Calcul Analytique

Calcul Analytique

Notations.

I, J désignent des intervalles de Rnon vides et non réduits à un point.

x₀ désigne un point intérieur de I.

a, bdésignent deux réels tels quea < b.

f désigne une fonction deI dansR.

I - Préliminaires Définition 1 (Composée).

Soit f : I →Retg : J →Rtelles quef(I)⊂J. La composée deg parf, notéeg◦f est g◦f : I → R

x 7→ g(f(x)) .

Exercice 1.Déterminer deux fonctionsf etgtelles quef◦g,g◦f soient dénies maisf◦g6=g◦f. I.1 - Fonctions particulières

Définition 2 (Paire, Impaire).

On suppose que I est un intervalle deRcentré en0. (i). f est paire si ∀x∈I, f(x) =f(−x).

(ii). f est impaire si ∀ x∈I, f(x) =−f(−x).

Exercice 2.Montrer que toute fonction se décompose de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

Définition 3 (Fonctions périodiques).

SoientT ∈R^? etf ∈F(R,R). La fonctionf estT-périodique si pour tout réelx,f(x+T) = f(x).

Définition 4 (Lipschitzien).

Soit k∈R^?₊. La fonction f estk-lipschitzienne surI si

∀x, y ∈I,|f(x)−f(y)|6k|x−y|.

On notera Lip(I,R) l'ensemble des fonctions lipschitziennes surI.

Exercice 3.Montrer que la fonction f : [0,1] → [0,1], x 7→ x² est une fonction lipschitzienne.

Montrer que la fonctionf : [0,1]→[0,1], x7→√

xn'est pas lipschitzienne.

Propriété 1.

Soienta < b < ctrois réels deI. On suppose quef ∈Lip([a, b],R)etf ∈Lip([b, c],R). Alors, f ∈Lip([a, c],R).

I.2 - Continuité Définition 5 (Continuité).

(i). f est continue à droite en x0 sif admet une limite à droite en x0 qui vautf(x0). (ii). f est continue à gauche enx₀ si f admet une limite à gauche enx₀ qui vautf(x₀). (iii). f est continue en x0 sif est continue à droite et à gauche enx0.

(iv). f est continue sur I si elle est continue en tout point deI.

Exercice 4.Montrer que f est continue enx₀ si et seulement s'il existe une fonctionε telle que

∗ ∀ x∈I, f(x) =f(x0) +ε(x−x0),

∗ lim

x→0ε(x) = 0.

Propriété 2 (Lipschitzien & Continuité).

Toute fonction lipschitzienne est continue.

Exercice 5.Montrer que la réciproque est fausse.

II - Calcul diérentiel Définition 6 (Dérivée).

(i). f est dérivable à droite en x₀ si lim

h→0⁺

f(x0+h)−f(x₀)

h existe dansR.

Cette limite est la dérivée à droite enx0, notéef_d⁰(x0).

(ii). f est dérivable à gauche en x0 si lim

h→0⁻

f(x0+h)−f(x0)

h existe dans R.

Cette limite est la dérivée à gauche enx₀, notéef_g⁰(x₀).

(iii). f est dérivable enx₀ si elle est dérivable à droite et à gauche enx₀ et sif_d⁰(x₀) =f_g⁰(x₀). Cette valeur commune est la dérivée def enx0, notéef⁰(x0).

(iv). Si f est dérivable en tout point de I, La fonction dérivée est f⁰ : I →R, x7→f⁰(x).

Notation.

D(I,R) désigne l'ensemble des fonctions dérivables surI.

Exercice 6.Étudier la dérivabilité en tout point des fonctions suivantes.

1. f₁ : R→R, x7→x. 2. f₂ : R→R, x7→ |x|.

3. f₃ : R+→R, x7→√ x. 4. f₄ : R^?+→R, x7→xcos_x¹. Propriété 3 (Continuité & Dérivabilité).

Si f est dérivable (resp. dérivable à droite, dérivable à gauche) en x₀, alors f est continue (resp. continue à droite, continue à gauche) enx0.

Exercice 7.Que pensez-vous de la réciproque ? II.1 - Opérations

Propriété 4 (Dérivée & Opérations).

Soientf, g deux fonctions dérivables en x0 etλ∈R.

