Sur les fonctions exponentielles des corps locaux

G ÉRARD G OUT

Sur les fonctions exponentielles des corps locaux

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1970, tome 7, fascicule 3

, p. 105-119

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SUR LES FONCTIONS EXPONENTIELLES DES CORPS LOCAUX Par Gérard GOUT

Tous les corps locaux (c'est-à-dire les corps localement com- pacts, non discrets et commutâtIfs) sont connus : un tel corps est le corps des nombres réels ou celui des nombres complexes,

s'il est connexe ; sinon il est une extension de degré fini d'un corps de nombres p-adiques ou bien un corps de séries formelles à coefficients dans un corps fini. (cf. par exemple [l], ouvrage auquel on se réfère pour la terminologie et les notations).

Cette étude a pour objet la description des fonctions exponen- tielles définies dans un sous-groupe ouvert d'un corps local et de donner la structure (algébrique et topologique) de l'ensemble de ces exponentielles. Enfin, on étudie le problème de leur pro- longement, par une voie différente de celle déjà utilisée dans [2]

1. VUinitioru> eJt ghi&aUtte.

Soit K un corps local. On appelle fonction txponejtàitlZe. de K un homomorphlsme continu d'un sous groupe ouvert D du groupe additif K dans le groupe multiplicatif K*.

D étant fixé, leur ensemble E ( D ) * Hom(D,K ) est un groupe abêlien, pour la loi (e,f)>-» e+f, où l'on pose (e+f)(x) » e(x)f(x) pour x ^ D , f, g C E ( D ) . De plus, si D est muni d'une structure de module sur un anneau A, E ( D ) est aussi muni d'une structure de A-module, au moyen de (a,e)n-*ae, où (ae)(x) « ae(x) pour o e A

et X £ D et e € E ( D ) .

Dans la proposition suivante, on munit E ( D ) de la topologlc de. convergence, compacte.*

Proposition 1. - E ( D ) eMt un groupe, topologlquc b&paxt. De. plus, D eÀt un modale topologique huA un anneau topologique. A, E ( D ) z6t également un k-module. topologlquc.

Soient C un compact de D et U un ouvert de K ; on note T(C,IT>«

l'ensemble des e e E(D) tels que e(K) e U ; lorsque C et U varient T(C,U) décrit un système fondamental de voisinages de o (x*-*l)

dans E(D) ; on vérifie immédiatement que E(D) est un groupe topo- logique séparé.

Sur les fonctions exponentielles des corps locaux

Sachant que D est un A-module topologique, mofltfotìfl que E(D) l'est aussi. Soit T(C,U) un voisinage de 0 dans E(D) :

1) e c T(aC,U) entraîne (ae) e T(C,U), donc e ^ a e , pour a fixé, est continue en e - 0.

il) il existe un voisinage V de 0 dans D tel que e(V) c U puisque e est continue ; l'ensemble des a e A tels que a C c V est un ouvert W de A, contenant 0, (d'après le résultat suivant : soient X, Y, Z des espaces topologiques séparés et f : X x Y — > Z une application continue ; pour tout compact C et Y et tout ouvert V de Z, l'ensemble des x £ X tels que f(x,y) é V pour tout y c C est un ouvert de X) ; ainsi, a e W entraine (ae) e T(C,U) ; ceci montre que pour e fixée, at->ae est continue en a • 0.

iii) soit V^f un voisinage ouvert et relativement compact de 0 dans D : d'après le lemme précédent, il existe un ouvert W', conte- nant 0, dans A, tel que W'C C V' ; a c W et e « T(V',U) entraine

(ae) € T(C,U) • donc l'application (a,e)*-*(ae) est continue en (0,0).

Ces trois propriétés prouvent que (a,e)t—*(ae) est une appli- cation continue de A * E(D) dans E(D).

Remotçue • - Par définition de la topologie de la convergence com- pacte, l'application (e,x)n-*e(x) de E(D) x D dans K* est continue.

En particulier, pour tout x e D^f et->e(x) est continue sur E ( D ) .

