D1929. Un très bel alignement

D1929. Un très bel alignement

Note liminaire : en faisant appel à des approches différentes (géométrie classique, géométrie projective, complexes, géométrie analytique, etc...), le lecteur est invité à donner plusieurs solutions de ce problème.

Dans un triangle ABC d’orthocentre H, on désigne respectivement par A₁,A₂ et A₃le pied de la hauteur issue de A sur le côté BC, le point d’intersection de cette hauteur avec le cercle circonscrit au triangle et le milieu de AH. De la même manière on définit B₁,B₂ et B₃ avec la hauteur issue de B et enfin C₁,C₂ et C₃ avec la hauteur issue de C.

On considère les quatre couples de droites (BC, B₁C₁), (B₂C₂, B₃C₃),(B₁C₃, BC₂) et (B₂C, B₃C₁) qui se rencontrent respectivement en I, I₁, I₂ et I₃ De la même manière par permutation des lettres B,C,A on obtient les huit autres points : J, J₁, J₂ et J₃ et enfin K,K₁,K₂ et K₃ .

Démontrer que les douze points I, I₁, I₂, I₃, J, J₁, J₂, J₃, K, K₁, K₂ et K₃ sont sur une même droite.

Solution géométrique de Jean Nicot

Il est utile de faire intervenir le cercle circonscrit et le cercle d’Euler (e) du triangle ABC.

Le cercle de diamètre AB passe par les pieds des perpendiculaires A1 et C1. Cela donne KA.KC = KA1.KC1 donc K, intersection de AC et A1C1, est sur l’axe radial des cercles (e) et (ABC). A,B et C jouant le même rôle, il en est de même de I et J.

A2, A3, C2 et C3 sont cocycliques. On a en effet égalité des angles A2A3C et A1A3C3, de A1C1C3 (cercle e), de A2C2C3 (car A1C1 // A2C). K1, intersection de A2C2 et A3C3, est donc également sur l’axe radical de (e) et (ABC) ; donc il en est de même de I1 et J1.

A, A1, C2 et C3 sont cocycliques. On a en effet égalité des angles C3A1A et C3A1A3 et C3C1A3 (cercle e) et C3C2A (car A3C1 // AC2). K2, intersection de A1C3 et AC2, est donc sur l’axe radical, tout comme I2 et J2.

A2, A3, C et C1 sont cocycliques. On a égalité des angles CA2A3 et C3A1A3 (CA2 // C3A1) et C3C1A3 (cercle e). K3, intersection de A2C et A3C1, est donc sur l’axe radical, tout comme I3 et J3.

Les douze points sont alignés sur l’axe radical du cercle circonscrit à ABC et du cercle d’Euler.

Solution avec les complexes.

On notera par une minuscule a l’affixe du point A et de même pour tous les points et on accentuera un complexe conjugué.

Sans nuire à la généralité, on peut supposer que A, B et C sont sur le cercle unité centré à l’origine.

L’orthocentre H est fourni par h= a+b+c. le point A2 par a2 = -bc/a = -bca’

A1, milieu de HA2 par a1 = (h+a2)/2 = (a+b+c-bca’)/2.

A3, milieu de HA est donné par a3 = (h+a)/2 = a+(b+c)/2.Le cercle d’Euler a pour centre h/2 et pour rayon ½.

Le cercle unité a pour équation zz’=1 et le cercle d’Euler (z-h/2)(z’-h’/2)=1/4.

L’axe radical s’obtient en éliminant zz’, soit zh’+hz’=(hh’+3)/2

ou z(a’+b’+c’) + (a+b+c)z’=(6+ab’+ac’+ba’+bc’+ca’+cb’)/2

Comme A et C sont sur le cercle unité, l’équation de la droite AC est

z+acz’=a+c

L’équation de d’une droite passant par z0 et z1 est z(z1’-z0’)-z’(z1-z0)=z0z1’-z1z0’

L’équation de A1C1 est z(a1’-c1’)-z’(a1-c1) = c1a1’-a1c1’ soit

z(a’b’c-b’c’a) –z’(abc’-bca’) =(h(a’b’c- b’c’a)+h’(bca’- abc’)+abc’b’c’a- bca’a’b’c)/2 ou zb’(a’c-ac’) –z’b(ac’-ca’)=( hb’(a’c-ac’)+h’b(a’c-c’a)+a²c’²-a’²c²)/2 ou

zb’ + z’b = (hb’+h’b -a’c-ac’)/2 ou

zb’ + z’b = (ab’+ba’+bc’+cb’-ac’-ca’+2)/2

On peut obtenir l’intersection K en éliminant z’ entre les équations de AC et A1C1.

On montre que AC, A1C1 et l’axe radical concourent en vérifiant la valeur nulle du déterminant, des 3 équations linéaires en z et z’.

1 ac a+c (AC)

a’+b’+c’ a+b+c (6+ab’+ac’+ba’+bc’+ca’+cb’)/2 (axe radical) b’ b (ab’+cb’+ba’+bc’-ca’-ac’+2)/2 (A1C1)

ou encore, en annulant le premier terme des dernières lignes pour faire disparaitre la première colonne

a+b+c-ac(a’+b’+c’) (6+ab’+ac’+ba’+bc’+ca’+cb’)/2- (a+c)(a’+b’+c’) b-acb’ (ab’+cb’+ba’+bc’-ca’-ac’+2)/2 – (a+c)b’

Ces deux lignes se simplifient en le même résultat :

b-acb’ (2+ba’-ab’-ca’-ac’+ bc’-cb’)/2

ce qui montre que le déterminant est nul et les trois droites concourantes, c’est–à-dire I,J,K sur l’axe radical.

De façon similaire, on établit les équations des droites A1C1 etA2C et on montre leur intersection en K1 sur l’axe radical. Même chose pour K2 et K3. Le détail des calculs ne présente guère d’intérêt, sauf à monter la supériorité de la solution géométrique.