I. Approximation par des fonctions lipschitziennes

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X/ENS Maths PSI 2020 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Philippe Bouafia (professeur agrégé en école d’in- génieurs) ; il a été relu par Rémi Pellerin (ENS Lyon) et par Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à l’université).

Dans ce problème, on s’attaque à diverses questions portant sur la notion de régularité des fonctions.

• Dans la partie I, on étudie l’opérateur non linéaire de régularisation de fonctions Tε

∀x∈R^d (Tεh)(x) = inf

h(y) +ky−xk^α ε

y∈R^d

qui est bien défini pour des fonctionsh:R^d →Rminorées. On étudie quelques cas particuliers (questions 3, 4c, 4d) où les calculs aboutissent à une fonction Tεh « proche » de h. Lorsque α= 1, la fonction Tεh est en fait la plus grande fonction qui soit à la fois inférieure àhet 1/ε-lipschitzienne. La fin de la première partie est consacrée à la preuve d’un théorème d’approximation : sous certaines conditions, la suite de fonctions (T_1/nf)_n∈_N^∗ converge uniformément versf.

• La partie II est consacrée aux fonctions concaves définies surR^d, dont on prouve le caractère continu, et même localement lipschitzien (questions 15d et 15e).

Ce résultat n’a rien d’évident, puisque la concavité est une notion globale, tandis que la continuité est une notion locale. Comme le montre l’exemple de la fonctionx7→ −kxk, ces fonctions peuvent très bien ne pas être de classeC¹ surR^d. En revanche, on prouve à la fin de la partie que les fonctions qui sont en même temps concaves et convexes sont les fonctions affines.

• La partie III introduit une notion plus souple et plus générale de concavité, la K- semi-concavité, ainsi que la notion analogue de K-semi-convexité. On réutilise des résultats de la partie II pour établir que les fonctions à la fois K-semi- concaves et K-semi-convexes sont de classeC¹.

Les parties II et III peuvent être traitées indépendamment de la partie I. Comme assez souvent dans les sujets d’analyse, il ne faut pas avoir peur de la technicité.

Cette épreuve est un bon moyen de s’y préparer. À noter que les dernières questions sont d’un niveau plus exigeant.

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Indications

Partie I

3 En utilisant les notations de l’indication de l’énoncé, exprimer, à l’aide du théo- rème de Pythagore, la quantité kyk²+kx−yk²/ε en fonction de λet ky_⊥k², puis trouver les valeurs deλetky_⊥k qui la minimisent.

4c Étudier séparément les casε61 etε >1. On rappelle que

∀(x, y)∈(R^d)² |kxk − kyk|6kx−yk6kxk+kyk 4d Faire appel au résultat de la question 2.

5 Montrer les deux inégalités Tεh6|h|_∞et Tεh>−|h|_∞.

7 Justifier l’existence d’un minimum pour la fonction y 7→ f(y) +ky−xk^α/ε, définie sur A(x).

10 À x∈ R^d fixé, montrer que l’on a f(y) +ky−xk^α/ε > −ω_f(r_ε) +f(x) pour tout y∈A(x).

Partie II

15a Remarquer que les éléments de{−M,M}^d+1sont de la forme (Y,−M) ou (Y,M), avec Y∈ {−M,M}^d.

15d Poser le pointz=y+M(y−x) 2ky−xk.

16a Considérer la restriction de la fonction X7→ kY−Xk, définie sur C, à une partie fermée et bornée de C.

16b Remarquer que la distance de Y à tout point du segment reliant les points Y₀ et X est supérieure ou égale à la distance entre Y et Y₀.

17b Considérer le segment reliant les points X_εet (x_?, f(x_?) +ε).

17c Appliquer le résultat de la question 16b.

17d Appliquer l’inégalité de la question 17c à une valeur bien choisie dex.

19 Montrer que la suite (pn)_n∈N^∗ admet une sous-suite convergente, puis passer à la limite dans l’inégalité de la question 17c, appliquée à des valeurs de ε se rapprochant de 0, pour obtenir la majoration désirée.

20 Montrer qu’il s’agit des fonctions affines, c’est-à-dire de la formex7→a+hb|xi, avec (a, b)∈R×R^d.

Partie III

23a Décomposer la fonction y 7→ f(y)−Kky−xk² en la somme d’une fonction concave et d’une fonction affine.

23b Majorerkp_xk par une quantité indépendante dex. Pour cela, appliquer conve- nablement la question 22.

23c Pour des points xety fixés dansR^d, considérer l’ensemble dest∈[ 0 ; 1 ] pour lesquels|f(x+t(y−x))−f(x)|6K⁰t.

24a Appliquer le résultat de la question 22 àf et à−f.

24b Appliquer l’inégalité de la question 24a ày=x−t(px−qx), oùt >0.

24d Appliquer plusieurs fois l’inégalité de la question 24a à des valeurs de (x, y) judicieusement choisies.

24e Appliquer la question précédente à h=kx−yk ∇f(x)− ∇f(y)

k∇f(x)− ∇f(y)k (dans le cas où∇f(x)6=∇f(y)).