2 . Саб connexe.

D est nécessairement égal à K, c'est-à-dire à |R (resp. C ) . EflR) (resp. E(C)) est alors un espace vectoriel topologique sur (R (resp. C ) . Le résultat suivant est bien connu :

Théorème 1 . - Toute, fonction гхропе.п£1еЛ1г d e E$R) (resp. E( c ) ) Vbt de ZA fame. xi-*a^x ой a IR* (resp. a e С*) tt VappUjOAtion е и е ( 1 ) eJbt un IbomoAphUmz de E OR) (resp. E(C)) 4o*lR* (resp. C^X) .

3 . COA d a c o n t c n a .

1°) Supposent d'abotid qut к tòt un p-co*p4 (p ркетЛел) d e ccftactfoibtÂque p.

théorème ?. - Роил ;tou£ -6ou*-groupe ouvext D de K , E ( D ) eó£ h&kjJUt

a £ ^ x p o n e n £ t e t t e trujjlaJLe..

- En effet, pour e € E(D) et x e D , on a px - 0 et [e(x)]p» 1 en posant e(x) » 1 + f(x), il vient 1 • 1 + [f(x)Jp soit e(x) « 1.

2^e) Panò toute, lu *ulte⁹ к dtelgne un р-сокрб de саллс£&ил- tàque, 0 et on pose d • [к : Q^] • Soient R le plus grand sous-anneav*

Sur les fonctions exponentielles des corps IUUHM.

x

compact de K et F l'idéal maximal de R. On sait que R est produit direct de 1+P et du groupe M des racines de l'unité dont l'ordre est étranger â p ; d'autre part, 1+P contient le groupe r des racines de l'unité dont l'ordre est une puissance de p .

On a alors les lemmes suivants :

Lemme 1. - VovJi tout couple, d'znti&U poéitlfa (m,n), on a

n ⁺

(1+P ) ^p c i + p^{m n} ceci te démonùie facilement paK K&cuAJiznce 6UA n.

Lemme 2. - VouK tout e c E(D), on a e(D) c 1+P.

- Si n tend vers l'infini, pⁿx tend vers 0 dans D , donc

( e ( x) Jp tend vers 1 • la valuation de K étant discrète ceci entrai- ne f e ( x) J^R - 1 c'est-â-dire e(x) e R^X ; posons e(x) • (1+f(x))xg(x) avec f (x) e. P et g(x) e M ; le lemme 1 montre que (l+f(x))^p tend

t

ainsi e(x) » 1 + f(x) c 1 + P.

Lemme 3. - Toute. exponentielle de E(D) Vbt tgaZe. à 1 dans tout 6oa6 (pp-eôpace vejctoHJutl contenu dans D .

I I

- Soit x e D : pour n » 0 avec p ^ x e D on a [ e ( pⁿx) Jp » e(x) donc, d'après le lemme 2, e(x) e 1 + P^{n + 1} ; si x appartient â un sous

-espace vectoriel de D sur lequel e est définie, ceci a lieu pour tout n^f donc e(x) « 1.

Proposition 2. - PouA tout a e l+P, i£ zxiAtz un unique. homomoK-

phi&mz continu de 2Ep danò l+P qui pKotongt V apptixicution l i n a1 1 dtiinJui donò a .

- D'après le lemme 1, l'application ni-* a^{1 1} est continue sur Z muni de la topologie p-adique ; l+P étant compact, cet homomor-

phisme se prolonge de façon unique â 2p en un homomorphisme contint*

Lemme 4. - Tout òotib-QKowpt ivtml de K Ut un Ib^-modulo. topotogiqut.

- Z muni de la topologie p-adique opère continûment dans tout sous-groupe D de K par l'application (n,x)*-*nx : si D est fermé, on peut prolonger cette application en une application continue de Zp x D dans D.

Lemme 5. - Tout 4>ou6-g*oupz ouv&it D de K u t de la £o*mz

r d

D

- fi V i

îSi V i °

V i « i * d

de K òvJi Q^p t t r l t Kcmg du Zp-woduZz D.

