DM de MPSI2
Corrig´ e de devoir non surveill´ e
Sur les fonctions lipschitziennes
Partie A – G´ en´ eralit´ es sur les fonctions lipschitziennes
Pour tout ´el´ementϕdeL,Kϕd´esignera un r´eel tel queϕsoitKϕ-lipschitzienne.
A.1 La fonction identiquement nulle sur Rest 0-lipschitzienne, donc L n’est pas vide. Si f et g sont des
´el´ements deL, etλet µsont deux r´eels quelconques, alors, pour tous r´eels xet y, on a :
|(λf+µg)(y)−(λf+µg)(x)|6(|λ|Kf+|µ|Kg)|y−x|
Lest donc stable par combinaison lin´eaire.
A.2Si f etg sont deux ´el´ements deL, alors leur compos´eeg◦f, ´el´ement de F, est (KgKf)-lipschitzienne, et appartient donc `a L.
A.3Soitf etg deux fonctions born´ees deL. SoitMf etMgdeux r´eels tels que|f|6Mf et|g|6Mg. Pour tous r´eelsxety, on a :
|(f g)(y)−(f g)(x)|=|f(y)g(y)−f(x)g(x)|=|f(y)g(y)−f(y)g(x) +f(y)g(x)−f(x)g(x)|
6|f(y)g(y)−f(y)g(x)|+|f(y)g(x)−f(x)g(x)|=|f(y)||g(y)−g(x)|+|g(x)||f(y)−f(x)|
6(MfKg+MgKf)|y−x|
Le produitf g est donc un ´el´ement deL.
Sif etgne sont pas toutes les deux born´ees,f gn’est pas n´ecessairement un ´el´ement deL, comme le montre l’exemple o`u f =g = IdR (la fonction carr´e n’est pas lipschitzienne car la suite des taux d’accroissement de cette fonction entrenetn+ 1 (de terme g´en´eral 2n+ 1) n’est pas born´ee).
A.4Soitf ∈ L. On a en particulier, pour tout r´eelx,
|f(x)|=|f(x)−f(0) +f(0)|6|f(x)−f(0)|+|f(0)|6Kf|x|+|f(0)|.
Il existe donc deux r´eels positifsA etB (par exempleA=Kf et B=|f(0)|) tels que pour tout r´eel x, on ait :
|f(x)|6A|x|+B.
A.5Soitf ∈ F. On suppose qu’il existe un r´eel positifM tel que pour tous r´eelsxety v´erifiant|y−x|61, on ait|f(y)−f(x)|6M|y−x|. Soitxetydeux r´eels v´erifiantx+ 1< y. L’id´ee est d’intercaler les entiers entre xet y. Soit [[p, q]] l’ensemble des entiers strictement compris entrexety. On a
|f(y)−f(x)|=|f(y)−f(q)+
q−1
X
k=p
(f(k+1)−f(k))+f(p)−f(x)|6|f(y)−f(q)|+
q−1
X
k=p
|f(k+1)−f(k)|+|f(p)−f(x)|
6M(y−q+
q−1
X
k=p
((k+ 1)−(k)) +p−x) =M(y−x).
Par cons´equent,f est M-lipschitzienne, et appartient donc `aL.
A.6 L’applicationtα de translation parαest 1-lipschitzienne, donc la compos´eef ◦tα:x7→f(x+α), est un ´el´ement deL.
A.7D’apr`es les rappels, et comme cosinus est major´ee par 1 en valeur absolue, on a, pour tous r´eelsxet y,
|sin(y)−sin(x)|=
2 sin y−x
2
cos
y+x 2
62
y−x 2
=|y−x|.
La fonction sinus est donc 1-lipschitzienne.
De la relation cos(x) = sin x+π2
(valable pour tout r´eelx), et de la question pr´ec´edente, on d´eduit que la fonction cosinus est ´egalement 1-lipschitzienne.
A.8Voir le cours (la fonction x7→p
|x|, bien qu’uniform´ement continue surR, n’est pas lipschtizienne).
Partie B – Une ´ equation fonctionnelle dans L
B.1SoitF ∈ F v´erifiantE.
CommeF est solution deE, la formule annonc´ee est vraie pourn= 1.
