Fonctions lipschitziennes
Je ne connais pas de référence bibliographique pour ce développement. . .
Théorème. une fonction f : R→R est lipschitzienne si et seulement s’il existe une fonction g∈L∞ telle que pour tout x∈R,f(x) =f(0) +
Z x
0
g(x)dx.
Démonstration. La condition suffisante est claire.
On suppose doncf L−lipschitzienne et on considère la dérivéef0def au sens des distributions. Montrons quef0 se prolonge en une forme linéaireT surL1. On peut écrire que
hT, ϕ,=ilim
h→0
Z
R
f(x)ϕ(x+h)−ϕ(x)
h dx= lim
h→0
Z
R
ϕ(x)f(x−h)−f(x)
h dx
par convergence dominée, découpage de l’intégrale et changement de variables affines. De fait,| hT, ϕi |6 Lkϕk1 et T est une forme linéaire continue pour la norme 1. Comme D(R) est dense dansL1, on peut prolongerT à L1 tout entier, par une forme linéaire de même norme.
Remarquons alors queL2([−n, n]),→L1([−n, n]),→L1(R); on peut donc restreindreT à ce premier espace. Par théorème de représentation de Riesz, il existegn ∈L2 tel que ∀ϕ∈L2([−n, n]), hT, ϕi= Rn
−ngnϕ. Par unicité dans le théorème de Riesz et par l’injection continueL2([−n, n]),→L2([−n−n, n+
1]), gn+1 et gn coïncident sur [−n, n]. On peut alors définir une fonction g presque partout sur R en associant, àx∈[−n, n],gn(x).
Montrons alors que g ∈L∞.Si ce n’était pas le cas, alors l’ensemble A ={x | |g(x)| < L} serait de mesure non nulle. Comme A est limite croissante des An = A∩[−n, n], l’un serait de mesure non nulle. Soit uà valeurs dans {−1,1} telle que|g| = ug (elle est mesurable), posons ϕ = 1Anu. Alors, hT, ϕi=Rn
−n|g|> Lλ(An), c’est-à-dire que | hT, ϕi |> Lkϕk1, ce qui empêche Ld’être la norme deT. Ainsi,g∈L∞.
Enfin, posonsG(x) =Rx
0 g(t)dt.Commeg∈L1loc,Gest continue et pourϕ∈ D(R), on a
− Z
R
ϕ0(x)G(x)dx= Z 0
−∞
Z 0
x
ϕ0(x)g(t)dtdx− Z ∞
0
Z x
0
ϕ0(x)g(t)dtdx.
Par théorème de Fubini (il est clair que l’intégrale double est convergente puisque g est bornée), on obtient
− Z
R
ϕ0(x)G(x)dx= Z 0
−∞
Z t
−∞
g(t)ϕ0(x)dxdt− Z ∞
0
Z ∞
t
g(t)ϕ0(x)dxdt.
Ainsi, puisqueϕest à support compact, donc incluse dans unL2([−n, n], on obtient
− Z
R
ϕ0(x)G(x)dx= Z ∞
−∞
g(t)ϕ(t) =hT, ϕi.
C’est exactement dire que (f −G)0 = 0 au sens des distributions. Or, ceci implique que f −G=Cte. Commef etGsont continue, cette constante vautf(0)−G(0) =f(0),ce qu’il fallait montrer.
Remarque. La démonstration est ici faite dansD0(R). Néanmoins, elle fonctionne au sens des distri- butions tempérées, en utilisant la densité (au sens de la topologie deS) des fonction Cc∞. Remarquer pour cela qu’une fonction lipschitzienne, grâce à sa croissance lente, définit une distribution tempérée.
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