Lois gaussiennes inverses (généralisées), lois de Kummer et méthode de Stein

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Submitted on 28 Dec 2019

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Lois gaussiennes inverses (généralisées), lois de Kummer et méthode de Stein

Essomanda Konzou

To cite this version:

Essomanda Konzou. Lois gaussiennes inverses (généralisées), lois de Kummer et méthode de Stein.

Journée d’automne de l’Ecole Doctorale IAEM Lorraine - Annual PhD students conference IAEM Lorraine, APIL 2019, Dec 2019, Nancy, France. �hal-02424812�

Lois gaussiennes inverses (g´en´eralis´ees), lois de Kummer et m´ethode de Stein

Doctorant: Essomanda KONZOU

Directeur de th`ese: Efo´evi KOUDOU, MC, HDR

co-Directeur de th`ese: Prof. Kossi Essona GNEYOU

Universit´e de Lorraine / Universit´e de Lom´e Institut ´ Elie Cartan de Lorraine

R´esum´e

Nous apportons une contribution `a l’´etude des propri´et´es des lois gaussiennes inverses g´en´eralis´ees (GIG) et de Kummer ainsi qu’`a l’´etude de la vitesse de convergence dans des th´eor`emes limites impliquant ces lois par la m´ethode de Stein. Il s’agit de :

− contribuer `a la mise en place des outils math´ematiques n´ecessaires `a l’application de la m´ethode de Stein au cas o`u la loi cible est l’une des deux lois pr´ecit´ees,

− appliquer la m´ethode de Stein pour estimer une vitesse de convergence de ces deux lois vers la loi gamma.

Introduction

La m´ethode de Stein a ´et´e initialement introduite dans [4] pour estimer une vitesse de convergence dans le th´eor`eme central limite. C’est une technique utilis´ee en probabilit´es et en statistique pour :

1. caract´eriser la loi de probabilit´e d’une variable al´eatoire,

2. borner l’erreur dans l’approximation de la loi d’une variable al´eatoire par une loi cible.

Cette technique est bas´ee essentiellement sur la d´etermination d’un op´erateur dit de Stein, la r´esolution de l’´equation diff´erentielle correspondante et la majoration de la norme de la solution obtenue ainsi que celle de ses d´eriv´ees successives.

Stein [4] a ´etabli qu’une variable al´eatoire X suit la loi normale centr´ee r´eduite (X ∼ N (0, 1)) si et seulement si pour toute fonction absolument continue f telle que E

f

⁰

(Z )

< ∞ avec Z ∼ N (0, 1), E

f

⁰

(X ) − Xf (X )

= 0.

L’´equation diff´erentielle de Stein correspondante est

f

⁰

(x) − xf (x) = h(x) − E h(Z ). (1)

Par cons´equent pour toute fonction born´ee h et toute variable al´eatoire X ,

| E h(X ) − E h(Z )| ≤ E

f

_h⁰

(X ) − Xf

_h

(X ) avec f

_h

la solution de l’´equation (1).

Principaux objectifs

1. Mise en place des outils math´ematiques indispensables `a l’application de la m´ethode de Stein dans le cas o`u la loi cible est une GIG ou Kummer.

2. Sous certaines hypoth`eses sur leurs param`etres, les lois GIG et Kummer convergent vers la loi gamma.

Nous avons utilis´e la m´ethode de Stein pour estimer une vitesse de convergence de la loi GIG (resp. la loi de Kummer) vers la loi limite gamma.

Principales ´etapes de la m´ethode de Stein

Caract´erisation −→ Equation diff´erentielle ´ −→ Solution f de l’´equation diff´erentielle −→ bornes de f , f

⁽ⁿ⁾

↓

Majoration d’une distance probabiliste

R´esultats sur la mise en place des outils n´ecessaires `a l’application de la m´ethode de Stein aux lois GIG et Kummer (voir [1])

h est une fonction continue et born´ee.

I Cas de la loi GIG (p, a, b) de param`etres p ∈ R , a > 0, b > 0 de densit´e g

_p,a,b

. W ∼ GIG(p, a, b).

Caract´erisation E

h

X

²

f

⁰

(X ) +

b

2

+ (p + 1)X −

^a₂

X

²

f (X ) i

= 0 Equation diff´erentielle ´ x

²

f

⁰

(x) +

b

2

+ (p + 1)x −

^a₂

x

²

f (x) = h(x) − E h(W )

Solution f (x) = 1

x

²

g

_p,a,b

(x)

Z

_x

0

g

_p,a,b

(t) [h(t) − E h(W )] dt

= −1

x

²

g

_p,a,b

(x)

Z

_+∞

x

g

_p,a,b

(t) [h(t) − E h(W )] dt

Borne de la solution et celle kf k ≤ M ;

f

⁰

≤ M

⁰

;

f

⁰⁰

≤ M

⁰⁰

de sa d´eriv´ee premi`ere et seconde M , M

⁰

et M

⁰⁰

sont des constantes (voir [1])

| E h(X ) − E h(W )| ≤ E

h

X

²

f

⁰

(X ) +

b

2

+ (p + 1)X −

^a₂

X

²

f (X ) i

I Cas de la loi de Kummer K(a, b, c) de param`etres a > 0, b ∈ R , c > 0 de densit´e k

_a,b,c

. W ∼ K(a, b, c).

