Sup PCSI2 — Contrˆole 2000/06
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie.
Qu’on se le dise.
Exercice 1 (concours ESC 2000 voie ´ eco)
◮On notef : x∈R7→ x x2+x+ 1. Q1 ´Etudiez rapidement les variations def.
◮On noteCfla courbe repr´esentative def dans un plan muni d’un rep`ere orthonorm´e (O,~ı, ~) etDla tangente enO `aCf.
Q2 D´eterminez une ´equation de D, et pr´ecisez la place deCf par rapport `a cette droite.
◮On s’int´eresse maintenant `a la suite (un)n∈Nd´efinie par son premier termeu0= 1 et la relation de r´ecurrence un+1=f(un) pour toutn∈N.
Q3 Justifiez la majoration un 6 1 n+ 1.
Q4 En d´eduire la convergence et la limite de la suite (un)n∈N.
◮Porn>1, on noteHn= X
16k6n
1 k. Q5 ´Etablissez la majoration 1
un
6n+ 1 +Hn.
Q6 En d´eduire un ´equivalentsimple deun lorsquentend vers l’infini.
Q7 Calculez F(x) = Z x
0
f(t)dt.
Q8 Donnez un ´equivalentsimple deF(x) lorsquextend vers +∞.
Exercice 2 : fonctions lipschitziennes
◮SoientI un intervalle deR,f une fonction deI dansRet k>0. Nous dirons quef estk-lipschitzienne sur I si|f(x)−f(y)|6k|x−y|quels que soientxety appartenant `aI. Pour abr´eger la r´edaction, nous dirons alors quek>0 est une constante deLipschitzacceptable pour f surI.
◮Nous dirons quef est lipschitzienne surIs’il existe k>0 tel quef soitk-lipschitzienne surI.
Questionnaire rapide
◮SoientI un intervalle deRetf une fonction deI dansR. Q1 Sif est lipschitzienne, alorsf est continue.
Q2 Sif est continue, alorsf est lipschitzienne.
Q3 Sif est lipschitzienne, alorsf est d´erivable.
Q4 Sif est d´erivable, alorsf est lipschitzienne.
Questions classiques
Q5 Prouvez que, si f est lipschitzienne surI, alors|f|l’est aussi.
Q6 Que pensez-vous de la r´eciproque ?
Q7 Prouver que la somme de deux fonctions f etg lipschitziennes surI est elle-mˆeme lipschitzienne surI.
Q8 En est-il de mˆeme pour le produit de deux fonctions lipschitziennes surI? Q9 Prouvez que, si Iest born´e, et sif est lipschitzienne surI, alorsf est born´ee.
Q10 En d´eduire que, siI est born´e, et sif et g sont deux fonctions lipschitziennes surI, alors leur produitf g est lui aussi une fonction lipschitzienne surI.
Q11 Soient I et J deux intervalles de R, f lipschitzienne surI, et g lipschitzienne sur J. Supposonsf(I)⊂J, ainsig◦f est d´efinie. Que pouvez-vous dire de cette compos´ee ?
Q12 NotonsJ = ]0, π] etϕ: x∈ J 7→sin³1 x
´. La fonction ϕest-elle lipschitzienne sur l’intervalleJ ? Q13 Soita >0. Montrez quef : x∈[a,+∞[7→√
xest lipschitzienne.
Q14 Montrez quef : x∈[0,+∞[7→√
xn’est pas lipschitzienne.
Q15 Soitf ∈ C¡
[a, b],R¢
. Supposons quef ne s’annule pas. Montrez qu’il existem >0 tel que¯
¯f(x)¯
¯>m pour toutx∈[a, b].
Q16 En d´eduire que, sif est lipschitzienne sur [a, b] et ne s’annule pas, alors 1f est ´egalement lipschitzienne sur [a, b].
Q17 Prouvez que, sif est lipschitzienne sur [a, b] et strictement positive, alors la fonction t ∈[a, b] 7→ p f(x), que nous noterons√
f, est ´egalement lipschitzienne sur [a, b].
Fonctions localement lipschitziennes
◮SoitIun intervalle deR, etf : I7→R. Nous dirons quef estlocalement lipschitzienne si, pour toutx∈I, il existe α >0 tel que la restriction de f `a I∩]x−α, x+α[ soit lipschitzienne. Vous noterez bien queα d´epend dex.
◮Il est clair que toute fonction lipschitzienne est localement lipschitzienne.
◮SoitI un intervalle ferm´e et born´e :I = [a, b] et f : I 7→ R. Nous allons prouver que, si f est localement lipschitzienne surI, alors f est lipschitzienne sur I. On noteE l’ensemble des ´el´ementsc de [a, b] tels que f soit lipschitzienne sur [a, c]
Q18 Prouvez queE est non vide et poss`ede une borne sup´erieure, que nous noteronsm.
Q19 Prouvez quem∈E, et quem=b. Concluez.
Q20 Donnez un exemple de couple (I, f) tel quef soit localement lipschitzienne sur I, sans ˆetre lipschitzienne surI.
Tournez S.V.P.
Exercice 3 (concours ESCP 2000, option scientifique)
◮NotonsI = [0,1[ etϕ: t∈ I 7→ 1
√1−t.
◮Quelques formalit´es d’usage. . .
Q1 Justifiez l’appartenance deϕ`aC∞(I,R).
Q2 Explicitez ϕ′(t), pourt∈ I. Q3 D´eterminez leDL2(0) deϕ.
Q4 Calculez J = Z 3/4
0
ϕ(t)dt.
◮Passons aux choses s´erieuses !
Q5 Soit n∈N. Justifiez l’existence de deux r´eelsan etbn tels queϕ(n)(t) =an(1−t)bn pour toutt∈ I. Q6 Donnez une expressionsimple debn.
Q7 Donnez une expressionsimple dean, faisant intervenir deux factorielles et une puissance de 4.
Q8 Soientn∈Net t∈ I. Justifiez l’´egalit´e : ϕ(x) = X
06k6n
³2k k
´
4k xk+ Z x
0
(x−t)n
n! ϕ(n+1)(t)dt Q9 Pourn∈N, ´etablissez la majoration
µ2n+ 2 n+ 1
¶
64n+1.
Q10 Soientxett deux r´eels v´erifiant 06t6x <1. ´Etablissez l’encadrement 06 x−t 1−t 6x.
Q11 Soitx∈ I. D´eterminez la limite, quandntend vers l’infini, de la suite de terme g´en´eral Sn(x) = X
06k6n
³2k
k
´
4k xk
[Contr^ole 2000/06] Compos´e le 10 juin 2008
