Lois de probabilité issues de gaussiennes réitérées

HAL Id: inria-00386745

https://hal.inria.fr/inria-00386745

Submitted on 22 May 2009

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de

Lois de probabilité issues de gaussiennes réitérées

Souad Elotmani, Armand Maul

To cite this version:

Souad Elotmani, Armand Maul. Lois de probabilité issues de gaussiennes réitérées. 41èmes Journées de Statistique, SFdS, Bordeaux, 2009, Bordeaux, France, France. �inria-00386745�

Lois de probabilit´ e issues de gaussiennes r´ eit´ er´ ees

Souad El Otmani & Armand Maul

Universit´e Paul Verlaine-Metz, LMAM, CNRS UMR 7122, Ile du Saulcy, METZ, F-57045, France

R´esum´e

Probability distributions arising from nested Gaussians. We consider a random sample X1, . . . , Xn of size n≥1 from an N(µ, σ²1) Gaussian law. Then, conditionnaly on eachXi, i= 1, . . . , n, we define a new random sampleXi,1, . . . , Xi,n

from theN(Xi, σ2²) normal distribution (N(Xi, σ2²) is notation introduced for conve- nience). Assuming that the so obtained n new random samples are conditionnaly independent, we get a second step randomly generated set of points. The ques- tion is to investigate the properties of this set. We give a theorem precising the limiting density obtained whenn approaches infinity, and we generalize this theo- rem by studying what occurs when repeating this process until, conditionnaly on each Xi1,i2,...,i_p

−1, i¹ = 1, . . . , n¹, i² = 1, . . . , n², . . . , ip−1 = 1, . . . , np−1, we get new random samples Xi1,i2,...,ip, ip = 1, . . . , np, from the N(Xi1,i2,...,ip−1, σ²_p) normal distribution.

On consid`ere un ´echantillon al´eatoireX1, . . . , Xnsuivant la loi normaleN(µ, σ<sup>2</sup>1), de taille n ≥ 1. Conditionnellement `a chaque Xi, i= 1, . . . , n, on d´efinit un nou- vel ´echantillon al´eatoireXi,1, . . . , Xi,n suivant la loi normaleN(Xi, σ2²) (N(Xi, σ2²) est une notation introduite par commodit´e). Sous l’hypoth`ese que les n nouveaux

´echantillons al´eatoires ainsi obtenus sont conditionnellement ind´ependants, on ob- tient un ensemble de points al´eatoires de seconde g´en´eration. La question est d’´etudier les propri´et´es de cet ensemble. On donne un th´eor`eme pr´ecisant la densit´e limite obtenue lorsquentend vers l’infini, et on g´en´eralise ce th´eor`eme en ´etudiant ce qui se produit lorsque que l’on r´ep`ete cette proc´edure jusqu’`a obtenir, conditionnelle- ment `a chaqueXi1,i2,...,ip−1, i1= 1, . . . , n1, i2 = 1, . . . , n2, . . . , ip−1= 1, . . . , np−1, de nouveaux ´echantillons al´eatoires Xi1,i2,...,ip, ip = 1, . . . , np suivant la loi normale N(Xi1,i2,...,i_p−1, σ_p²).

Mots cl´es : M´elanges gaussiens, lois limites, densit´es limites, loi normale.

1 Un r´ esultat pr´ eliminaire

Soient µ∈ R et σ¹ > 0, σ² > 0. On consid`ere un ´echantillon al´eatoire X<sup>1</sup>, . . . , Xn de taillen≥1 issu d’une loi gaussienneN(µ, σ1<sup>2</sup>). Conditionnellement `a chaqueXi, i= 1, . . . , n, d´efinissons un nouvel ´echantillon al´eatoireXi,1, . . . , Xi,nissu d’une loi gaussienneN(Xi, σ2²).

Si nous supposons que lesnnouveaux ´echantillons al´eatoires ainsi obtenus sont condition- nellement ind´ependants, nous obtenons un ensemble de n² points de seconde g´en´eration.

Nous prouvons le r´esultat suivant, relatif `a ce nouvel ensemble de points.

Theorem 1 Notons xi une r´ealisation de Xi, i = 1, . . . , n. L’ensemble g´en´er´e `a la seconde g´en´eration est, conditionnellement `a l’´echantillon initial, un m´elange Gaussien (Arora et Kannan (2001), Dasgupta (1999), Everitt et Hand (1981), McLachlan et Peel (2000)) dont la densit´e conditionnelle, X¹, . . . , Xn ´etant donn´es, est de la forme

hn(x) = 1 n

√ 1 2πσ²

n

X

i=1

e

−

(x−xi)² 2σ2² , et on a

nlim→∞

hn(x) = lim

n→∞

h1 n

√ 1 2πσ2

n

X

i=1

e

−

(x−xi)² 2σ²2

i = 1

p2π(σ1²+σ²2)e

−

(x−µ)² 2(σ²1+σ2²), qui est la densit´e au point x de la gaussienne de moyenne µet de variance σ1²+σ2².

