Stanislas
Exercices
Calcul analytique
Chapitre III MPSI 1
2015/2016
I - Généralités
Exercice 1. (-)Le produit de deux fonctions lipschitziennes est-il lipschitzien ? Et si ces fonctions sont bornées ?
Exercice 2. (!) Montrer que toute fonction lipschitzienne est la diérence de deux fonctions lipschitziennes croissantes.
II - Dérivation
Exercice 3. (♥)SoitT ∈R?. Montrer que la dérivée d'une fonction dérivable. . . 1. . . . paire est impaire.
2. . . . impaire est paire.
3. . . .T-périodique est T-périodique.
Exercice 4. (♥)Montrer que pour toutx∈]−1,1[,arctan 2x
1−x2
= 2 arctanx.
Exercice 5. (♥)Montrer que pour tousx, y ∈R, il existe une constante atelle que
arctanx+ arctany= arctan x+y
1−xy +aπ, où
a= 0 sixy<1,
a= 1 sixy>1etx>0,
a=−1 sixy>1etx<0.
1. Formule de J. Machin, 1706.Montrer que π4 = 4 arctan15 −arctan2391 .
2. Montrer que pour tout x ∈ R+, arctan(x + 1) −arctanx = arctan1+x+x1 2. En déduire
n→+∞lim
n
P
k=0
arctan1+k+k1 2.
Exercice 6. (-)Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes.
1. f1 : R→R, x7→cosp
|x|. 2. f2 : R→R, x7→ 1+|x|x .
3. f3 : R→R, x7→e−
1
1−x2 si x∈]−1,1[et0 sinon.
Exercice 7. (-)Soitf : x7→ √ 1
1+x2.
1.Montrer quef est de classeC∞surRet que pour tout entier natureln, il existe un polynôme Pn tel que
f(n)(x) = Pn(x) (1 +x2)n+12. 2. Soitn∈N.
a)Montrer que Pn+1(x) = (1 +x2)Pn0(x)−(2n+ 1)xPn(x).
b)Montrer que Pn+1(x) + (2n+ 1)xPn(x) +n2(1 +x2)Pn−1(x) = 0.
c)En déduire la valeur de Pn(0).
Stanislas A. Camanes
Exercices. Calcul analytique MPSI 1
Exercice 8. (-)Soienta, b, λ∈R, k, n∈N. Déterminer la dérivée nème des fonctions.
1. f1 : R→R, x7→x2ex.
2. f2 : ]− ∞,1[→R, x7→ln(1−x).
3. f3 : R→R, x7→xk. 4. f4 : R→R, x7→excosx.
III - Étude de fonctions
Exercice 9. (-)Étudier la fonction f : x7→ x2−2x−1x e−1/x. Exercice 10. (-)Étudier la fonction f : x7→arcsin1+x2x2. IV - Intégration
Exercice 11. (-)Pour toutn∈N, on noteIn= n!1 Z 1
0
arcsinn(x)dxetJn= Z 1
0
e−nx
1 +xdx. Calculer
n→+∞lim In et lim
n→+∞Jn.
Exercice 12. (!)Pour tout x∈R?+, on posef(x) = Z 3x
x
cost
t dt. Montrer que lim
x→0f(x) = ln 3. Exercice 13. (!)Déterminer les limites suivantes.
1. lim
u→+∞
Z π2
0
e−usinxdx. 2. lim
u→0+
Z 2u u
sinx
x2 dx. 3. lim
u→+∞e−u2 Z u
0
et2 dt.
Exercice 14. (-)Pour tout entier naturel nnon nul, montrer queZ 1 0
xn(1−x)ndx6 1 22n. Exercice 15. (-)Pour tout f ∈C([0,1],R?+), on note I(f) =
Z 1 0
dt f(t) ·
Z 1 0
f(t)dt. Montrer que pour tout f ∈C([0,1],R?+),I(f)>1et que cette inégalité est atteinte. I est-elle majorée ? Exercice 16. (!)Soitf ∈C1([a, b],R). Montrer que
Z b a
(f(x)−f(a))2dx6 (b−a)2 2
Z b a
(f0(x))2dx.
V - Intégrales et Dérivées
Exercice 17. (-) Calculer la dérivée de la fonction dénie pour tout réel x par f(x) =
Z ex
e−x
p1 + ln2t dt.
Stanislas A. Camanes
Exercices. Calcul analytique MPSI 1
Exercice 18. (!)Pour tout x∈R?+\{1}, on pose f(x) = Z x2
x
dt lnt. 1. Prolongerf par continuité en 0et en 1.
2. Étudier les variations de f et donner l'allure de sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Exercice 19.Soit f : x7→
Z cos2x sin2x
arcsin(√ t)dt.
1. Préciser l'ensemble de dénition def et étudier la dérivabilité def. 2. En déduire une expression simple de la fonctionf.
Exercice 20.Soienta, bdeux réels strictement positifs etf : [0, a]→[0, b]une bijection croissante de classeC1.
1. Montrer que Z b
0
f−1(y)dy+ Z a
0
f(x)dx=ab. 2. Soit (x, y) ∈ [0, a]×[0, b]. Montrer que
Z x
0
f(t)dt+ Z y
0
f−1(u)du > xy, avec égalité si et seulement siy=f(x).
3. Interpréter géométriquement ces résultats.
VI - Autour des formules de Taylor
Exercice 21. (Fonction exponentielle,-)Pour toutn∈N, on posefn(x) =e−x(1 +1!x +x2!2+· · ·+
xn
n!). Montrer que pour tout x∈ [0,1], |fn(x)−1|6 (n+1)!xn+1 . En déduire une valeur approchée à
1
40 près dee.
Exercice 22. (Fonction logarithme,-)Montrer que pour toutx∈[−1/2,1/2],
ln(1 +x)−(x−x2/2 +x3/3)
61/32.
En déduire une valeur approchée deln 2.
Exercice 23. (Méthode d’intégration numérique de Simpson, !)
1.Soitg∈C5(R,R)une fonction impaire. On suppose que pour tout réelx, il existe une constante Kg telle que pour tout t∈[0, x],|g(5)(x)|6Kg. En utilisant la formule de Taylor intégral pour g etg0, montrer que
|g(x)−x
3(g0(x) + 2g0(0))|6 Kg
180|x|5.
2. Soitf est une fonction de classe C4 sur[a, b]. On suppose qu'il existe une constante Kf telle que pour toutx∈[a, b],|f(4)(x)|6Kf. Montrer que
Z b a
f(t)dt−b−a 6
f(a) +f(b) + 4f
a+b 2
6 Kf(b−a)5 2880 .
PoserF une primitive de f etg:t7→F a+b2 +t
−F a+b2 −t .
Stanislas A. Camanes