Stir les fonctions exponentielles des corps locaux

- Solent W le sous espace vectoriel maximal contenu dans D et V son supplémentaire dans K ; le Zp-module L - ( D H V ) + ( R o w ) est ouvert dans K et comme il ne contient pas de sous-espace vecto- riel autre que (0), c'est un Q^p réseau de K [l] ch. H S 2, prop. 6, cor. l)rd'autre part. D étant dans K, le sous Q p espace vectoriel qu'il engendre est égal à K ; le lemme est alors conséquence d'un résultat de [l] : Ch. II, S 2, th. 2, Cor. 1 ) .

D'après la proposition 1, la structure de Zp module topologique de D se transmet à E(D). On va comparer cette dernière & celle de 1+P qui, en notation additive, est isomorphe au produit direct

(3p)d x z^p/ pm Zp où pm est l'ordre de r ( [l], Ch. II, ! 3, Prop. 9 ) .

Théorème 3. - Avec JUÀ notation* du l&tm. 5, toute. txponzntÂeJUz d e E(D) QAt dt la ionmt

r d

TT

y

x ^ ^w a^A , ou a^±e 1+P (1 é i £ r ) tt x - £ ^ e D . E(D) QAt pioèxit (LOitct d e r T^-modubte topologique*

JUmoKpku à 1+P.

r d

L F

- Soit x £ ^ x⁴ + J ^ ^ J ^yi ^vi ^ ^{D ; d ,}* P^{r ê s} *^{e 8} iemmes 2 et 3 on a e ( vt) €, 1+P pour i - 1, 2, ..., r et e ( v ^ - 1 pour

i - r + 1, . . . , d ; avec la proposition 2, on peut alors écrire

Réciproquement, toute famille (aj ^ i < i< r d'éléments de 1+P r x^±

définit une exponentielle de E(D) : x»-» ^ • On vérifie aisé- ment que cette application est un isomorphisme de Zp-module multi- plicatif (1+P)r sur E(D).

En particulier, E(D) est de type fini ; comme 2^p est compact, E(D) l^fest également. D'autre part, d'après la remarque qui suit 1 * proposition lf l'application e i-> (e(vi)>1 ^ est continue ; E(D)

r étant compact c'est un homêomorphisme de E(D) sur (1+P) •

Proposition 3. - Pour que E(D) contienne des exponentielles invec-

tives ^J il faut et il suffit que D soit un Q^-réseau. Si e est une telle exponentielle^â la suite exacte

0 —»Im(e) —» 1+P—•T—»0 est scindée.

- La condition est nécessaire d'après le lemme 3 . Inversement,

d d d

F*

TT

soient D « £ ^ vt un «y-réseau de K et v^) • ^ avec ai € 1+P, une exponentielle de E(D) ; une telle application e s * injective si et seulement si la famille ^{i < d} est libre dans le Zp-module 1+P ; celui-ci étant de rang d, de telles familles existent ; alors l'image de e est un Zp-module libre de rang maxi- mum, c'est donc un facteur direct de 1+P dont le quotient est le sous-module de torsion T de 1+P.

Sur tes fonctions exponentielles des corps locaux

4. VKoblhnoA d e p>iolongme.rvt.

Les hypothèses et notations sont celles de 3^r 2 ° ) . Le problème se pose de prolonger une fonction de £(D) en une de E ( D^V) , oû D^f est un sous-groupe de R contenant D* On a le lemme suivant :

Lemme 6. - Soient D et D^f des sous-groupes ouverts de R tels que D C D ' , Il existe une base ^ ^ ^{< d} de R sur <^ et des entiers positifs r, r^f et n. ( l ^ i < r^f) tels que

1 d

r j-*

0 < r ^ rf ^ d et D - g I ^p wt + «pwt et

r^f d

D f

" S p

V i

i ^ i S v

- Soient v (resp. v^f) le sous-^-espace vectoriel maximal conte- nu dans D (resp. D¹) et V(resp. V') son supplémentaire dans R ; on a déjà vu que L • (D H V ) + (R 0 W) et L^f - (D*n V¹) + (R n W^f ) sont des (pp-réseaux ; D c D* entraine W c W^f, donc W^f « W • avec R - W + W¹ + V^f ; en décomposant L et L* sur ces sous-espaces