Preuve du Th´eor`eme 1 Par souci de simplicit´e, nous prouvons ce r´esultat pour µ= 0 et σ¹ =σ² = 1. Pour des valeurs quelconques de µ, σ¹ et σ², la d´emonstration est identique avec des changements de variables ´evidents dans les int´egrales ci-dessous.

Ainsi, consid´erons des r´ealisations x¹, . . . , xn de X¹, . . . , Xn (X suit la gaussienne N(0,1)) et, pourxfix´e, d´efinissonsyi = 1

√2πe

−

(xi−x)²

2 . Alors, lesyisont des r´ealisations

de la variable al´eatoire ϕ(X), o`u ϕ(t) = 1

√2πe

−

(t−x)²

2 .

Posons yn = (y¹ +. . .+yn)/n. En vertu de la loi des grands nombres, on a lim

n→∞

yn = E(ϕ(X)).

Calculons E(ϕ(X)). on aE(ϕ(X)) = Z

R

ϕ(t)f(t)dt = 1 2π

Z

R

e−(t−x)²

2 e

−

t² 2dt.

Posant s=t− x

2, on obtient

nlim→∞

yn= 1 2π

Z

R

e

−

(s− ^x2)²

2 e

−

(s+ ^x₂)²

2 ds= 1 2π

Z

R

e

(−s²+sx−x²/4−s²−sx−x²/4)

2 ds,

= 1

2π Z

R

e−s²e^−x

2

4 ds= 1

2πe

−

x² 4

Z

R

e^−s2ds= 1

√2π

√2 2 e

−

x² 4 .

En cons´equence, nous venons de prouver que lorsque n tend vers ∞, l’ensemble g´en´er´e `a la seconde g´en´eration peut ˆetre consid´er´e comme constitu´e de r´ealisations d’une variable al´eatoire qui suit la distribution gaussienneN(0,2).

2 Un th´ eor` eme g´ en´ eral

Soient µ∈R et σ¹ >0, . . . , σp >0. Consid´erons un ´echantillon al´eatoire X¹, . . . , Xn1

de taillen¹ ≥1, et issu d’une distribution gaussienneN(µ, σ1²). Alors, conditionnellement

`a chaque Xi1, i¹ = 1, . . . , n¹, d´efinissons un nouvel ´echantillon al´eatoire Xi1,1, . . . , Xi1,n2

issu de la gaussienne N(Xi1, σ2²) (avec les mˆemes notations que pr´ec´edemment). Sup- posant que les n¹ nouveaux ´echantillons al´eatoires ainsi obtenus sont conditionnelle- ment ind´ependants, on obtient un ensemble de seconde g´en´eration, compos´e de n¹n² points g´en´er´e al´eatoirement. Nous r´ep´etons cette op´eration jusqu’`a ce que, conditionnel- lement `a chaque Xi1,i2,...,i_p

−1, i¹ = 1, . . . , n¹, i² = 1, . . . , n², . . . , ip−1 = 1, . . . , np−1, nous ayons d´efini un nouvel ´echantillon al´eatoire Xi1,i2,...,i_p, ip = 1, . . . , np, issu de la gaus- sienneN(Xi1,i2,...,ip−1, σp²). Supposant que lesn¹n². . . np−1nouveaux ´echantillons al´eatoires sont conditionnellement ind´ependants, nous obtenons un ensemble de pi`eme g´en´eration, constitu´e de n<sup>1</sup>n<sup>2</sup>. . . np points g´en´er´es al´eatoirement. Nous prouvons le r´esultat suivant, relatif `a cet ensemble de points.

Theorem 2Si xd´esigne une r´ealisation de X, l’ensemble g´en´er´e al´eatoirement apr`es l’´etape pest un m´elange gaussien de densit´e conditionnelle

hn1,n2,...,np−1(x) = 1 n¹n². . . np−1

√ 1 2πσnp

n1

X

i1=1 n2

X

i2=1

. . .

np−1

X

ip−1=1

e

−(x−xi1,i2,...,i_p−1)² 2σ²_p .

Faisons tendren¹, n², . . . , np−1 vers ∞. On a

n1,n2,...,nlimp−1→∞

hn1,n2,...,np−1(x) = 1 v u u t2π

p

X

i=1

σ²_i e

−(x−µ)² 2

p

X

i=1

σ_i² .

Preuve du th´eor`eme 2 L’expression de la densit´e conditionnelle est claire dans la mesure o`u l’ensemble de nombres de pi`eme g´en´eration est un m´elange gaussien. Aussi nous employons-nous `a prouver la seconde ´equation du th´eor`eme 2.

Si p= 3, la densit´e conditionnelle du m´elange gaussien est

hn1,n2(x) = 1 n¹n²

√ 1 2πσ³

n1

X

i=1 n2

X

j=1

e

−

(x−xi,j)² 2σ²3 .

