Pour une partie A de G , on appelle centralisateur de A la partie C(A) de G dénie par :

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Exercice 1

Dans cet exercice G désigne un groupe dont l'opération est notée multiplicativement : pour tous a et b de G le produit de a par b est simplement noté ab . On ne suppose pas que le groupe soit commutatif.

Pour une partie A de G , on appelle centralisateur de A la partie C(A) de G dénie par :

∀x ∈ G, (x ∈ C(A) ⇔ ∀a ∈ A, ax = xa) .

Dans la suite de l'exercice, quand on demande de comparer deux parties de G , il s'agit de prouver une inclusion entre ces deux parties.

La partie A de G est xée pour la suite de l'exercice.

1. Montrer que C(A) est un sous-groupe de G .

2. Soit X et Y deux parties de G telles que X ⊂ Y . Comparer C(X ) et C(Y ) . 3. Soit X une partie quelconque de G , comparer X et C(C(X )) .

4. Montrer que

C(C(C(A))) = C(A)

Exercice 2

Soit n un entier naturel non nul. Tous les développements limités demandés sont en 0 . 1. Calculer un développement limité à l'ordre 2 de

t 7→ 1

1 + t + ^t _2!

+ · · · + ^t _n!

. 2. Calculer un développement limité à l'ordre n + 3 de

t 7→ ln

1 + t + t ²

2! + · · · + t ⁿ n!

. On pourra considérer la dérivée de cette fonction.

Problème

L'objectif de cette partie est de montrer l'irrationalité de e ^r pour tout r ∈ Q ^∗ . Les suites (u n ) _n∈

N

et (v n ) _n∈

N

sont dénies par

∀n ∈ N ^∗ , u n = 1 + 1

1! + · · · + 1

n! , v n = u n + 1 n n! .

Par dénition de la fonction exponentielle, le nombre e est la limite de (u n ) _n∈N

. On dénit aussi, pour tout n ∈ N ^∗ , des fonctions polynomiales U n et L n et T n par :

∀x ∈ R , U n (x) = 1

n! x ⁿ (1 − x) ⁿ , L n = U _n ⁽ⁿ⁾ . On dénit enn la fonction T n par :

∀x ∈ R , T n (x) = Z 1

0

L n (t) e ^xt dt.

Partie I. Résultats préliminaires.

1. a. Soit (x _n ) _n∈

N une suite de réels strictement positifs tels que _x

n+1

x

n∈ N soit conver- gente de limite nulle. Montrer que (x _n ) _n∈

N est convergente de limite nulle.

b. Soit λ réel non nul. Montrer que ^λ _n!

n∈ N est convergente de limite nulle.

2. Valeurs prises par les dérivées successives d'une fonction polynomiale.

a. Montrer que

∀k ∈ J 0, n − 1 K , U _n ^(k) (0) = U _n ^(k) (1) = 0.

b. Pour tout k ∈ J 0, n − 1 K, exprimer U n ^(n+k) (0) et U n ^(n+k) (1) en fonction de n et k . Vérier que ces nombres sont des entiers.

On pourra utiliser la formule de Leibniz et préciser les termes contribuant réelle- ment aux sommes obtenues.

3. Formule d'intégration par parties itérée.

Soit a et b réels tels que a < b et p ∈ N ^∗ . Soit f et g deux fonctions de classe C ^p de [a, b] dans R. Montrer

Z b a

f ^(p) (t)g(t) dt =

p

X

k=1

(−1) ^k+1 h

f ^(p−k) g ^(k−1) i ^b

a + (−1) ^p Z b

a

f (t)g ^(p) (t) dt.

4. Un critère d'irrationalité.

Soit ω > 0 . On pose

Z ω = {kω, k ∈ Z } , Z + Z ω =

k + k ⁰ ω, (k, k ⁰ ) ∈ Z ² .

a. On suppose qu'il existe a > 0 réel tel que Z + Z ω = Z a . Montrer que ω ∈ Q ( ω est rationnel).

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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b. On suppose ω ∈ Q avec p et q naturels non nuls, premiers entre eux tels que ω = ^p _q . On pose enn a = ¹ _q .

i. Montrer que Z + Z ω ⊂ Z a .

ii. Montrer que Z a ⊂ Z + Z ω . On admettra l'existence de deux entiers u et v tels que up + vq = 1 .

5. Une condition susante d'irrationalité.

a. Soit (k _n ) _n∈

N une suite convergente de nombres entiers dont la limite est nulle.

Montrer

∃N ∈ N ^∗ tel que ∀n ≥ N, k _n = 0.

b. Soit ω ∈ R ^∗ et (p n ) _n∈N , (q n ) _n∈N deux suites de nombres entiers tels que

∀n ∈ N ^∗ , q n ω − p n 6= 0.

Montrer que si la suite (q n ω − p n ) _n∈N est convergente de limite nulle, alors le nombre ω est irrationnel.

Partie II. Irrationalités

1. Montrer que les suites (u n ) _n∈

N

et (v n ) _n∈

N

sont adjacentes. Justier que

∀n ∈ N ^∗ , u n < e < v n .

2. Vérier que (n! u n ) _n∈

N

est une suite de nombres entiers puis montrer que e est irra- tionnel.

3. Préciser les degrés des fonctions polynomiales U n et L n . 4. Soient n ∈ N ^∗ et x ∈ R ^∗ .

a. Montrer que

T _n (x) = (−x) ⁿ Z 1

0

U _n (t) e ^xt dt et T _n (x) 6= 0.

b. En majorant t(1 − t) pour t ∈ [0, 1] , montrer que

|x ⁿ T n (x)| ≤ x ²ⁿ

4 ⁿ n! max(1, e ^x ).

c. Montrer que la suite (x ⁿ T _n (x)) _n∈

N converge vers 0 .

5. Pour (x, t) ∈ R × [0, 1] , on pose ψ x (t) = e ^xt . a. Montrer que

∀x ∈ R , x ⁿ⁺¹ T _n (x) = (−1) ⁿ Z 1

0

ψ ⁽²ⁿ⁺¹⁾ _x (t)U _n (t) dt.

b. Montrer qu'il existe deux fonctions polynomiales P _n et Q _n , à coecients entiers et de degré n , telles que :

∀x ∈ R , x ⁿ⁺¹ T _n (x) = Q _n (x)e ^x − P _n (x).

6. Montrer l'irrationalité de e ^r pour tout r ∈ N ^∗ puis pour tout r ∈ Q ^∗ . Montrer que ln α est irrationnel pour α > 0 rationnel et diérent de 1 .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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