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I. Approximation par des fonctions lipschitziennes

1 Il faut donner un sens à la quantitéky−xk^αqui apparaît dans la définition de l’opérateur Tε. Lorsquex6=y, on rappelle qu’elle vaut exp(αlnky−xk).

Pour que cette quantité soit également définie dans le casx=y, prenons la décision d’introduire la convention suivante : 0^α = 0 pour toutα > 0. Avec ce choix, on remarque queky−xk^α>0 quels que soientx, y∈R^d etα >0, ce que l’on utilisera de manière implicite dans la suite.

Pour montrer que la fonction Tεhest bien définie, il suffit d’établir que, pour tout choix dex∈R^d, l’ensemble non vide

h(y) +1

εky−xk^α y∈R^d

est minoré. Cela provient de l’hypothèse selon laquelle la fonctionh est elle-même minorée. En effet, en notantmun de ses minorants, on vérifie que, pour touty∈R^d, on a bien

h(y) +1

εky−xk^α>m

Par ailleurs, en considérant la valeur particulièrey=x, on s’assure que h(x)∈

h(y) +1

d’où Tεh(x) = inf

h(y) +1

6h(x) La fonction Tεhest bien définie et vérifie Tεh6h.

2 Notonsm1etm2des minorants respectifs des fonctionsh1eth2. Par construction, la fonction H est minorée par min (m1, m2). Il découle de la question précédente que

La fonction T_εH est bien définie surR^d.

Fixons à présent x ∈ R^d pour le reste de la question. Pour tout y ∈ R^d, on a l’inégalitéh1(y)>H(y). On peut donc écrire

h₁(y) +1

εky−xk^α>H(y) +1

εky−xk^α

>TεH(x) (définition de TεH) Ceci est valable quel que soity∈R^d. En passant à la borne inférieure, on en déduit que Tεh1(x)>TεH(x). Puisqueh1 eth2 jouent des rôles symétriques, il vient aussi que Tεh2(x)>TεH(x). Donc min (Tεh1,Tεh2)(x)>TεH(x).

Attaquons-nous à l’inégalité réciproque. Notons que, quel que soit y ∈R^d, on a soit H(y) =h1(y) soit H(y) =h2(y). Dans le premier cas,

H(y) +1

εky−xk^α=h1(y) +1

εky−xk^α>Tεh1(x)>min (Tεh1,Tεh2)(x) et dans le second cas, on obtient la même inégalité. On a alors

∀y∈R^d H(y) +1

εky−xk^α>min (T_εh₁,T_εh₂)(x)

Le minorant min (Tεh₁,Tεh₂)(x) ne dépend pas dey. Il ne reste plus qu’à passer une nouvelle fois à la borne inférieure pour parvenir à T_εH(x) > min (T_εh₁,T_εh₂)(x).

Finalement,

T_εH = min (T_εh₁,T_εh₂)

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© Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/24 3 Soitx∈R^d. Comme R^d est de dimension finie, les espaces Vect (x) et Vect (x)^⊥ sont supplémentaires. Par conséquent, tout vecteury∈R^ds’écrit (de manière unique) sous la formey=λx+y_⊥ avecλ∈Rety_⊥∈Vect (x)^⊥. En appliquant deux fois le théorème de Pythagore, on obtient

kyk²+1

εkx−yk² =kλx+y⊥k²+1

εk(1−λ)x−y⊥k²

=λ²kxk²+ky⊥k²+(1−λ)²

ε kxk²+1 εky⊥k² kyk²+1

εkx−yk² =

λ²+(1−λ)² ε

kxk²+

1 + 1

ε

ky_⊥k²

On a donc une somme de deux termes positifs. Cette quantité est minimale lorsque chaque terme l’est. Le second terme est minimal poury_⊥ = 0. Pour le premier, il suffit d’étudier la fonction

ϕ:t7→t²+(1−t)²

ε =

1 + 1

ε

t²−2 εt+1

ε

C’est une fonction polynomiale du second degré de la formet7→at²+bt+caveca strictement positif. Elle atteint son minimum entmin=−b/2a, soittmin= 1/(1 +ε).

Un calcul donne par ailleursϕ(tmin) = 1/(1 +ε). Par conséquent,

∀x∈R^d Tεg(x) = kxk²

1 +ε = g(x) 1 +ε 4a Fixonsx, x⁰∈R^d. Pour touty∈R^d, on a

Tεh(x)6h(y) +ky−xk

ε (définition de Tεh)

6h(y) +ky−x⁰k

ε +kx⁰−xk

ε (inégalité triangulaire) Autrement dit, on a

∀y∈R^d Tεh(x)−kx⁰−xk

ε 6h(y) +ky−x⁰k ε On passe à la borne inférieure, ce qui fournit l’inégalité

Tεh(x)−kx⁰−xk

ε 6Tεh(x⁰)

En inversant les rôles dexet x⁰ dans le raisonnement précédent, on établit que T_εh(x⁰)−kx−x⁰k

ε 6T_εh(x) Ces deux inégalités se résument en

|Tεh(x⁰)−Tεh(x)|6 1

εkx⁰−xk

Ceci étant vrai pour tousxet x⁰ dansR^d, il vient que La fonction Tεhest 1

ε-lipschitzienne.