8 Dérivabilité et étude de fonctions

8 | Dérivabilité et étude de fonctions

I – Dérivée en un point

1 – Nombre dérivé

Définition 8.1 – Soitf une fonction définie sur intervalleI et soita∈Iun réel. La fonction f est dite dérivable ena si le taux d’accroissement f(x)−f(a)

x−a admet une limite finie lorsquextend versa. Cette limite est alors appeléenombre dérivédef enaet est notéef⁰(a) :

f⁰(a)=lim

x→a

f(x)−f(a) x−a .

Exemple 8.2 –

• Montrer que la fonctionf définie surRparf(x)=x²est dérivable en 1.

Je calcule le taux d’accroissement : f(x)−f(1)

x−1 =x²−1²

x−1 =(x−1)(x+1)

x−1 =x+1.

Alors lim

x→1

f(x)−f(1) x−1 =lim

x→1x+1=2, donc la fonctionf est dérivable en 1 et f⁰(1)=2.

• Plus généralement, montrer que la fonctionf est dérivable en touta∈R. De la même manière, f(x)−f(a)

x−a =x²−a²

x−a =(x−a)(x+a)

x−a =x+a, donc lim

x→a

f(x)−f(a) x−a =lim

x→ax+a=2aet la fonctionf est dérivable ena, avecf⁰(a)=2a.

• La fonctionf définie surR^∗parf(x)=1

x est dérivable en touta∈R^∗. Je calcule le taux d’accroissement : f(x)−f(a)

x−a =

1 x−¹_a x−a =

a−x ax

x−a =a−x ax × 1

x−a = − 1 ax. Alors lim

x→a

f(x)−f(a) x−a =lim

x→a− 1 ax = − 1

a², donc la fonctionf est dérivable enaetf⁰(a)= − 1 a². Remarque 8.3 –

• En posanth=x−a, et sous réserve d’existence, on peut également écrire que f⁰(a)=lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h .

• En pratique, on utilise la définition seulement pour montrer la dérivabilité aux "points à problèmes".

En dehors de ces points, on justifie la dérivabilité à l’aide des propriétés de la SectionII.

2 – Interprétation géométrique

Soit f une fonction définie sur un intervalleI et soita∈I. On noteAle point de coordonnées¡

a,f(a)¢ etMle point de coordonnées¡

x,f(x)¢

pourx∈I. Alors le taux d’accroissement f(x)−f(a)

x−a correspond au coefficient directeur de la droite (AM).

• Si f est dérivable en a, ce coefficient direc- teur tend vers f⁰(a) lorsquextend versa. Par ailleurs, la droite (AM) tend vers une position limite qui est la tangente à la courbe représen- tative def au pointA. Le nombre dérivéf⁰(a) est alors le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative def au pointA.

• Si la limite du taux d’accroissement est infinie, alors la courbe représentative def possède en Aune tangente verticale d’équationx=a.

A M3

M₂

M1

A On résume cela dans la proposition suivante.

Proposition 8.4

Soitf une fonction définie sur un intervalleI et soita∈I.

• Sif est dérivable ena, alorsf⁰(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représen- tativeC_f def au point d’abscissea. L’équation de cette tangente est

y=f⁰(a)(x−a)+f(a).

• Si lim

x→a

f(x)−f(a)

x−a = ±∞, alorsf n’est pas dérivable enaet la courbeC_f admet une tangente verticale au point d’abscissea.

Exemple 8.5 –

• Puisque la fonctionf définie surRparf(x)=x²est dérivable ena=1 de dérivéef⁰(1)=2, alors la courbe représentative def admet au pointAde coordonnées (1, 1) une tangente d’équation

y=2(x−1)+1=2x−1.

• Au contraire, la fonction définie sur Rpar f(x)=p

|x| n’est pas dérivable en 0 et la courbe représentative def admet une tangente verticale au point (0, 0).

3 – Approximation affine

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable ena,C_f sa courbe représentative et A le point deC_f d’abscissea. Au voisinage dea, la tan- gente en A ressemble beaucoup à la courbeC_f. On dit que la tangente est uneapproximation affinede la courbeC_f au voisinage du point d’abscissea.

x y

0 f(a)

a A

Théorème 8.6

Soit f une fonction définie sur un intervalleI et soit a ∈I. On suppose que f est dérivable ena. Alors pourhproche de 0, on a

f(a+h)≈f(a)+h f⁰(a).

Exemple 8.7 – Calculer une valeur approchée dep 1.02.

Soit f(x)=p

xeta=1. Alors f est dérivable en 1 etf⁰(1)=1 2. Donc p1.02=f(1.02)≈1+1

2(1.02−1)=1.01.

Avec une calculatrice, j’obtiensp

1.02=1.00995.

Corollaire 8.8

Soitf une fonction définie sur un intervalleI et soita∈I. Sif est dérivable ena, alorsf est continue ena.

