Corrigé de l’interrogation écrite n◦15 Exercice 1.
1. Comme−−→
AB (2 ; 4 ;−2) et−−→
AC (4 ;−4 ;−4), −−→
AB ·−−→
AC = 2×4 + 4×(−4) + (−2)×(−4) = 8−16 + 8 = 0 donc les vecteurs−−→
AB et −−→
AC sont orthogonaux et ainsi ABC est rectangle en A.
2. a. Les coordonnées de−−→
SO sont (−4 ; 0 ;−4) donc−−→
SO ·−−→
AB =−4×2+0×4+(−4)×(−2) =
−8 + 8 = 0 et−−→
SO ·−−→
AC =−4×4 + 0×(−4) + (−4)×(−4) =−16 + 16 = 0. Ainsi,
−−→SO est orthogonal à −−→
AB et −−→
AC . b. Comme −−→
AB et−−→
AC forment une base du plan (ABC),−−→
SO est normal au plan (ABC).
Par suite,
M(x;y;z)∈(ABC)⇔−−→
SO ·−−−→
AM ⇔ −4(x−(−1)) + 0(y−0)−4(z−1) = 0
⇔ −4x−4z = 0⇔x+z = 0.
Ainsi, une équation de (ABC) est x+z = 0.
c. CommexO+zO= 0 + 0 = 0, O∈(ABC).
3. On a montré que−−→
SO est normal au plan (ABC) et O appartient au plan (ABC) donc [SO] est la hauteur de SABC issue de S.
D’une part, SO =q(−4)2+ 02+ (−4)2 = 4√
2. D’autre part, AB =q22+ 42+ (−2)2 = 2√
6 et AB =q42+ (−4)2+ (−4)2 = 4√
3 donc, comme ABC est rectangle en A, l’aire de ABC est A= aire(ABC) = 2√
6×4√ 3
2 = 12√
2.
On conclut que le volume du tétraèdre SABC est V = A ×SO
3 = 12√
2×4√ 2
3 donc
V = 32.
Exercice 2.
1. La droite (AB) passe par A (1 ; 2 ; 1) et est dirigée par le vecteur 12−−→
AB (2 ; 2 ;−3) donc une représentation paramétrique de (AB) est
x= 1 + 2t y= 2 + 2t z = 1−3t
oùt ∈R. De même, (CD) est la droite passant par C (15 ; 8 ;−6) et dirigé par 15−−→
CD (−1 ; 1 ;−2) donc une représentation paramétrique de (CD) est
x= 15−s y= 8 +s z =−6−2s
oùs∈R. 2. Étudions (AB)∩(CD). Pour cela, on résout le système
(S) :
1 + 2t= 15−s 2 + 2t= 8 +s 1−3t =−6−2s
On a
(S)⇔
t= 7− 12s
2 + 27− 12s= 8 +s 1−37− 12s=−6−2s
⇔
t= 7− 12s 16−s= 8 +s
−20 + 32s=−6−2s
⇔
t= 7− 12s s= 4
7
2s= 14
⇔
t = 7− 12 ×4
s = 4 ⇔
t = 5 s = 4
Ainsi, (S) possède une unique solution donc (AB) et (CD) sont sécantes et les coordonnées du point d’intersection I sont
x= 1 + 2×5 y= 2 + 2×5 z = 1−3×5
i.e. I (11 ; 12 ;−14).
TMATHS1 mercredi 10 mars 2021
Interrogation écrite n◦15
Dans toute la suite, l’espace est muni d’un repère orthonormé O ;~i ,~j , ~k. Exercice 1. On considère les points :
A (−1 ; 0 ; 1) B (1 ; 4 ;−1) C (3 ;−4 ;−3) S (4 ; 0 ; 4). 1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
2. a. Démontrer que le vecteur −−→
OS est orthogonal aux deux vecteurs −−→
AB et −−→
AC . b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
c. Vérifier que le point O appartient à (ABC).
3. Calculer le volume du tétraèdre SABC.
Exercice 2. On considère les points
A (1 ; 2 ; 1) B (5 ; 6 ;−5) C (15 ; 8 ;−6) D (10 ; 13 ;−16).
1. Déterminer une représentation paramétrique de (AB) et une représentation paramétrique de (CD).
2. Montrer que (AB) et (CD) sont sécantes en un point I dont on déterminera les coordonnées.