De plus, si la formule est vraie au rangn∈N∗, alors, pour tout r´eelx, on a : F(x) =λn(F(x+na) +
n−1
X
k=0
λkf(x+ka) =λn(λF(x+na+a) +f(x+na)) +
n−1
X
k=0
λkf(x+ka)
=F(x+ (n+ 1)a) +
n
X
k=0
λkf(x+ka) La formule est donc v´erifi´ee au rangn+ 1.
On en d´eduit donc par r´ecurrence que pour tout r´eel x, et tout entier naturel non nuln, on a : F(x) =λnF(x+na) +
n−1
X
k=0
λkf(x+ka).
B.2On suppose ici|λ|<1.
a On suppose queF et Gsont deux solutions deE appartenant `aL. On sait d’apr`es A.4 qu’il existe des r´eels positifsA, B, C, Dtels que |F(x)|6A|x|+B et|G(x)|6C|x|+D, pour tout r´eelx. D’apr`es la question pr´ec´edente, on a, pour tout entier naturel non nuln, et tout r´eel x:
|F(x)−G(x)|=|λn(F(x+na)−G(x+na))|6|λ|n((|A|+|C|)|x+na|+|B|+|D|) Quandntend vers l’infini, le membre de droite tend vers 0 (car|λ|<1). On a doncF(x) =G(x).
E admet donc au plus une solution dans L.
bUne solution deE est la fonction constante de valeur 1−λ1 . Cette application est ´evidemment lipschit- zienne. D’apr`es la question pr´ec´edente, l’ensemble des solutions deE dansLest donc le singleton
x7→ 1 1−λ
.
cLa fonctionG(bien d´efinie car 1−2λcos(a) +λ2= (1−λeia)(1−λe−ia)6= 0) appartient `a L, en tant que combinaison lin´eaire de telles fonctions. De plus, pour tout r´eelx, on a
G(x)−λG(x+a) =cos(x)−λcos(x−a)−λcos(x+a) +λ2cos(x)
1−2λcos(a) +λ2 = cos(x).
G est donc une solution de E appartenant `a L : c’est l’unique telle fonction. L’ensemble des solutions de E appartenant `aL est donc ici le singleton{G}.
dDe l’´egalit´e sin(x) = cos x−π2
(valable pour tout r´eelx), et d’apr`es la forme de E, on d´eduit de la question pr´ec´edente que l’ensemble des solutions deEdans le cas o`uf est la fonction sinus est le singleton{H}, o`u, pour tout r´eelx,
H(x) = sin(x)−λsin(x−a) 1−2λcos(a) +λ2 B.3On suppose iciλ= 1.
a S’il existe une fonctionF ∈ Lv´erifiantE, alors
|f(x)|=|F(x)−F(x+a)|6KF|a|
pour tout r´eel x, etf est donc born´ee.
bF :x7→sin 2πxa
est non nulle, lipschitzienne (car compos´ee de telles fonctions) eta-p´eriodique, donc v´erifieF(x)−F(x+a) = 0, pour tout r´eel x.
cSiH est une solution deE dansL, alors toutes les fonctionsH+nF (o`uF est la fonction d´efinie `a la question pr´ec´edente), o`und´ecritN, sont distinctes deux `a deux, appartiennent `a L, et v´erifient E.
dL’id´ee est de faire tendre λvers 1 dans l’expression de Gen B.2.c. On v´erifie ensuite que la fonction obtenue
ψ:x7→ cos(x)−cos(x−a) 2(1−cos(a)) , est bien une solution deE dansL.
e Si cos(a) = 1, a est un multiple entier non nul de 2π : a = 2kπ, pour un certain entier non nul k.
Supposons queE admette une solutionF dansL. On a alors
F(x) =F(x+ 2knπ) +ncos(x)
pour tout r´eelxet tout entier naturel non nuln, d’apr`es B.1. Ceci donne en particulier (en prenantx= 0 puis x=π), pour tout entier natureln:
F((2kn+ 1)π)−F(2nkπ) = 2n+F(π)−F(0)
La suite des taux d’accroissement deF entre 2knπ et (2kn+ 1)π(n∈N∗) n’est donc pas born´ee :F ne peut ˆetre lipschitzienne.