(compte tenu de [ l ]^t ch. II, § 3, th. 2 ) , on obtient une base

^^wi^l< i < d^{d e K 8 u r} ^ p ^{t el l e}

d d d

w - i £ î «p v^{w t} - r ^ i s v ^L • ^ ² p ^w i ^{e t} d

F"" ~

i

Proposition 4. - Avec les notations du lemme 6^t soit e e E(D). Pouf que Von puisse prolonger e en une fonction de E ( D^f) il faut et i l suffit que :

i) e soit égale à 1 dans la trace sur D du plus grand sous <Q -espace vectoriel contenu dans D¹.

P . ⁿi

ii) pour 1 ^ i < r'^t eCwj) possède une racine p -ème dans 1+P.

- Si elle existe, la fonction prolongée est triviale sur Wf, donc sur D O W ¹ ; d'autre part, pour

r^f

C

~ - i i P x. w . c D^f O V¹ avec x. e. TL on doit avoir

1 = 1 ^r i i i p

r'

TT

e(x) » [^e( w j ) ]^{P X}* ; ainsi e(wj) possède une racine p -ème dans 1+P.

Réciproquement, en prenant une telle racine a. (1 * i * rf) et

r^{f v} r^{f 1} d

*rr

en posant f (x) - ±m l s^± pour x - ^ p x^± w^A + £ £ 7 ^ * D^f * on obtient une exponentielle de E ( D^f) qui prolonge e.

Par exemple, on sait que l'exponentielle usuelle de © ^t somme

xn p

de la série ¿ _^k --y^f n'est définie que dans D • p % (si p ^ 2) ;

n £ o ⁿ' ^p

soit D^f - 2^p - p¹ D : (i) est vérifié car W - W^f - (0) , par contre

Sur les fonctions exponentielles des corps locaux

2 (ii) ne l'est pas puisque e ( p )^f qui n'appartient pas â 1+ p 2^{p f} n'a pas de racine p-ème dans 1+ p 2 .

P

En général, le prolongement d'exponentielles de E(D) à {^-réseau contenant D dépend de l'existence de racines pⁿ-èmes de l'unité dans 1+P (sans restreindre la généralité de cette étude on peut supposer que D est un Q^-réseau). Pour lever cette difficulté, on peut procéder comme il suit, (comparer avec [ 2 ] ) .

Soit <Qp une clôture algébrique de < ^ : d est un corps ultramétri- que (non complet) dont la valuation prolonge celle de toute exten- sion K de g de degré fini. Si l'on identifie K à un sous-corps de

<Qp^f on peut plonger E(D) dans le groupe Hom(D, <î^p)» muni de la topo- logie de la convergence compacte. Ceci reste valable pour tout

€}^p-rëseau « p¹^) de K (n entier naturel) : la groupe topologique E(D ) des exponentielles à valeurs dans (Q*, qui prolongent celles

n P - x

de E(D) à D ^f s'identifie à un sous-groupe de Hom(D , Q ) muni de n n p

la topologie de la convergence compacte.

La famille des 4^-réseaux donne naissance à deux systèmes projectifs : (i) celui des Z -modules compacts E(D ) avec des mor-

p n phismes restrictions évidents.

**x

(ii) celui des groupes séparés Hom(D % Q ) avec éga- n p

lement des morphismes restrictions.

Ces deux systèmes sont reliés par le morphisme projectif défini par les plongements cⁿ : ECD^) —*Hom (^{D n}

L'étude de leur limite fournit la structure de l'ensemble E(D,R) des homomorphismes continus de K dans <Qp qui prolongent les expo- nentielles de E(D).