Lorsque n¹ et n² tendent vers ∞, on a

n1,nlim2→∞

hn1,n2(x) = lim

n1→∞

1 n¹

n1

X

i=1

h

nlim2→∞

1 n²

√ 1 2πσ³

n2

X

j=1

e

−

(x−xi,j)² 2σ²3

i .

D’apr`es le th´eor`eme 1, cette ´equation s’´ecrit

n1,nlim2→∞

hn1,n2(x) = lim

n1→∞

1 n¹

n1

X

i=1

h 1

p2π(σ²2 +σ3²)e

−

(x−xi)² 2(σ2²+σ3²)i

= 1

p2π(σ1²+σ²2+σ3²)e

−

(x−µ)² 2(σ²1 +σ2²+σ²3) En cons´equence, pour tout p∈N, on a

n1,n2,...,nlimp−1→∞

hn1,n2,...,np−1(x) =

= lim

n1→∞

1 n¹

n1

X

i1=1

h lim

n2→∞

1 n²

n2

X

i2=1

h. . . 1 np−2

n_p−2

X

i_p−2=1

h lim

n_p−1→∞

1 np−1

√ 1 2πσp

n_p−1

X

i_p−1=1

e

−

(x−xi1,i2,...,ip−1)² 2σ_p² i

= lim

n1→∞

1 n¹

n1

X

i1=1

h lim

n2→∞

1 n²

n2

X

i2=1

h. . . 1 np−2

np−2

X

ip−2=1

h 1

q2π(σ_p²−1+σ_p²) e

−(x−xi1,i2,...,i_p−2)² 2(σ²_p−1+σ²_p) i

= lim

n1→∞

1 n1

n1

X

i1=1

h lim

n2→∞

1 n2

n2

X

i2=1

h. . . 1 np−3

n_p

−3

X

i_p

−3=1

h 1

q2π(σ_p²−2+σ_p²−1+σ_p²) e

− (x−xi1,i2,...,ip−3)² 2(σ_p²−2+σ_p²−1+σ_p²)i

= . . .

= 1

v u u t2π

p

X

i=1

σ_i² e

−(x−µ)² 2

p

X

i=1

σ²_i .

Remarque Faisons tendre p vers ∞.

– Si lesσisont tels que

∞

X

i=1

σ_i² =β <∞,alors la densit´e est h(x) = 1

√2πβe−(x−µ)² 2β , c’est-`a-dire la densit´e au point x d’une gaussienne de moyenne µet de variance β.

– Si les σisont tels que

∞

X

i=1

σ²_i =∞, alors l’expression limite de h(x)est nulle.

3 Conclusion

Cette ´etude a ´et´e fortement motiv´ee par des observations pratiques. Dans le domaine de la botanique, nous nous sommes int´eress´es au mode de reproduction du chlorophytum (ou plante araign´ee), une plante qui se d´eveloppe dans les forˆets naturelles indiennes, de l’est de l’Assam au Gujarat. Elle produit de nouvelles petites plantes situ´ees au bout de longues tiges arc´ees, dont la localisation peut ˆetre vue comme ob´eissant `a une loi gaussienne (la plupart des plantelettes se disposent au voisinage imm´ediat de la plante d’origine). En parvenant `a maturit´e, chaque plantelette produit `a son tour de nombreuses nouvelles plantelettes, dont la distribution est conforme `a notre mod`ele. Dans le domaine militaire, nous avons ´etudi´e les impacts des bombes `a fragmentations. En explosant, ces bombes

´ejectent de multiples petites bombes, dites bombelettes. La distribution des impacts des bombelettes autour du point d’explosion de la bombe originale peut ˆetre vue comme une gaussienne. En frappant le sol, chaque bombelette explose `a son point d’impact, ´ejectants des ´eclats qui se r´epandent `a leur tour sur le sol environnant suivant une distribution gaussienne. Comme on le voit sur ces exemples, notre ´etude peut donc ˆetre utilis´ee pour mod´eliser certains ph´enom`enes naturels ou artificiels.

Bibliographie

[1] S. Arora, R. Kannan (2001) Learning Mixtures of Arbitrary Gaussians, Symposium on Theory of Computing (STOC).

[2] S. Dasgupta (1999) Learning Mixtures of Gaussians, Proc. of Symposium on Founda- tions of Computer Science (FOCS).

[3] S. El Otmani, A. Maul (2009) Probability distributions arising from nested Gaussians, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347.

[4] B. S. Everitt, D. J. Hand (1981) Finite Mixture Distributions, Chapman and Hall, New York.

[5] R. J. Herrnstein, C. Murray (1994) The Bell Curve : Intelligence and Class Structure in American Life, Free Press. ISBN 0-02-914673-9.

[6] G. J. McLachlan, D. Peel (2000) Finite Mixture Models, Wiley, New York.

[7] J. K. Patel, C. B. Read (1982) Handbook of the Normal Distribution, New York : Dekker.

[8] M. R. Sheldon (2003) Introduction to Probability Models, 8th ed., Academic Press, San Diego.