(i). Linéarité.λf+g est dérivable enx0 et(λf+g)⁰(x0) =λf⁰(x0) +g⁰(x0).

(ii). f g est dérivable enx0 et(f g)⁰(x0) =f⁰(x0)g(x0) +f(x0)g⁰(x0).

(iii). Sif ne s'annule pas sur un voisinage dex₀,_f¹ est dérivable enx₀et

1 f

0

(x₀) =−_f(x^f0(x0)

0)². Propriété 5 (Dérivation & Composition).

Soientf ∈F(I,R), g∈F(J,R)telles quef(I)⊂J. Sif est dérivable enx0 etgest dérivable en f(x0), alors g◦f est dérivable enx0 et(g◦f)⁰(x0) =f⁰(x0)·g⁰(f(x0)).

Stanislas A. Camanes

Propriété 6 (Dérivation & Bijection).

Soit f une bijection de I surJ =f(I) telle quef soit dérivable en x0.

(i). f⁰(x0)6= 0 si et seulement sif⁻¹ est dérivable enf(x0) et(f⁻¹)⁰(f(x0)) = _f0(x¹0). (ii). Si f⁰(x₀) = 0, la courbe représentative de f⁻¹ admet une tangente verticale au point

(f(x0), x0).

Théorème 1 (Régularité).

Les fonctions Arc sinus et Arc cosinus sont dérivables sur ]−1; 1[ et

∀x∈]−1; 1[,arcsin⁰(x) = 1

√

1−x²,arccos⁰(x) =− 1

√

1−x². La fonction Arc tangente est dérivable surRet

∀ x∈R,arctan⁰(x) = 1 1 +x².

Exercice 8.

1. Simplier l'expressionarcsin + arccos.

2. Pour toutx∈R^?, calculer la valeur de la quantitéarctanx+ arctan_x¹. II.2 - Algèbre Cⁿ(I)

Notation.

ndésigne un entier naturel.

Définition 7 (Dérivéen-ème).

On pose f⁽⁰⁾=f et on dénit par récurrence la dérivéen-ème de f surI, notéef⁽ⁿ⁾, comme la dérivée, si elle existe, de la fonction f⁽ⁿ⁻¹⁾.

Exercice 9.Soitk∈N. Déterminer la dérivée n-ème des fonctions 1. exp.

2. cos.

3. x7→x^k. 4. ln. Théorème 2 (Formule deLeibniz).

Soient x0 ∈ I et f, g deux fonctions n fois dérivables en x0. Alors f g est n fois dérivable en x₀ et

(f g)⁽ⁿ⁾(x₀) =

n

X

k=0

n k

f^(k)(x₀)g^(n−k)(x₀).

Définition 8 (ClasseCⁿ).

Une fonctionf : I →Rest de classeCⁿsurIsi elle estnfois dérivable et sif⁽ⁿ⁾est continue.

Cⁿ(I) est l'ensemble des fonctions de classeCⁿ surI.

Si pour tout n∈N,f est de classeCⁿ surI, elle est indéniment dérivable, ou de classe C^∞ surI.C^∞(I)est l'ensemble des fonctions de classe C^∞ surI.

Exercice 10.Étudier la régularité des fonctions suivantes.

1. x7→ _x¹. 2. x7→ |x|.

3. x7→x³sin¹_x si x6= 0,07→0.

4. R→R, x7→e^−1/x six >0,x7→0 sinon.

II.3 - Variations

Théorème 3 (Exrtremum local).

On suppose quef est dérivable enx₀. Sif possède un extremum local enx₀, alorsf⁰(x₀) = 0.

Exercice 11.Que pensez-vous de la réciproque ?

Théorème 4 (Caractérisation des fonctions monotones, P. A.). Soit f ∈D(I,R).

(i). f est croissante sur I si et seulement si f⁰(x)>0,∀x∈I. (ii). f est décroissante sur I si et seulement sif⁰(x)60,∀ x∈I.

Corollaire 5.

Soit f ∈D(I,R).f est constante surI si et seulement si f⁰(x) = 0,∀x∈I. Théorème 6 (Caractérisation de la stricte monotonie).

Soit f ∈ D(I,R). f est strictement monotone sur I si f⁰ est de signe constant sur I et s'il n'existe pas d'intervalle (non réduit à un point) inclus dans I sur lequel f⁰ est identiquement nulle.

