Universit´e PIERRE ET MARIE CURIE 2010-2011
L2 Math´ematiques Module LM220
Examen Janvier 2001 Dur´ee 2 heures
Les documents, calculatrices et t´el´ephones portables sont interdits.
Toutes les r´eponses devront ˆetre soigneusement justifi´ees.
Vous devez choisir un exercice parmi les exercices 5 et 6.
Exercice 1. Trouver n ∈Z avec 0 ≤n < 69 et
1411000 ≡n mod. 69.
Exercice 2. D´eterminer tous les polynˆomes P ∈ (Z/3Z)[X] irr´eductibles de degr´e 2. Faire la d´ecomposition en facteurs irr´eductibles du polynˆome Q ∈ (Z/3Z)[X], Q = X6+X4+X3+X2+X. L’anneau (Z/3Z)[X]/(Q) est-il un corps?
Exercice 3. La place de la Bastille est le terminus des bus A, B et C. Le bus A part toutes les 5 minutes et il est parti il y a 2 minutes. Le bus B part toutes les 7 minutes et est parti il y a quatre minutes. Le bus C part toutes les 6 minutes et partira dans 1 minute. Quand est-ce que ce sera la prochaine fois que les trois bus partirons ensemble?
Exercice 4 (Question suppl´ementaire pour les plus curieux `a ne pas traiter en priorit´e). Soit p un nombre premier impair.
1. Montrer que 1 +p+· · ·+pp−1 admet un facteur premier q impair non congru `a 1 modulo p2.
2. Montrer que pour tout entier n, q ne divise pas np−p.
Exercice 5 (Entiers de Gauss). On note i ∈ C tel que i2 = −1. On consid`ere l’ensembleZ[√
2i] ={a+b√
2i:a, b∈Z}.
1. Montrer que Z[√
2i] est un anneau commutatif int`egre.
2. Pour tout nombre complexe α = x+yi, on consid`ere sa norme, N(α) = x2 +y2. Montrer que si α, β ∈ C sont des nombres complexes, alors N(αβ) = N(α)N(β).
Montrer que, siα =a+b√
2i, avec a, b∈Z, alors N(α) =a2 + 2b2. 3. Soient α, β ∈Z[√
2i], avec β 6= 0. Montrer qu’il existe γ, ρ∈Z[√
2i] tels que α=βγ+ρ, et N(ρ)< N(β).
4. Montrer que tout id´eal deZ[√
2i] est principal.
Exercice 6 (Codes correcteurs). On consid`ere un code C ⊂ F72 dont la matrice H de contrˆole est la suivante :
H =
1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1
1. Montrer que les colonnes de H sont tous les ´el´ements non nuls de (F2)3. Calculer la dimensionk deC.
2. Calculer la distance minimaleddeCet sa capacit´e de correctiont. Le codeC est-il MDS ?
3. Calculer une matrice g´en´eratrice de C.
4. Soit x∈C,B(x, t)⊂(F2)7 la boule de centre x et de rayon t. Montrer que a)B(x, t)∩B(x0, t) =∅ pour x∈C, x0 ∈C, x6=x0.
b)∪x∈CB(x, t) = (F2)7
(on dit alors que C est parfait).