D 1880 Directions à respecter (première partie)

(1)

D 1880 Directions à respecter (première partie) Solution proposée par Pierre Renfer

On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).

On note a, b, c les longueurs des côtés BC, CA, AB.

Préliminaires : Les involutions de la droite de l’infini

Soit A la matrice :

0

A 0

0

  

 

   

   

 

avec :      0

Soit V un point de la droite de l’infini, de coordonnées x y z

, avec x y z 0  

Alors le point A V appartient encore à la droite de l’infini.

Le polynôme caractéristique de A est : ^{X X (}^



²       ^)I



Le vecteur propre, pour la valeur propre 0, a pour coordonnées







Il n’appartient pas à la droite de l’infini.

Les autres vecteurs propres appartiennent à la droite de l’infini et la restriction de A à cette droite est une involution.

L’involution canonique , qui à un point à l’infini d’une direction de droite associe le point à l’infini de la direction orthogonale, possède la matrice S suivante :

:

2 2 2 2 2 2

0 a b c (a b c )

S ( a b c ) 0 a b c

a b c (a b c ) 0

      

 

       

       

 

On va chercher la matrice de l’involution f, qui à un point à l’infini d’une direction de droite associe le point à l’infini de la direction symétrique par rapport à l’axe ₁

(2)

L’involution f laisse fixes le point à l’infini  de ₁ et le point à l’infini  ( ) de ₂

Les coordonnées de  et  sont :

u v w



2 2 2 2 2 2

u' (a b c )v (a b c )w ( ) v (a b c )w ( a b c )u

w ( a b c )u (a b c )v

       

          

        

La colinéarité des vecteurs  et A  s’exprime par : u²  v² w²  0 La colinéarité des vecteurs  et A ( )   s’exprime par : u'²  v '² w'²  0

On en déduit :

2 2 2 2

v w ' w v ' w u' u w ' u v ' v u'

    

    

    



QUESTION 1

Soit U le point à l’infini de la droite (BC). Ses coordonnées sont :

0 U 1

1

Le point à l’infini de la droite (AA’) est alors f(U), de coordonnées : (f U)

  

 

 

L’équation de la droite (AA’) est :

x 1

y 0 y z 0

z 0

  

       



On obtient par permutation circulaire sur les coordonnées et sur  : 0

A' 



ou ¹

1

0 A' ^







B' 0





ou

1

B' 0







C' 0



 ou

1

C' 1

0







Les droites (AA’), (BB’), (CC’) se coupent donc au point P, de coordonnées :

1 1 1

P









ou P







(3)

QUESTION 3

La droite (A’B’) a pour équation : ²

x 0

y 0 x y z 0

z



          

 

On en déduit les coordonnées de C’’, puis celles de A’’ et B ‘’ par permutation circulaire : 0

A'' 

 

B'' 0

 



C'' 0



 

Le déterminant dont les colonnes sont les coordonnées de ces trois points est nul.

Donc les points A’’, B’’, C’’ sont alignés.

QUESTION 2

On peut repérer le point U à l’infini à l’aide d’un seul paramètre réel t, pouvant prendre la valeur  : u 1

U v t w t 1



   Les calculs des préliminaires donnent :

2 2 2 2 2 2

4(bt b ct)(bt b ct)(a t b t c t a t b ) 4(at a c )(at a c )(a t b t c t a t b )

4(at b)(at b)(a t b t c t a t b )

             

            

           



En simplifiant par homogénéité, on se ramène à :

(bt b ct)(bt b ct) (at a c )(at a c ) (at b)(at b)

      

       

    

 On remarque que : a²  b² c²  0 ou

2 2 2

a b  c 0

  

Cette dernière égalité montre que les coordonnées de P vérifient l’équation du cercle (ABC).

Le point P décrit le cercle circonscrit au triangle ABC. On va préciser comment.

(4)

Les coordonnées de P sont :

(at a c )(at a c )(at b)(at b) P (bt b ct)(bt b ct)(at b)(at b)

(bt b ct)(bt b ct)(at a c )(at a c )

           

            

             

La somme de ces coordonnées est : (a t^{2 2}a t b t c t b ) 0²  ²  ²  ^{2 2} 

Quitte à renommer les sommets du triangle ABC, on peut supposer : a b c  Voici le signe des coordonnées de P et la position de P en fonction de t :

t ^b

b c

 ^{a c} a

  ^b

a ^b

b c

 ^{a c} a

  ^b a









P A B C A B C