Proposition 5. - Pour tout <S^-rêseau D de K, E(D,K) s'identifie à un sous-groupe compact de Hom (K,

- En utilisant la propriété universelle de la limite projective, on montre que les limites des systèmes (1) et (ii) précédents sont respectivement isomorphes à E(D^fK) et Hom (K, (Q^) ; faisons la démonstration pour (ii) : étant donnés un groupe topologique G et un morphisme projectif constitué des f^ : G — » H o m (D^, ^Ç)» ^{o n} P^{e u t} définir un homomorphisme g : G —»Hom (K^t <Q*) en associant à u £ G

le morphisme g(u) é Hom (K, Q * ) défini par g(u)(x) - f (u) (x) si

p n x e D ^ ; il est évident que g est l'unique homomorphisme rendant

commutâtifs les diagrammes voulus» De plus, soit T(C,u) un voisinage de l'élément neutre dans Hom (K, Q ) où C est un compact de K et U un voisinage de 1 dans Q ; C étant compact, il est contenu dans

pour n assez grand, donc pour h e Hom (K, on a h(C) c U si et seulement si (h/B )(C) c U .

n

Comme f^Q est continue, il existe un voisinage V de 0 dans G tel

Sur les fonctions exponentielles des corps locaux

que fⁿ(V)(C) c U, ou encore, tel que g(V) c T(C^t U) ; g est donc continue.

A la limite, on obtient pour (i) un groupe compact et pour (ii) un groupe sépare. D'autre part, le morphisme projectif des a donne un morphisme injectif de E(D, K) dans Hom (K,<Q^p), donc un plongement puisque E(D, K) est compact.

En fait la limite projective de (i) donne Z^-module compact. Le théorème suivant précise sa structure :

Théorème 4. - Pour tout (Q^- réseau D de K, E(D,K) est un X^module compact isomorphe au produit direct

2

(a^p) + d x (*^p/p*2fc ) ^{d f} où d est le degré de K sur et pm l⁹ordre du groupe r.

- Chaque morphisme restriction d : E(D )—*E(D) a un noyau d

Isomorphe au produit direct (rⁿ) où r désigne le groupe des raci- n - X n

nés p -èmes de l'unité dans Q^, cet isomorphlsme étant défini, avec les notations de la proposition 4, par

e € K e r ( dⁿ) - , ( e ( pⁿv¹) )^{U U d}C ( rⁿ)^d.

On obtient un système projectif de suites exactes dans la caté- gorie des Zp-modules compacts :

d Id n

V -

1 * 0—»(r )

>E(D ) — • E(D) — * 0

n n

La première flèche verticale est x»-*xp.

À la limite, ce système donne la suite exacte :

0->(lim T ) ^d — * E(D,K) — > E(D) — • O . + ⁿ

Soit z une racine de l^funité d¹ordre pⁿ telle que (z )^p « ^z , ,

n k n n ⁿ~^l

Alors l'application (z ) e r — * k + p Z ^ Z /P * est un isomoir-"

n n p p p

phisme des Z -modules T et Z /p 71 . Le système projectif des r

p n p p n est isomorphe à celui des Z^/pn 2^ avec les surjectlons canoniques «

On en conclut que Lim est isomorphe à 2^,

E(D) et (11m r )^d étant des JL - modules de type fini, E(D,K) en est également un. De plus, le second étant libre, d est un facteur direct de E(D,K) : pour le voir on peut appliquer le théorème de structure de [l\⁹ ch. II, 5 3, th. 2^f cor. 2.

Ayant scindée la suite exacte précédente, le résultat s'en suit, connaissant la structure de E(D).

-Sur les fonctions exponentielles des corps locaux

BIBLIOGRAPHIE

[l] A. WEIL, Basic number theory, Berlin (Springer), 1967.

[2] M. C. SARMENT, Prolongement de la fonction exponentielle en dehors de son cercle de convergence.

C. R. Acad. Se. Paris, 269, 1969, p. 123-125.

Manuscrit remis en Juin 1971 Q GOUT

Ecole supérieure d'ingénieurs de Beyrouth B. P. 1314

BEYROUTH (Liban)