Caract´erisation E

X (X + 1)(f

⁰

(X ) + ((1 − b)X − cX (1 + X ) + a) f (X )

= 0 Equation diff´erentielle ´ x(x + 1)f

⁰

(x) + [(1 − b)x − cx(1 + x) + a] f (x) = h(x) − E h(W )

Solution f (x) = 1

x(1 + x)k

_a,b,c

(x)

Z

_x

0

k

_a,b,c

(t) [h(t) − E h(W )] dt

= −1

x(1 + x)k

_a,b,c

(x)

Z

_+∞

x

k

_a,b,c

(t) [h(t) − E h(W )] dt

Borne de la solution et celle kf k ≤ K ;

f

⁰

≤ K

⁰

;

f

⁰⁰

≤ K

⁰⁰

de sa d´eriv´ee premi`ere et seconde K , K

⁰

et K

⁰⁰

sont des constantes (voir [1])

| E h(X ) − E h(W )| ≤ E

X (X + 1)(f

⁰

(X ) + ((1 − b)X − cX (1 + X ) + a) f (X )

R´esultats sur la vitesse de convergence des lois GIG et Kummer vers la loi gamma (voir [2])

Dans le cas o`u la loi limite est la loi gamma γ (θ, λ), pour h continue et born´ee,

| E h(X ) − E h(Λ)| ≤ E

Xf

⁰

(X ) + (θ − λX ) f (X )

avec f la solution de l’´equation diff´erentielle de Stein de la loi gamma et Λ ∼ γ (θ, λ), voir [3].

I Convergence de la GIG vers la loi gamma

Pour p > 0 a > 0, n ∈ N

^∗

, soit (W

_n

)

_n≥1

une suite de variables al´eatoires telle que W

_n

∼ GIG

p, a, 1 n

pour chaque n ≥ 1. Alors la suite (W

_n

)

_n≥1

converge en loi vers une variable al´eatoire Λ telle que Λ ∼ γ p,

^a₂

. Notons C

_b³

la classe des fonctions born´ees h: R

⁺

→ R pour lesquelles les d´eriv´ees h

⁰

, h

⁰⁰

, h

⁽³⁾

existent et sont born´ees. On a

| E h(W

_n

) − E h(Λ)| ≤



 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1

n

^p

× C

₁

si 0 < p < 1 ln n

n × C

₂

si p = 1 1

n × C

₃

si p > 1 C

₁

, C

₂

et C

₃

sont des constantes.

Nous obtenons alors une vitesse de convergence de l’ordre n

⁻¹

pour tout p > 1; de l’ordre ln n

n pour p = 1 et de l’ordre n

^−p

pour 0 < p < 1.

I Convergence de la loi de Kummer vers la loi gamma

Pour a > 0, c > 0, soit (V

_n

) une suite de variables al´eatoires telle que V

_n

∼ K

a, −a +

_n¹

, c

pour chaque entier naturel n ≥ 1. Lorsque n → ∞, la suite de variables al´eatoires (V

_n

)

_n≥1

converge en loi vers une variable al´eatoire Λ de loi γ (a, c). De plus, pour h ∈ C

_b³

,

| E h(V

_n

) − E h(Λ)| ≤ 1

cn ||h

⁰

|| + F

c × 1 n

ψ(a, a −

_n¹

; c)

ψ(a, 1 + a −

_n¹

; c) + H

c

²

× 1 n

1 + 1 n

ψ(a, −1 + a −

_n¹

; c) ψ(a, 1 + a −

_n¹

; c) avec F et H des constantes, ψ est la fonction hyperg´eom´etrique confluente de deuxi`eme esp`ece.

ψ ´etant continue, nous obtenons une vitesse de convergence de l’ordre de n

⁻¹

.

Conclusion

Il est maintenant possible d’approcher la loi d’une variable al´eatoire X par la loi GIG ou la loi de Kummer par la m´ethode de Stein en d´eterminant un majorant ad´equat de :

? E

h

X

²

f

⁰

(X ) +

b

2

+ (p + 1)X −

^a₂

X

²

f (X ) i

pour la loi GIG,

? E

X (X + 1)(f

⁰

(X ) + ((1 − b)X − cX (1 + X ) + a) f (X )

pour la loi de Kummer.

Cette approche fait appel aux bornes de la solution de l’´equation diff´erentielle de Stein correspondante et (´eventuellement) celles de ses d´eriv´ees successives. Ces bornes n’´etaient pas ´etablies explicitement avant nos travaux.

Une estimation de la vitesse de convergence des lois GIG et Kummer vers la loi gamma a ´et´e obtenue par la m´ethode de Stein.

Travaux en cours

• La loi gaussienne inverse r´eciproque (loi GIG(1/2, a, b)) est la loi limite de la r´esistance ´equivalente d’un r´eseau arborescent;

• la loi GIG et la loi de Kummer sont des lois limites de fractions continues.

Tous les outils n´ecessaires `a l’application de la m´ethode de Stein `a ces deux derni`eres lois ´etant mis en place, nous nous proposons d’estimer la vitesse de convergence dans ces r´esultats limites via la m´ethode de Stein.

References

[1] K

ONZOU

, E. and K

OUDOU

A. E.. About the Stein equation for the generalized inverse gaussian and Kummer distribution. ESAIM: Probability and Statistics. Soumis.

[2] K

ONZOU

, E., K

OUDOU

, E. and G

NEYOU

, K. E.. Rate of convergence of Generalized Inverse Gaussian and Kummer distributions to gamma distribution via Stein approach. Statist. Prob. Lett. Soumis.

[3] L

UK

, H.-M. (1994). Stein’s method for the gamma distribution and related statistical applications. Ph.D.

thesis. University of Southern California. Los Angeles, USA.

[4] S

TEIN

, C. (1972). A bound for the error in the normal approximation to the distribution of a sum of

dependent random variables. In Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics

and Probability (Vol 2, pp. 586-602). Berkeley: University of California Press.