D1856. Un r´ esultat tr` es curieux
Soit le triangle ABC inscrit dans Γ0, et dont les cot´es sont, dans l’ordre des longueurs croissantes : AC, BC et AB. D, E, F sont les milieux des cot´es AC, BC et AB. Par hypoth`ese BC = (AB + BC) / 2.
J est le centre du cercle exinscrit dansBAC. ICJB est inscrit dans le cercle\ Γ1
de diam`etre IJ, centre A’. K, L et M sont les intersections avec BC des droites AN, AI et AH.
L partage BC au pro-rata des longueurs des cot´es AB et AC. Donc BL = BF et CL = CE. CLE est isoc`ele : LE est perpendiculaire `a CI, donc parall`ele `a CJ. De mˆeme, LF est parall`ele `a BJ. I est le centre du cercle circonscrit `a LEF.
L’homoth´etie de centre A, rapport 1/2, transforme J, B, C, A’ en L, F, E et I :
⇒AI = IA’ = A’J.
L est le centre du parall´elogramme JKAM et le milieu de AJ et de A’I, donc LI/LA = 1/3. DG/DA = 1/3, donc GI est parall`ele `a BC. Par projection de centre A, on a DL/KD = GI/GN = 1/2, et enfin NI = KD = 2 * DL : par pro- jection de centre A’, N est align´e avec A’ et D, donc sur DO. ⇒ON I\ =π/2 R´eciproquement, siON I\ =π/2, ´etant donn´e que I et J sont diam´etralement oppos´es sur Γ1, leurs projections orthogonales sont sym´etriques par rapport `a D. N se trouve n´ecessairement sur la m´ediatrice de BC. Donc LI/LA = 1/3, LFE est homoth´etique `a JBC, LE et LF sont perpendiculaires aux bissectrices enCb et en Bb et on retrouve l’´egalit´e BC = (AB + BC) / 2.
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