G´ en´ eralit´ es sur les fonctions
Exercice 1
Exemple d’utilisation de la repr´esentation graphique
La courbe ci dessous est la repr´esentation graphique d’une fonction f d´efinie sur [-3 ; 3] :
1.Dresser le tableau de variations de la fonction f.
2.R´esoudre graphiquement les ´equations suivantes :
a)f(x) = 1 b)f(x) = 0 c)f(x) = -1 d)f(x) = 2
3.D´eterminer le signe de f(x) en fonction de x.
4.R´esoudre graphiquement l’´equationfpxq1
2xet l’in´equationfpxq¤1 2x
Exercice 2
Exemple d’´etude du comportement d’une fonction : Le probl`eme de la baignade surveill´ee 1.Soit f la fonction d´efinie sur [0 ; 80] par f(x) = -2x2+ 160x.
a)Etudier les variations de la fonction f sur [0 ; 40], puis sur [40 ; 80].
b)En d´eduire que f admet un maximum sur [0 ; 80].
2.Un maˆıtre nageur dispose d’une corde de 160m de longueur pour d´elimiter un rectangle de baignade sur- veill´ee.
A quelle distance du rivage doit il placer les bou´ees A et B pour que le rectangle ait une aire maximale ?`
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Correction
Exercice 1 1.
x 3 2 1 3
1 2
fpxq × Õ ×
1 0
2. a)f(x) = 1
On trace la droite d’´equation y = 1 (droite parall`ele `a l’axe des abscisses). Cette droite coupe la courbe en trois points.
Les solutions de l’´equation f(x) = 1 sont les abscisses des points d’intersection de la courbe et de la droite.
D’o`u : S = -3 ; -1 ; 2 2. b)f(x) = 0
On trace la droite d’´equation y = 0 (c’est `a l’axe des abscisses). Cette droite coupe la courbe en trois points.
Les solutions de l’´equation f(x) = 0 sont les abscisses des points d’intersection de la courbe et de la droite.
D’o`u : S = -2,5 ; -1,5 ; 3 2. c)f(x) = -1
On trace la droite d’´equation y = -1 (droite parall`ele `a l’axe des abscisses). Cette droite coupe la courbe en un point.
La solution de l’´equation f(x) = -1 est l’abscisse du point d’intersection de la courbe et de la droite.
D’o`u : S = -2 2. d)f(x) = 2
On trace la droite d’´equation y = 2 (droite parall`ele `a l’axe des abscisses). Cette droite coupe la courbe en un point.
La solution de l’´equation f(x) = 2 est l’abscisse du point d’intersection de la courbe et de la droite.
D’o`u : S = 1
3. x 3 2,5 1,5 3
fpxq 0 0
Pour toutxPr3;2,5sYr1,5; 3s, fpxq¥0 Pour toutxPr2,5;1,5s, fpxq¤0
4.fpxq 1 2x
On trace la droite d’´equationy1 2x.
Cette droite coupe la courbe en deux points. Les solutions de l’´equation sont les abscisses des points d’inter- section de la droite et de la courbe.
D’o`u : S = -2 ; 2 fpxq¤1
2x
Les solutions de cette in´equation sont les abscisses des points de la courbe situ´es en-dessous ou sur la droite d’´equation y1
2x.
D’o`u : S = -2Y[2 ; 3].
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Exercice 2
1. a)Variations de f sur [0 ; 40] :
Soient a et b deux r´eels de [0 ; 40] tels que a b. On a : f(a) - f(b) = -2a2 + 160a - (-2b2+ 160b)
= -2(a2- b2) + 160(a - b)
= -2(a - b)(a + b) + 160(a - b)
= (a - b)(-2(a + b) + 160)
= -2(a - b)(a + b - 80)
Comme a b, alors a - b 0.
Comme a et b sont deux r´eels de [0 ; 40], alors : a 40 etb¤40.
Donc : a + b 80, soit a + b - 80 0 Par cons´equent : -2(a - b)(a + b - 80) 0
D’o`u : 0¤a b¤40 entraˆıne f(a) f(b) : la fonction f est croissante sur [0 ; 40].
Variations de f sur [40 ; 80] :
Soient a et b deux r´eels de [40 ; 80] tels que a b. On a : f(a) - f(b) = -2(a - b)(a + b - 80)
Comme a b, alors a - b 0.
Comme a et b sont deux r´eels de [40 ; 80], alors :a¥40 et b¡40.
Donc : a + b ¡80, soit a + b - 80¡0 Par cons´equent : -2(a - b)(a + b - 80) ¡0
D’o`u : 40¤a b¤80 entraˆıne f(a)¡f(b) : la fonction f est d´ecroissante sur [40 ; 80].
1. b) Comme f est croissante sur [0 ; 40] puis d´ecroissante sur [40 ; 80], alors f admet un maximum atteint pour x = 40. Ce maximum vaut f(40) = 3 200.
2.x et y repr´esentent les longueurs des cˆot´es du rectangle dessin´e sur le sch´ema.
La longueur de la corde dont on dispose est de 160 m`etres, donc : 2x + y = 160, soit y = 160 - 2x.
L’aire du rectangle est : xy = x(160 - 2x) = -2x2 + 160x
D’apr`es les questions pr´ec´edentes, -2x2 + 160x = f(x) et on a montr´e que cette fonction admet un maximum pour x = 40.
Si x = 40, alors y = 160 - 240 = 80.
D’o`u : la largeur du bassin est de 40 m`etres et sa longueur de 80 m`etres.
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