Partie A – G´ en´ eralit´ es sur les fonctions lipschitziennes

DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Sur les fonctions lipschitziennes

NotonsF l’ensemble des fonctions deRdansR, etLsa partie constitu´ee des fonctions lipschitziennes deR dansR. On rappelle queϕ:R→Rest ditelipschitzienne s’il existe un r´eel positifKϕpour lequel

|ϕ(y)−ϕ(x)|6K_ϕ|y−x|, pour tous r´eels xety.

Pour all´eger la r´edaction des copies, on conviendra que pour tout ´el´ement ϕdeL,Kϕd´esignera un r´eel tel queϕsoit Kϕ-lipschitzienne.

On rappelle que pour tous r´eelsxety, on a la formule de trigonom´etrie suivante : sin(y)−sin(x) = 2 sin

y−x 2

cos

y+x 2

.

On rappelle ´egalement que pour tout r´eelx, on a|sin(x)|6|x|.

Partie A – G´ en´ eralit´ es sur les fonctions lipschitziennes

A.1Montrer queL n’est pas vide, et est stable par combinaison lin´eaire,i.e.:

∀f, g∈ L,∀λ, µ∈R, λf+µg∈ L A.2Montrer que la compos´ee de deux ´el´ements deLest un ´el´ement deL.

A.3f et g´etant deux fonctions born´ees deL, montrer que leur produitf g est aussi une fonction deL. En est-il de mˆeme sif et gne sont pas toutes les deux born´ees ?

A.4Soitf ∈ L. Montrer l’existence de deux r´eels positifsA etB tels que pour tout r´eelx, on ait :

|f(x)|6A|x|+B.

A.5Soitf ∈ F. On suppose qu’il existe un r´eel positifM tel que pour tous r´eelsxety v´erifiant|y−x|61, on ait|f(y)−f(x)|6M|y−x|. Montrer quef appartient `aL.

A.6 Soitf un ´el´ement de L, etα un r´eel. Montrer que l’application x7→ f(x+α) de R dans R, est un

´el´ement deL.

A.7Montrer que la fonction sinus est lipschitzienne. En d´eduire que la fonction cosinus est lipschitzienne.

A.8Montrer que toute application lipschitzienne est uniform´ement continue. Donner, en justifiant sa r´eponse, un exemple d’application uniform´ement continue surR, non lipschitzienne.

Partie B – Une ´ equation fonctionnelle dans L

On a pour but, dans cette partie, de rechercher les solutions lipschitziennes de l’´equation F(x)−λF(x+a) =f(x) (E),

o`uf est une fonction deLdonn´ee et o`uaetλsont deux r´eels non nuls donn´es (on ne traitera que quelques cas particuliers).

B.1SoitF ∈ F v´erifiantE. Montrer que pour tout r´eel x, et tout entier naturel non nuln, on a : F(x) =λⁿF(x+na) +

n−1

X

k=0

λ^kf(x+ka).

B.2On suppose ici|λ|<1.

a Montrer que l’´equationE admet au plus une solution dansL.

Indication : on pourra utiliser la question pr´ec´edente et A.4.

bTrouver l’ensemble des solutions deE appartenant `a L, lorsquef est constante de valeur 1.

cOn se place dans le cas o`uf est la fonction cosinus. Montrer que la fonctionG:R→R, d´efinie par G(x) = cos(x)−λcos(x−a)

1−2λcos(a) +λ² ,

pour tout r´eelx, est un ´el´ement deL, solution deE. En d´eduire l’ensemble des solutions deE appartenant `aL dans ce cas.

dD´eduire de la question pr´ec´edente l’ensemble des solutions deE dans le cas o`u f est la fonction sinus.

B.3On suppose iciλ= 1.

a Montrer que, pour qu’il existe une fonctionF ∈ L v´erifiantE, il faut quef soit born´ee.

bMontrer, en en explicitant une, qu’il existe des fonctionsF ∈ Lnon nulles v´erifiantF(x)−F(x+a) = 0, pour tout r´eel x.

cEn d´eduire que siE admet une solution dansL, elle en admet une infinit´e.

On se place pour finir dans le cas o`uf est la fonction cosinus.

dMontrer que si cos(a)6= 1,E admet (au moins) une solution dansL.

eMontrer que si cos(a) = 1, alorsE n’admet pas de solution dansL.