Partie A – G´ en´ eralit´ es

DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Ce devoir est constitu´e d’un probl`eme de cinq parties. Par convention, 0⁰= 1.

Probl` eme – Endomorphismes v´ erifiant u

= ku

SoitE un espace vectoriel r´eel non r´eduit `a son vecteur nul.

On appellehomoth´etie (deE)un multiple par un r´eel de IdE. Pour tout r´eelλ,λIdEest appel´ee homoth´etie de rapportλ.

Si f etg sont deux endomorphismes deE, on note=f (ou=(f)) l’espace image def, Kerf (ou Ker(f)) le noyau def,f g=f◦g, e= IdE (identit´e).

Pour tout entier natureln, on d´efinitfⁿ par r´ecurrence en posantf⁰=eet

∀n∈N^∗, fⁿ=f◦fⁿ⁻¹

Ainsi,f¹=f etf²=f◦f.

Soitkun r´eel donn´e. On noteA_k l’ensemble des endomorphismesudeEtels que u²=ku.

Le symbole 0 d´esignera selon le contexte le r´eel nul, le vecteur nul deE, ou l’application nulle de E dans lui-mˆeme (i.e.le vecteur nul deL(E)).

Partie A – G´ en´ eralit´ es

A.1Soitf une homoth´etie deE.

a Montrer qu’il existe un unique r´eel λtel que f soit de rapportλ.

bMontrer quef est inversible (i.e.bijective) si et seulement si son rapport est non nul.

A.2Soitu∈Ak.

a upeut-il ˆetre inversible ? Qu’est-ce queudans ce cas ? bD´eterminer u(x) pour x∈ =u.

c Montrer que sik 6= 0, =uet Kerusont des sous-espaces suppl´ementaires dansE. Que dire de =uet Kerusik= 0 ?

Partie B – ´ El´ ements de A

commutant

Soientuetv deux endomorphismes deE appartenant `a Ak.On suppose dans cette partie que k6= 0.

B.1Montrer queuv+vu= 0 impliqueuv=vu= 0.

Indication : composer.

B.2

a Montrer queu+v∈Ak si et seulement siuv=vu= 0.

On se place dans le cas o`uu+v∈Ak. bMontrer que :=(u+v) ==u+=v.

cMontrer que : Ker(u+v) = Keru∩Kerv.

B.3Montrer que siuv=vu, alorsuvappartient `a un ensembleAk⁰ (pour un r´eelk⁰ que l’on d´eterminera), et que dans ce cas

=uv==u∩ =v et Keruv= Keru+ Kerv.

Partie C – Celle du milieu

Soitf un endomorphisme de E satisfaisant `a la relationf<sup>2</sup>−af+be= 0, o`uaet b sont des r´eels donn´es.

On suppose quef n’est pas une homoth´etie.

C.1Montrer quef etesont lin´eairement ind´ependants,i.e.siλetµsont deux r´eels tels queλf+µe= 0, alorsλ=µ= 0.

C.2Soit (λ, k)∈R². Montrer quef−λe∈A_k si et seulement si λ²−aλ+b= 0 et k=a−2λ.

C.3Quelle condition n´ecessaire et suffisante doivent satisfaireaetbpour qu’il existe deux constantes r´eelles distinctesλ₁ et λ₂, telles que les endomorphismesu=f −λ₁eet v=f−λ₂eappartiennent respectivement `a A_k1 etA_k2, pour certains r´eels k₁ etk₂?

C.4Montrer que dans ce cas, on auv=vu= 0.

C.5Montrer que, pour toutp∈N, on a :

f^p=λ^p₁−λ^p₂ λ1−λ2

f +λ2λ^p₁−λ1λ^p₂ λ2−λ1

e.

C.6A quelle condition n´` ecessaire et suffisantef est-il inversible ? Quel est alors son inverse ?

Partie D – Suites r´ ecurrentes lin´ eaires d’ordre 2

On consid`ere l’application ϕ de R^N dans lui-mˆeme, envoyant une suite r´eelle (u_n) sur la suite de terme g´en´eralvn =un+1.

D.1

a Montrer queϕest un endomorphisme deR^N. bϕest-il injectif ? surjectif ?

cSoit (p, m)∈N²,u= (u_n)∈R^N. Donner (ϕ^p(u))_m. D.2

Soita, b∈R. On introduit l’ensemble Ω des suites r´eelles (u_n) v´erifiant

∀n∈N, un+2=aun+1−bun.

a D´ecrire Ω comme noyau d’un endomorphismeψdeR^N, que l’on exprimera en fonction deϕ.

bMontrer que Ω est stable parϕ,i.e.ϕ(Ω)⊂Ω. On notef la restriction au d´epart et `a l’arriv´ee deϕ`a Ω.

cQue vautf²−af+be?

D.3La suite de Fibonacci est d´efinie par ses termes initiauxu0= 0,u1= 1, et la relation de r´ecurrence un+2=un+1+un,

pour tout entier natureln.

a Exprimer le terme g´en´eral un de la suite de Fibonacci en fonction den.

bDonner un ´equivalent simple de la suite de Fibonacci.

Partie E – Exemple fonctionnel

Ici,E est l’espace vectoriel des fonctions `a valeurs r´eelles, continues et admettant des d´eriv´ees `a tous ordres sur l’intervalle ]0,+∞[, etul’application deEdansEqui, `a toute fonctionf deE, associe la fonctiongd´efinie par

∀x∈]0,+∞[, g(x) =xf⁰(x)

E.1Montrer queuest un endomorphisme deE.

E.2On se donne un r´eelk. Montrer que l’ensembleF des vecteursg deE pour lesquels u²(g) =ku(g) est un sous-espace vectoriel deE.

E.3Montrer queF est l’ensemble des solutions surR^∗+ d’une ´equation diff´erentielleE_k, lin´eaire d’ordre 2 (`a coefficients non constants !), que l’on explicitera.

E.4R´esoudreEk surR^∗+.