu fixe : Sur le support triple de points fixes, on ob-tient une copie de P1(les m3+ hαX+βYi) et un point isolé (d’idéal m2). Pour chaque support double de points fixes, on obtient une copie de P1 (les m2+ hαX+βYi).
Conclusion : Le lieu fixe de f[[3]] est constitué de 4 copies de P1 et de 8 points isolés.
Lieux fixes des (τ◦ f)[[3]]
Pour appliquer le Lemme 1.9, on cherche un inverse à id− f sur T3(A). On calcule donc 2(id+ f) ◦ (id− f) =2(id+id) = 4id. Or, 4id|T3(A) = id|T3(A), donc 2(id+ f) est l’inverse de id− f sur
T3(A). Ainsi, le Lemme 1.9 montre que les lieux fixes des(τ◦ f)[[3]] sont tous isomorphes au lieu fixe de f[[3]].
Lieu fixe de(−f)[[3]]
On a (−f)[[3]] = f[[3]]−1, donc ces automorphismes ont le même lieu fixe.
Lieux fixes des (τ◦ (−f))[[3]]
Les inverses de ces automorphismes sont de la forme(τ′◦ f)[[3]],
donc les lieux fixes de ces automorphismes sont à nouveau iso-morphes au lieu fixe de f[[3]].
1.2.6 Type 5
Le tore est ici de la forme A = E×E6 et ρC(f) =
1 0 0 ξ3
. On rappelle que E=C/Λ et E6 =C/Λ6, où Λ= h1, ξ6i.
Lieu fixe de f[[3]]
Points fixes de f : Un point z= (x, y) ∈E×E6où y =a+ξ6bavec a, b ∈R/Z est fixe par f si et seulement si :
f(z) =z ⇐⇒(x, ξ3y) = (x, y) ⇐⇒ x∈ Eest quelconque (ξ3−1)(a+ξ6b) = −2a−b+ξ6(a−b) = 0 ⇐⇒ 2a+b =0 (mod 1) a=b (mod 1) ⇐⇒ a=b (mod 1) 3a =0 (mod 1) On note ∆6 := D 1 3(1+ξ6) E
/Λ6 ⊂ E6. Les points fixes de f sont donc les éléments de E×∆6, le lieu fixe de f est donc isomorphe à 3 copies de E.
Idéaux fixes : En longueur 2, un idéal I =m2+ hαX+βYi est fixe par f si et seulement si I = I◦ρC(f)−1 = m2+ hαX+βξ23Yi. Ceci implique que αX, βY ∈ I, donc α ou β vaut 0 pour respecter la longueur de I. D’où I =m2+ hXiou I =m2+ hYi.
En longueur 3, le premier type d’idéal curvilinéaire est de la forme I = m3 + hX+αY+ βY2i. Si I est fixe par f , alors en appliquant successivement f , on trouve que X +αY+ βY2, X + αξ23Y+βξ3Y2, X+αξ3Y+βξ23Y2 ∈ I. En sommant ces trois poly-nômes, on obtient X ∈ I. Ainsi, on a également αY +βY2 ∈ I, d’où α = β = 0 pour que I soit bien de longueur 3. On a donc
I = m3+ hXi. Le deuxième type d’idéal curvilinéaire est de la forme I = m3+ hY+αX+βX2i. Celui-ci est fixe si et seulement I = I◦ρC(f)−1 = m3+ hξ23Y+αX+βX2i, d’où Y ∈ I. Ainsi, on a également αX+βX2 ∈ I, ce qui donne α = β = 0 pour que I soit bien de longueur 3. On a donc I = m3+ hYi. Finalement, le seul idéal monomial que nous n’avons pas déjà traité est m2 et celui-ci est fixe par f .
Points fixes de f[[3]] : Pour tout (x, y) ∈ T
3(E) × (E6\∆6), le point
{(x, y),(x, ξ3y),(x, ξ32y)}est fixe par f[[3]]. En passant à la fermeture, quand y→y0 ∈ ∆6, ceci donne lieu à des points épais triples ayant pour idéal m3+ hXi.
Par ailleurs,∀x, x′ ∈ Etels que x, x′ et−x−x′ sont deux à deux
distincts, et ∀λ1, λ2, λ3 ∈ ∆6 tels que λ1+λ2+λ3 = 0, le point