Remarque 8.9 – La réciproque n’est pas vraie : une fonction peut être continue en un point sans être déri- vable en ce point. Par exemple, la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n’y est pas dérivable.

II – Fonction dérivée

Définition 8.10 – Soitf une fonction définie sur un intervalleI. On dit quef estdérivable surI, sif est dérivable en tout pointx∈I. Alors la fonction

f⁰: I → R

x 7→ f⁰(x) avec∀a∈I, lim

x→af⁰(a)= f(x)−f(a) x−a est appelée lafonction dérivéede la fonctionf.

Exemple 8.11 –

• La fonction carrée est dérivable surR.

• La fonction inverse est dérivable surR^∗.

• La fonctionp

·est dérivable sur ]0,+∞[.

1 – Dérivée des fonctions usuelles

Le tableau suivant indique les dérivées des fonctions usuelles (k∈Rest une constante et n∈N^∗un entier positif non nul).

f estdéfiniesur f(x) f⁰(x) f estdérivablesur

R k 0 R

R x 1 R

R xⁿ nxⁿ⁻¹ R

R^∗ 1

x −1

x² R^∗

R^∗ 1

xⁿ − n

xⁿ⁺¹ R^∗

[0,+∞[ p

x 1

2p

x ]0,+∞[

Remarque 8.12 – Seule la fonction racine carrée n’est pas dérivable sur son ensemble de définition : en effet, elle est définie en 0 mais n’y est pas dérivable.

2 – Opérations sur les fonctions dérivables

Soientuetvdeux fonctions dérivables sur un intervalleI.

Opération Dérivée

Somme (u+v)⁰=u⁰+v⁰ Multiplication par une constantek (ku)⁰=k×u⁰

Produit (uv)⁰=u⁰v+uv⁰

Quotient ³u

v

´0

=u⁰v−uv⁰ v² Composition (v◦u)⁰=u⁰×(v⁰◦u)

Remarque 8.13 – La formule de dérivation de la composition de deux fonctions permet de déterminer de nombreuses formules de dérivation.

Fonction Dérivée uⁿpourn>0 ¡

uⁿ¢₀

=nu⁰uⁿ⁻¹

pu ¡p

u¢0

= u⁰ 2p u 1

u

µ1 u

¶₀

= −u⁰ u²

Proposition 8.14

• Une fonction polynomiale est dérivable surR.

• Une fraction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.

Méthode 8.15 – Calculer la dérivée d’une fonction

1. On repère la forme de la fonction f : sommeu+v, produitu×v, quotientu v? 2. On identifie les différentes fonctionsuetvpuis on calcule les dérivéesu⁰etv⁰. 3. On applique la formule adéquate pour obtenir la dérivéef⁰.

Exemple 8.16 – Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

• f(x)=2x²−x+5

f est une fonction polynomiale donc sa dérivée se calcule terme à terme : f⁰(x)=2×(2x)−1=4x−1.

• g(x)=(x+3)p x

gest de la formeuvavecu(x)=x+3 etv(x)=p

x. Doncg⁰=u⁰v+uv⁰avec u⁰(x)=1 et v⁰(x)= 1

2p x. Ainsi

g⁰(x)=1×p

x+(x+3)× 1 2p

x=p

x+x+3 2p

x = 2x 2p

x+x+3 2p

x =3x+3 2p

x =3(x+1) 2p

x .

• h(x)=2x−5 x²+3 hest de la formeu

v avecu(x)=2x−5 etv(x)=x²+3. Donch⁰=u⁰v−uv⁰ v² avec u⁰(x)=2 et v⁰(x)=2x.

Ainsi

h⁰(x)=2(x²+3)−2x(2x−5)

(x²+3)² =2x²+6−4x²+10x

(x²+3)² =−2x²+10x+6 (x²+3)² .

• i(x)= 1 2x²+3 iest de la forme 1

u avecu(x)=2x²+3 donci⁰= −u⁰

u² avecu⁰(x)=4x. Ainsi i⁰(x)= − 4x

¡2x²+3¢2.

• j(x)=p x²+1 jest de la formep

uavecu(x)=x²+1, doncj⁰= u⁰ 2p

u avecu⁰(x)=2x. Ainsi j⁰(x)= 2x

2p

x²+1= x px²+1.

Remarque 8.17 – Il est très important de prendre l’habitude de toujourssimplifierau maximum les calculs de dérivées. Cela facilite ensuite l’étude de son signe. Il faut notamment penser àfactoriser au maximum et àregrouper les différents termes(fractions à mettre au même dénominateur).

3 – Dérivées successives

Exemple 8.18 – Soitf la fonction définie surRparf(x)=x³−3x²+5x+1.

La fonctionf est dérivable et ∀x∈R, f⁰(x)=3x²−6x+5.

