D1984 – Variations sur une thème connu – 5ème épisode [***** à la main]
Problème proposé par Dominique Roux
(Q) désignant une conique variable tangente aux 3 côtés d'un triangle ABC et passant par son orthocentre H, démontrer que la tangente à (Q) au point diamétralement opposé à H reste tangente à la courbe rencontrée aux énoncés D1982 et D1983.
Solution proposée par Dominique Roux
On donne un triangle ABC d’orthocentre H et soit O le centre du cercle circonscrit. On notera Is l’isogonalité définie par le triangle.
P étant un point quelconque, on notera P’ = Is(P), l’isogonal de P.
Proposition n° 1
On considère les paraboles circonscrites au triangle ABC.Le lieu du point de chaque parabole situé sur la parallèle à son axe qui passe par P est une cubique Γ passant par A,B,C et ayant P pour point double.
Preuve : Un calcul à ne pas faire conduirait à une courbe algébrique.Reste à compter le nombre de ses points sur une droite. Prenons la droite BC. B et C sont 2 points de Γ (lorsque l’axe de la parabole est parallèle à PB ou PC) et il n’y a qu’un 3ème point obtenu lorsque la parabole est une droite, son axe est alors à l’infini, le 3ème point est le point à l’infini de BC.Ceci prouve en plus que les asymptotes de Γ sont parallèles aux côtés de ABC.
Proposition n°2
Lorsque M décrit le cercle (ABC), la tangente en M à ce cercle est recoupée par la conique qui passe par les 5 points A,B,C,M,P’ en un point T qui décrit une cubique Γ’ qui passe par A,B,C et qui admet P’ comme point double.
Preuve : Un calcul à ne pas faire conduirait à une courbe algébrique.Reste à compter le nombre de ses points sur une droite. Prenons la droite BC. B et C sont 2 points de Γ’ (M en B ou C) et il n’y a qu’un 3ème point obtenu lorsque la conique contient la droite BC, donc aussi une autre droite : PA ; le 3ème point est l’intersection de BC avec la tangente à (ABC) au point où PA le recoupe.
Lien entre les 2 propositions
L’isogonalité Is échange toute conique passant par ABC avec une droite et échange le cercle (ABC) avec D∞, donc échange une parabole circonscrite à ABC avec une tangente en M au cercle (ABC).
La parallèle à son axe passant par P est échangée avec une conique passant par A,B,C,M,P’ car M’ = Is(M) est le point à l’infini de la parabole. Donc Γ’ = Is(Γ), qui n’est pas de degré 6 mais seulement 3 parce que ces cubiques passent par A,B,C.
Leurs points doubles P et P’ correspondent au cas où M est l’un des 2 points de contact des tangentes menées de P’ au cercle (ABC).
Remarque : Γ’ est tangente au cercle (ABC)aux points A,B,C car lorsque M tend vers A,la droite MT tend vers la tangente en A, de même que TA.
Cas particulier où P est en H et par suite P’ est en O = Is(H).
Effectuons la transformation par pôles et polaires réciproques (TPPR) par rapport au cercle (H) polaire de ABC, qui est le cercle de centre H par rapport auquel le triangle ABC est autopolaire.
Transformons Γ :
Une parabole passant par A,B,C devient une conique Q tangente aux côtés de ABC et qui passe par H car la parabole est tangente à D∞ dont le pôle est H. La tangente en H à Q devient le point à l’infini de l’axe de la parabole.Soit H’ le point diamétralement opposé à H dans Q.La tangente en H’ est parallèle à la tangente en H,donc devient le point de la parabole situé sur la parallèle à son axe qui passe par H : c’est la construction de Γ.
Ainsi l’enveloppe des tangentes en H’ aux coniques Q inscrites dans ABC et passant par H est la TPPR de Γ, donc est une courbe de 3ème classe qui est tangente aux 3 côtés de ABC (car Γ passe par A,B,C) et est aussi tangente aux 3 hauteurs de ABC car lorsque Q est la droite double AH, la
tangente en H’ coïncide avec AH.
Or dans l’ensemble des coniques Q,il y a 2 paraboles,car les paraboles tangentes aux côtés de ABC sont dans un faisceau tangentiel de coniques (défini par les côtés de ABC et D∞,), il y en a 2 passant par un point donné, car par dualité dans un faisceau ponctuel de coniques, il y en a 2 qui sont tangentes à une droite donnée, les points de contact sont les 2 points doubles de l’involution déterminée par le faisceau sur cette droite.
Ces 2 paraboles sont imaginaires donc l’enveloppe des tangentes en H’ à Q est tangente à D∞ aux deux points cycliques.Finalement TPPR(P) et la H₃ de Steiner de ABC (enveloppe des droites de Simson) sont toutes deux de 3ème classe, ont la même tangente double D∞ aux points cycliques et ont 6 tangentes communes, donc coïncident (10 éléments communs).
Conclusion : l’enveloppe cherchée est TPPR(Γ) = H₃ = deltoïde = hypocycloïde à 3 rebroussements.
Remarques
1) les points d’inflexion de Γ correspondent par la TPPR aux points de rebroussement de la H₃. Ils sont alignés sur la polaire du centre E du cercle d’Euler car celui-ci est le point commun aux tangentes aux 3 points de rebroussement de la H₃.
2) Reprenons la construction de Γ’ : M choisi sur le cercle (ABC) détermine T sur Γ’ dont l’isogonal T’ est sur Γ. La TPPR transforme T’ en une tangente à la H₃ donc en une droite de Simson qui est celle de M. Donc la polaire de T’ par rapport au cercle polaire (H) est la droite de Simson associée au point M.
