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Demême,(CD)estladroitepassantpar etdirigépar Ladroite(AB)passepar etestdirigéeparlevecteur donc OnconclutquelevolumedutétraèdreSABCest = = donc Onamontréque estnormalauplan(ABC)etOappartientauplan(ABC)donc

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Corrigé de l’interrogation écrite n15 Exercice 1.

1. Comme−−→

AB (2 ; 4 ;−2) et−−→

AC (4 ;−4 ;−4), −−→

AB ·−−→

AC = 2×4 + 4×(−4) + (−2)×(−4) = 8−16 + 8 = 0 donc les vecteurs−−→

AB et −−→

AC sont orthogonaux et ainsi ABC est rectangle en A.

2. a. Les coordonnées de−−→

SO sont (−4 ; 0 ;−4) donc−−→

SO ·−−→

AB =−4×2+0×4+(−4)×(−2) =

−8 + 8 = 0 et−−→

SO ·−−→

AC =−4×4 + 0×(−4) + (−4)×(−4) =−16 + 16 = 0. Ainsi,

−−→SO est orthogonal à −−→

AB et −−→

AC . b. Comme −−→

AB et−−→

AC forment une base du plan (ABC),−−→

SO est normal au plan (ABC).

Par suite,

M(x;y;z)∈(ABC)⇔−−→

SO ·−−−→

AM ⇔ −4(x−(−1)) + 0(y−0)−4(z−1) = 0

⇔ −4x−4z = 0⇔x+z = 0.

Ainsi, une équation de (ABC) est x+z = 0.

c. CommexO+zO= 0 + 0 = 0, O∈(ABC).

3. On a montré que−−→

SO est normal au plan (ABC) et O appartient au plan (ABC) donc [SO] est la hauteur de SABC issue de S.

D’une part, SO =q(−4)2+ 02+ (−4)2 = 4√

2. D’autre part, AB =q22+ 42+ (−2)2 = 2√

6 et AB =q42+ (−4)2+ (−4)2 = 4√

3 donc, comme ABC est rectangle en A, l’aire de ABC est A= aire(ABC) = 2√

6×4√ 3

2 = 12√

2.

On conclut que le volume du tétraèdre SABC est V = A ×SO

3 = 12√

2×4√ 2

3 donc

V = 32.

Exercice 2.

1. La droite (AB) passe par A (1 ; 2 ; 1) et est dirigée par le vecteur 12−−→

AB (2 ; 2 ;−3) donc une représentation paramétrique de (AB) est

x= 1 + 2t y= 2 + 2t z = 1−3t

t ∈R. De même, (CD) est la droite passant par C (15 ; 8 ;−6) et dirigé par 15−−→

CD (−1 ; 1 ;−2) donc une représentation paramétrique de (CD) est

x= 15−s y= 8 +s z =−6−2s

s∈R. 2. Étudions (AB)∩(CD). Pour cela, on résout le système

(S) :

1 + 2t= 15−s 2 + 2t= 8 +s 1−3t =−6−2s

(2)

On a

(S)⇔

t= 7− 12s

2 + 27− 12s= 8 +s 1−37− 12s=−6−2s

t= 7− 12s 16−s= 8 +s

−20 + 32s=−6−2s

t= 7− 12s s= 4

7

2s= 14

t = 7− 12 ×4

s = 4 ⇔

t = 5 s = 4

Ainsi, (S) possède une unique solution donc (AB) et (CD) sont sécantes et les coordonnées du point d’intersection I sont

x= 1 + 2×5 y= 2 + 2×5 z = 1−3×5

i.e. I (11 ; 12 ;−14).

TMATHS1 mercredi 10 mars 2021

Interrogation écrite n15

Dans toute la suite, l’espace est muni d’un repère orthonormé O ;~i ,~j , ~k. Exercice 1. On considère les points :

A (−1 ; 0 ; 1) B (1 ; 4 ;−1) C (3 ;−4 ;−3) S (4 ; 0 ; 4). 1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

2. a. Démontrer que le vecteur −−→

OS est orthogonal aux deux vecteurs −−→

AB et −−→

AC . b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

c. Vérifier que le point O appartient à (ABC).

3. Calculer le volume du tétraèdre SABC.

Exercice 2. On considère les points

A (1 ; 2 ; 1) B (5 ; 6 ;−5) C (15 ; 8 ;−6) D (10 ; 13 ;−16).

1. Déterminer une représentation paramétrique de (AB) et une représentation paramétrique de (CD).

2. Montrer que (AB) et (CD) sont sécantes en un point I dont on déterminera les coordonnées.

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