La fonctionf⁰est dérivable et ∀x∈R, f⁰⁰(x)=6x−6.

La fonctionf⁰⁰est dérivable et ∀x∈R, f⁰⁰⁰(x)=f⁽³⁾(x)=6.

Définition 8.19 – Soitf une fonction définie sur un intervalleI.

• On dit quef estdeux fois dérivablesif etf⁰sont dérivables.

Dans ce cas, on notef⁰⁰ouf⁽²⁾la dérivée def⁰.

• Plus généralement, on dit que f estnfois dérivable(n>1) si, pour tout entier 16^p6ⁿ−1, f^(p)est dérivable. On note alorsf⁽ⁿ⁾=¡

f⁽ⁿ⁻¹⁾¢0

.

ATTENTION ! La notationf^(p)n’a rien à voir avec la notion de puissance !

Exemple 8.20 – Soitf la fonction définie surR\ {1} par f(x)= 1

1−x. Alors pour toutx∈R\ {1}, f⁰(x)= 1

(1−x)², f⁰⁰(x)= 2

(1−x)³, f⁽³⁾(x)= 6

(1−x)⁴, etc.

Je peux alors montrer par récurrence que

∀n∈N^∗,∀x∈R\ {1}, f⁽ⁿ⁾(x)=n×(n−1)×(n−2)× · · · ×2×1

= n!

.

III – Application à l’étude des variations d’une fonction

1 – Monotonie et signe de la dérivée

Théorème 8.21

Soitf une fonction définie et dérivable sur un intervalleI. Alors

f est constante surI si et seulement si ∀x∈I, f⁰(x)=0.

ATTENTION ! Le résultat est faux siI n’est pas un intervalle. Ainsi la fonction définie surR^∗ parf(x)= −1 six<0 etf(x)=1 six>0, vérifief⁰(x)=0 pour toutx∈R^∗maisf n’est pas constante.

Théorème 8.22

Soitf une fonction définie et dérivable sur un intervalleI. Alors

• f est croissante (resp. décroissante) surI si et seulement si∀x∈I,f⁰(x)>^{0 (resp.f0(x)}6^0).

• f est strictement croissante (resp. strictement décroissante) surI si et seulement si f⁰est stric- tement positive (resp. strictement négative) surI sauf éventuellement en un nombre fini de pointsoùf⁰peut s’annuler.

Exemple 8.23 – Étudier les variations de la fonctionf définie surRparf(x)=x³.

La fonction f est dérivable surRet pour toutx∈R, f⁰(x)=3x². Ainsi f⁰(0)=0 et pour toutx∈R^∗, f⁰(x)>0. On peut donc appliquer le deuxième point du théorème précédent et en déduire quef est strictement croissante surR.

Méthode 8.24 – Étudier les variations d’une fonction 1. On justifie que la fonction est bien dérivable.

2. On calcule la dérivée de la fonction.

3. On étudie le signe de la dérivée.

4. On en déduit les variations de la fonction.

Exemple 8.25 – Étudier les variations de la fonctionf définie surRparf(x)=2x³−15x²+36x+7.

La fonctionf est une fonction polynomiale donc elle est dérivable surR. De plus, pour toutx∈R, f⁰(x)=6x²−30x+36.

Il me faut maintenant étudier le signe de ce polynôme de degré 2. Son discriminant vaut

∆=(−30)²−4×6×36=36=6²>0. Le polynôme admet donc deux racines, x1=30−6

2×6 =2 et x2=30+6 2×6 =3.

Par ailleurs, le coefficient dominant est strictement positif. J’en déduis alors le tableau de signe def⁰ et le tableau de variation de f.

x f⁰(x)

f

−∞ 2 3 +∞

+ 0 − 0 +

Remarque 8.26 – Les tableaux de variation se complètent en faisant apparaître les limites de f aux bornes de l’intervalle ainsi que les valeurs def en les abscisses oùf change de variation.

Je calcule les limites de la fonction f ainsi que les images de 2 et de 3 :

x→−∞lim f(x)= lim

x→−∞2x³= −∞ et lim

x→+∞f(x)= lim

x→+∞2x³= +∞

et

f(2)=2×2³−15×2²+36×2+7=35 et f(3)=2×3³−15×3²+36×3+7=34.

D’où le tableau de variation complété : x

f⁰(x)

f

−∞ 2 3 +∞

+ 0 − 0 +

−∞

−∞

35 35

34 34

+∞

+∞

2 – Extrema locaux

On rappelle qu’unextremumest unmaximumou unminimum.

Théorème 8.27

Soitf une fonction dérivable sur un intervalleI deRetaun réel appartenant àI.

• Sif admet un extremum local ena, alorsf⁰(a)=0.