III - Calcul intégral Notation.

C(I) désigne l'ensemble des fonctions continues sur I. Les fonctions sont à valeurs réelles ou complexes.

a, bsont deux réels de l'intervalle I tels quea < b etf, gsont deux fonctions continues surI. Propriétés 7 (Propriétés élémentaires).

(i). Linéarité.L'application I : C([a, b])→R, f 7→

Z b a

f(t)dt est linéaire.

(ii). Croissance. Sif 6g, alorsZ b a

f(t)dt6 Z b

a

g(t)dt.

(iii). Inégalité triangulaire.

Z _b

a

f(t)dt 6

Z _b

a

|f(t)|dt.

(iv). Relation deChasles. Pour tout c∈]a, b[,Z b a

f(t)dt= Z c

a

f(t)dt+ Z b

c

f(t)dt.

III.1 - Techniques de calculs Théorème 7 (Dérivation des bornes).

SoientJ un intervalle deRnon réduit à un singleton,f ∈C(I)etα, β∈D(J, I). La fonction ϕ : J →R, x7→

Z β(x) α(x)

f(t)dt est dérivable surJ et sa dérivée vaut

ϕ⁰(x) =β⁰(x)f(β(x))−α⁰(x)f(α(x)).

Stanislas A. Camanes

Théorème 8 (Intégration Par Parties). Soientu, v ∈C¹([a, b]). Alors,

Z b a

u(t)v⁰(t)dt=u(b)v(b)−u(a)v(a)− Z b

a

u⁰(t)v(t)dt.

Exercice 12.

1. Déterminer une primitive des fonctions ln et arctan ainsi que la forme des primitves des fonctionsx7→P(x)e^x, où P est une fonction polynomiale.

2. Pour tout entier natureln, on noteWn = Z ^π

2

0

sinⁿt dt. Montrer que pour tout entier naturel nsupérieur à 2,nWn= (n−1)Wn−2.

Théorème 9 (Formule de Changement de Variables). Soit ϕ∈C¹([α, β],R) telle que ϕ([α, β])⊂I. Alors,

Z ϕ(β) ϕ(α)

f(t)dt= Z β

α

f(ϕ(u))ϕ⁰(u)du.

Exercice 13.Soient1< α < β. 1. Calculer

Z a 0

cos²t dt, lorsque a= 0, ^π₄, ^π₂, π, 2π.

2. Montrer que pour tout entier natureln,Z ^π

2

0

sinⁿt dt= Z ^π

2

0

cosⁿt dt. Calculer les intégrales suivantes.

3.

Z 1

0

p1−t²dt. 4.

Z 3

2

dt t√

t²−1. Propriété 8.

(i). Soita∈I. Si[−a, a]⊂I etf est paire sur[−a, a], alors Z a

−a

f(t)dt= 2 Z a

0

f(t)dt.

(ii). Soita∈I. Si[−a, a]⊂I etf est impaire sur[−a, a], alors Z _a

−a

f(t)dt= 0.

(iii). Si I =Retf estT-périodique, alors Z a+T

a

f(t)dt= Z T

0

f(t)dt.

III.2 - Inégalités Propriété 9.

Soient(f, g)∈C([a, b],R)² etK∈R+ tels que pour tout réelx,|f(x)|6K. Alors,

Z b a

f(t)g(t)dt 6K

Z b a

|g(t)|dt.

Exercice 14.Monter que les fonctions cosinus et arctangente sont lipschitziennes sur R.

Théorème 10 (Inégalité deCauchy-Schwarz). Soientf, g∈C([a, b]). Alors,

Z f g

!2

6 Z

f²· Z

g².

III.3 - Formule de Taylor avec Reste Intégral Théorème 11 (Formule deTayloravec Reste Intégral).

Soit f ∈Cⁿ⁺¹(I)eta∈I. Alors, pour tout x∈I,

f(x) =

n

X

k=0

(x−a)^k

k! f^(k)(a) + Z x

a

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt.

Exercice 15.

1. Soitx>0. Montrer que la suite de terme général Pⁿ

k=0 x^k

k! converge.

2. Montrer que pour toutx∈[0,^π₂],sinx6x. 3. Montrer que pour toutx>0,

x−x²

2 6ln(1 +x)6x− x² 2 +x³

3 .

Stanislas A. Camanes