D1936 - Du Pareil au même
Solution proposée par Pierre Renfer
On va utiliser les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).
On note a,b,c les longueurs des côtés opposés à A,B,C.
Si p désigne le demi périmètre du triangle ABC, on note :
2 c b c a
p t
2 c b b a
p s
2 c b a a
p r
On obtient les formules inverses :
s r c
r t b
t s a
1) La droite (AQ) est une symédiane du triangle ABC On connaît classiquement les coordonnées des points D,E,F :
s t 0 D
r 0 t E
0 r s F
Comme F est barycentre de (A,s) et (B,r), G est barycentre de (A,s) et (C,r), Le point G a donc pour coordonnées :
r 0 s G
La droite (FC) a pour équation : rxsy La droite (GB) a pour équation : rxsz
Le point P a donc pour coordonnées : r r s P
L'équation du cercle circonscrit au triangle ABC est : a2yzb2zxc2xy 0
Comme les points cycliques sont sur la droite de l'infini d'équationxyz0, un cercle quelconque a une équation du type :
0 ) wz vy ux )(
z y x ( xy c zx b yz
a2 2 2
Pour obtenir les coefficients u,v,w du cercle (BFP), on écrit que les coordonnées des trois points B,F,P vérifient l'équation.
On trouve :
s r 2
) rs 4 st rt ( w t
0 v
r ) s r ( u
Pour obtenir les coefficients u',v,'w' du cercle (CGP), on écrit que les coordonnées des trois points C,G,P vérifient l'équation.
On trouve :
0 ' w
) s r 2 ( ) s r (
s r t t rs 2 rs 4 s r ' 4 v
s r
) t r ( ' r u
4 2 2 2 3
2 2
2
L'axe radical des deux cercles a pour équation : (uu')x(vv')y(ww')z0 En multipliant par(rs)(2rs), on obtient l'équation :
0 z ) rs 4 st rt ( ) s r ( t y ) s r t t rs 2 rs 4 s r 4 ( x ) t s r 2 ( ) s t ( ) s r 2 (
r 2 2 3 2 2 2 4 On va chercher les coordonnées du point d'intersection Q' de l'axe radical et de la symédiane issue de A dans le triangle ABC.
La symédiane passe par le point de Lemoine L, de coordonnées :
s)² (r c²
t)² (r b²
t)² (s a² L
Les points de la symédiane ont donc des coordonnées du type :
s)² (r
t)² (r x
En écrivant que ces coordonnées vérifient l'équation de l'axe radical, on trouve : s
r 2
t
² s 2
² rt
² rs s
² r x 2
Le point Q' a donc pour coordonnées :
s)² (r ) s r 2 ( c²
t)² (r ) s r 2 ( b²
t
² s 2
² rt
² rs s
² r 2 ' Q
On vérifie que ces coordonnées satisfont à l'équation du cercle (BFP).
Ceci prouve que le point Q' coïncide avec le point Q.
Et le point Q appartient donc bien à la symédiane issue de A.
2) La droite (DA) est une symédiane du triangle DEF
On va chercher les coordonnées barycentriques, dans le repère affine (A,B,C), du point de Lemoine L', du triangle DEF.
Le point L' est barycentre des points D,E,F, avec les coefficients EF², FD², DE².
Soit l'angle en A du triangle ABC.
La formule d'Al Kashi dans le triangle EAF donne : )
cos 1 (
² r 2 cos
² AF 2
² AF 2
²
EF
La formule d'Al Kashi dans le triangle ABC donne : bc
2
² a
² c
²
cos b
bc st 2 bc
2
) c b a ( ) c b a ( bc
2 )² c b (
² a bc
2
² a
² c
² b bc cos 2
1
Donc :
bc st
² r
² 4
EF
Et par permutation circulaire :
ca tr
² s
² 4
FD ,
ab rs
² t
² 4 DE
Le point L' est donc barycentre des points D,E,F, avec les coefficients ar, bs, ct.
Pour les points D, E, F, on choisit les coordonnées barycentriques de somme 1 :
s/a t/a 0
D
r/b 0 t/b
E
0 r/c s/c F
Par combinaison linéaire, on trouve les coordonnées de L' :
2rs 2tr 2st ' L
On peut donner les coordonnées proportionnelles :
1/t 1/s 1/r ' L
On reconnaît alors que L' est le point d'intersection des céviennes (AD), (BE), (CF).
(C'est le point de Gergonne du triangle ABC).
La symédiane issue de D dans le triangle DEF est la droite (DL'), qui coïncide avec la cévienne (AD) du triangle ABC.