• Si la dérivéef⁰s’annule enaen changeant de signe, alorsf admet un extremum local ena.

x f⁰(x)

f

−∞ a +∞

− 0 +

min min

x f⁰(x)

f

−∞ a +∞

+ 0 −

max max

Exemple 8.28 – Donner les extrema de la fonction précédente,f(x)=2x³−15x²+36x+7 surR. En me servant du tableau de variation def établi dans l’exemple précédent, je remarque quef⁰s’an- nule aux points d’abscisses 2 et 3 tout en changeant de signe. Donc 2 et 3 sont les abscisses des ex- trema locaux de f. D’après les variations, je peux affirmer que 35 est un maximum local, atteint en 2, et que 34 est un minimum local, atteint en 3.

3 – Représentation graphique

Grâce à la méthode du chapitre précédent, qui permet de tracer l’allure d’une courbe à partir du ta- bleau de variation de la fonction, l’étude de la fonctionf(x) permet donc de connaître l’allure de la courbe.

Parfois, le tracé d’une tangente en un point peut aider à obtenir un tracé plus précis.

Méthode 8.29 – Calculer l’équation de la tangente en un point Pour calculer l’équation de la tangente en un pointA, d’abscissea,

1. si ce n’est pas déjà fait, on calcule la dérivée f⁰(x), 2. on calcule les imagesf(a) etf⁰(a),

3. on utilise la formule de la Propriété8.4:

y=f⁰(a)(x−a)+f(a).

Exemple 8.30 – On considère à nouveau la fonctionf définie surRpar f(x)=2x³−15x²+36x+7.

Calculer l’équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse 0.

Le calcul def⁰(x) a déjà été effectué dans l’exemple précédent : f⁰(x)=6x²−30x+36.

Je calcule alorsf(0) etf⁰(0) :

f(0)=2×0³−15×0²+36×0+7=7 et f⁰(0)=6×0²−30×0+36=36.

J’applique alors la formule de la Propriété8.4et j’obtiens l’équation de la tangente : y=36(x−0)+7 ⇐⇒ y=36x+7.

Méthode 8.31 – Tracer une droite lorsque l’on en connait l’équation

Pour tracer une droite à partir de son équation y =ax+b, il suffit de déterminer les coordonnées de deux points appartenant à cette droite. Pour cela, on remplace successivementxdans l’équation par deux valeurs x1 etx2puis on calcule les ordonnées correspondantes y1 ety2. On obtient ainsi les coordonnées de deux pointsA(x1,y1) etB(x2,y2) appartenant à la droite. On place alors ces deux points dans un repère et on trace la droite passant par ces deux points.

Exemple 8.32 – Tracer dans un repère la droiteDd’équationy=2x+1.

Je commence par choisir deux valeurs dexet je calcule les ordonnées correspondantes :

— pourx₁= −2, j’obtiensy₁=2×(−2)+1= −3,

— pourx₂=3, j’obtiensy₂=2×3+1=7.

• Je place les deux pointsA(−2,−3) etB(3, 7).

x y

0

−3

−2 7

3

• Je trace la droite passant par les deux points.

x y

0

−3

−2 7

3

4 – Exemple : étude d’une fonction

Exemple 8.33 – Soitf la fonction définie surRparf(x)=1−4x−3 x²+1. 1. Calculerf⁰(x).

La fonctionf est dérivable surRcomme somme et quotient de deux fonctions dérivables.

Comme f est de la formef =1−u

v, avecu(x)=4x−3 etv(x)=x²+1, alors f⁰= −u⁰v−uv⁰ v² , avecu⁰(x)=4 etv⁰(x)=2x. Donc pour tout réelx,

f⁰(x)= −4(x²+1)−2x(4x−3)

(x²+1)² = −4x²+4−8x²+6x

(x²+1)² = −−4x²+6x+4

(x²+1)² =4x²−6x−4 (x²+1)² . Ainsif⁰est la fonction définie surRparf⁰(x)=4x²−6x−4

¡x²+1¢2 . 2. Étudier les variations de la fonctionf.

Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée, donc j’étudie le signe de f⁰(x)= 4x²−6x−4

(x²+1)² . Pour tout réelx, (x²+1)²>0. Par conséquent, f⁰(x) est du même signe que le polynôme 4x²−6x−4. Son discriminant vaut∆=(−6)²−4×4×(−4)=100=10²>0.

Il admet donc deux racines

x1=6−10 8 = −1

2 et x2=6+10 8 =2.

Je calcule aussi les limites def :

x→±∞lim f(x)= lim

x→±∞1−4x x² = lim

x→±∞1−4 x=1.

Je peux déduire le tableau de signe de f⁰suivant les valeurs dexainsi que les variations de la fonctionf :

x f⁰(x)

f

−∞ −1

2 2 +∞

+ 0 − 0 +

1 1

5 5

0 0

1 1

3. Tracer l’allure de la courbe représentative def.

x y

0